专题17二次函数与三角函数综合问题挑战中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘原卷版.docx

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专题17二次函数与三角函数综合问题挑战中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘原卷版

挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘

专题17二次函数与三角函数综合问题

【例1】（2021•盘锦）如图，抛物线y＝﹣

x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线y＝x﹣2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC交于点F．

（1）点F的坐标为　　；

（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，若

＝

，求点P的坐标；

（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒4

个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG＝

时，求点G的运动时间t．

【例2】（2021•十堰）已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交抛物线于M，连AC、CM．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，当tan∠ACM＝2时，求M点的横坐标；

（3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作MD⊥l于D，若MD＝

MN，求N点的坐标．

【例3】（2021•荆州）已知：

直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C为直线AB上一动点，连接OC，∠AOC为锐角，在OC上方以OC为边作正方形OCDE，连接BE，设BE＝t．

（1）如图1，当点C在线段AB上时，判断BE与AB的位置关系，并说明理由；

（2）直接写出点E的坐标（用含t的式子表示）；

（3）若tan∠AOC＝k，经过点A的抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）顶点为P，且有6a+3b+2c＝0，△POA的面积为

，当t＝

时，求抛物线的解析式．

【例4】（2021•日照）已知：

抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC于点E，设

＝k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值．

（3）如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D．

①求△BDQ的周长及tan∠BDQ的值；

②点M是y轴负半轴上的点，且满足tan∠BMQ＝

（t为大于0的常数），求点M的坐标．

1．（2021•镇江二模）已知抛物线y＝ax2+bx+10交x轴于点A（﹣10，0）和点B（2，0），其对称轴为直线l，点C在l上，坐标为（m，﹣3），射线AB沿着直线AC翻折，交l于点F，如图

（1）所示．

（1）a＝　　，b＝　　；

（2）如图

（2），点P在x轴上方的抛物线上，点E在直线l上，EP＝EB且∠BPE＝∠BAF，求证：

AB•BE＝PB•AF．

（3）在

（2）的条件下，直接写出tan∠BAF的值＝　　；直接写出点P的坐标（　　，　　）．

2．（2021•慈溪市校级四模）如图，边长为4的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PM⊥OA于点M，点Q的坐标为（0，3），连接PQ．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）当点P与点A或点C重合时，PQ+PM＝　　，小聪猜想：

对于A，C间的任意一点P，PQ与PM之和是一个固定值，你认为正确吗，判断并说明理由；

（3）延长MP交BC于点N，当∠NPQ为锐角，cos∠NPQ＝

时，求点P的坐标．

3．（2021•道里区二模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx﹣2交y轴于点A，该抛物线的顶点为B（2，﹣4）．

（1）如图

（1），求a，b的值；

（2）如图

（2），过点B作x轴的垂线，点C为垂足，横坐标为t的点P在抛物线上，点P在第四象限且位于BC右侧，连接PA，PC，△ACP的面积为S，求S与t之间的函数关系式，不要求写出自变量t的取值范围；

（3）如图（3），在

（2）的条件下，连接PB，点D与点A关于原点对称，过点D作x轴的平行线与抛物线在第二象限交于点E，点F在第三象限，点G在CB的延长线上，若EF＝PC，∠DEF+∠BCP＝150°，∠DEG﹣∠PFG＝30°，tan∠EGF＝

，求点P的坐标．

4．（2021•金坛区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝﹣

（x﹣2）2的图象与y轴交于点B，抛物线的对称轴是直线l，顶点是A，过点B作CD⊥BA交x轴于点C，交抛物线于点D，连接AD．将线段AB沿线段AD平移得到EF（点E与点A对应、点F与点B对应），连接BF．

（1）填空：

线段OA＝　　；

（2）若点F恰好落在直线L上，求AF的长；

（3）连接DF并延长交抛物线于点Q，若tan∠ADF＝

，求点Q的坐标．

5．（2021•仙桃校级模拟）如图，已知抛物线C1：

y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（0，﹣2），且经过点A（﹣2，2），动直线l的解析式为：

y＝﹣4x+e．

（1）求抛物线C1的解析式；

（2）将抛物线C1向上平移两个单位得到新抛物线C2，过点A的直线交抛物线C2于M、N两点（M位于点N的左边），动直线经过点M，与抛物线C2的另一个交点为点P，求证：

直线PN恒过一个定点；

（3）图3中，在

（1）的条件下，x轴正半轴上有一点B（1，0），M为抛物线C1上在第一象限内的点，若∠MAB为锐角，且tan∠MAB＞2，直接写出点M的横坐标x的取值范围．

6．（2021•台安县模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于

A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，交抛物线于点M，过点C作CF⊥l于F．

（1）求抛物线解析式．

（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时（与点M重合），

①求线段EH的长；

②连接DF，求tan∠FDE的值；

③试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG＝45°？

若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

7．（2021•江阴市模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）的图象交x轴于点A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，与其对称轴交于点D，直线BD交y轴于点E，BD＝2DE．

（1）求点A的坐标；

（2）①连接AC，BC，若△ABC外接圆的圆心正好在x轴上，求二次函数表达式；

②连接CD，若tan∠CDB＝tan∠OBD，求此时二次函数表达式．

8．（2021•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线y＝mx+n经过B，C两点．

（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；

（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时，求出点F的坐标及FA+FC的最小值；

（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

9．（2020•海安市一模）已知平面直角坐标系xOy中，抛物线L：

y＝ax2﹣2ax+a（a＞0）与y轴相交于A点，过点A作x轴的平行线与抛物线L的另一交点为B点．直线y＝kx﹣k（k＞a）与抛物线L相交于C，D两点（点C在点D的左侧），与y轴交于E点，过点D作DH⊥AB，垂足为H，连接EH交x轴于G点．

（1）若a＝1，k＝2，求DH的长；

（2）当a

时，求cos∠AHE的值；

（3）连接BC，求证：

四边形BCGH是平行四边形．

10．（2020•惠山区二模）已知：

在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2+2mx﹣4（m≠0）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）点D的坐标为（﹣2，1），点P在二次函数的图象上，∠ADP为锐角，且tan∠ADP＝2，求出点P的横坐标．

11．（2020•肥城市四模）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴A（﹣4，0），B（2，0），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE，D是第二象限内的抛物线上一动点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求△ADE面积的最大值并写出此时点D的坐标；

（3）若tan∠AED

，求此时点D的坐标．

12．（2020•历下区校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+6交x轴于A（﹣4，0）、B（2，0），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．

（1）求二次函数的表达式；

（2）点D是第二象限内的抛物线上一动点．若tan∠AED

，求此时点D坐标；

（3）连接AC，点P是线段CA上的动点，连接OP，把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ，点Q是点O的对应点．当动点P从点C运动到点A时，判断动点Q的轨迹并求动点Q所经过的路径长．

14．（2019•丹东）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y

x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y

x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）求点N的坐标．

（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC

时，求点F的坐标．

（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤t

），请直接写出S与t的函数关系式．

15．（2020•成都校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+4交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（6，7）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F，作PM⊥CD于点M．

（1）求抛物线的解析式及sin∠PFM的值．

（2）设点P的横坐标为m：

①若P在CD上方，用含m的代数式表示线段PM的长，并求出线段PM长的最大值；

②当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？

请说明理由．

16．（2020•武汉模拟）如图，抛物线y═

x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，5）．有一宽度为1，长度足够长的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q，交直线AC于点M和点N，交x轴于点E和点F．

（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；

（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF

，求点Q的坐标；

（3）在矩形的平移过程中，是否存在以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

17．（2020•河东区模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为

．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．

（1）求m的值及抛物线的解析式；

（2）设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin（α﹣β）的值；

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？

若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

18．（2019•新都区校级模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点A和点B，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，B两点，且其对称轴是直线x＝2．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设P是抛物线上一动点，若在此抛物线上，有且仅有三个点P，使△ABP的面积等于定值S，请求出该定值S和这三个P点的坐标；

（3）如图2，动点C，D分别在x轴上方、下方的抛物线上运动，且满足∠CAO＝∠DAO，连接CD交x轴于点E，当点C，D运动时，∠CEO的度数发生变化吗？

若不变，求出sin∠CEO的值；若变化，请求出∠CEO的变化范围．