第三讲和差倍关系.docx

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第三讲和差倍关系

和倍问题

和倍问题：

已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题，叫和倍应用题。

解答和倍应用题的基本数量关系是：

和÷（倍数+1）=小数小数×倍数=大数（和—小数=大数）

例1：

学校有科技书和故事书共480本，科技书的本数是故事书的3倍，两种书各有多少本？

为了便于理解，我们画图来分析：

故事书||}

︸︸︸}480本

？

本}

科技书||||}

︸︸︸︸︸︸︸︸︸︸︸︸︸

？

本

由图可知，如果把故事书的本数看做1份，那么科技书的本数就是这样的3倍，两种书的总本数就是这样的1+3=4份，把480本书平均分成4份，1份是故事书的本数，3份是科技书的本数。

480÷（1+3）=120（本）

120×3=360（本）或480-120=360（本）

答：

有故事书120本，科技书360本。

即时练习：

（1）用锡和铝制成的合金是720千克，其中铝的重量是锡的5倍，铝和锡各用了多少千克？

（2）甲、乙两数的和是112，甲数除以乙数的商是6，甲、乙两数各是多少？

（3）一块长方形黑板的周长是96分米，长是宽的3倍，这块长方形黑板的长和宽各是多少分米？

例2：

果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵，其中梨树的棵树是苹果树的3倍，桃树的棵树是苹果树的4倍，求梨树、桃树和苹果树各有多少棵？

思路导航：

如果把苹果树的棵树看作1份，三种树的总棵数是这样的：

1+3+4=8份。

所以，苹果树有1200÷8=150（棵），梨树有150×3=450（棵），桃树有150×4=600（棵）

1200÷（1+3+4）=150（棵）

150×3=450（棵）

150×4=600（棵）

答：

梨树有450棵，苹果树有150棵，桃树有600棵。

即时练习：

（1）某专业户李大伯养鸡、鸭、鹅共960只，养鸡的只数是鹅的3倍，养鸭的只数是鹅的4倍，鸡、鸭、鹅各养了多少只？

（2）甲、乙、丙三数之和是360，又知甲为乙的3倍，丙为乙的2倍，求甲、乙、丙各是多少？

（3）商店有铅笔、钢笔、圆珠笔共560支，圆珠笔的支数是钢笔的3倍，铅笔的支数和圆珠笔的支数同样多。

铅笔、钢笔和圆珠笔各有多少支？

例3：

有三个书橱共放了330本书，第二个书橱的书是第一个的2倍，第三个书橱里的书是第二个的4倍，每个书橱里各放了多少本书？

思路导航：

把第一个书橱里的本数看作1份，那么第二个书橱里的本数是这样的2倍，第三个就是这样的2×4=8份，三个书橱里的总本数是这样的1+2+8=11份。

所以，第一个书橱里放了330÷11=30（本），第二个书橱里放了30×2=60（本），第三个书橱里放了60×4=240（本）。

330÷（1+2+2×4）=30（本）

30×2=60（本）

60×4=240（本）

答：

第一个书橱里放了30本，第二个书橱里放了60本，第三个书橱里放了240本。

即时练习：

（1）甲、乙、丙三个数之和是400，又知甲为乙的3倍，丙为甲的4倍，求甲、乙、丙各是多少？

（2）三块钢板共重621千克，第一块的重量是第二块的3倍，第二块的重量是第三块的2倍，三块钢板各重多少千克？

（3）甲、乙、丙三个修路队共修路1200米，甲队修的米数是乙队的2倍，乙队修的米数是丙队的3倍。

三个队各修了多少米？

例4：

少先队员种植柳树和杨树共216棵，杨树的棵数比柳树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵？

思路导航：

如果杨树少种20棵，那么柳树和杨树的总棵数是216-20=196（棵），这时杨树的棵数恰好是柳树的3倍，所以，柳树的棵数是196÷（1+3）=49（棵），杨树的棵数是216-49=167（棵）。

（216-20）÷（1+3）=49（棵）

216-49=167（棵）

答：

种柳树49棵，种杨树167棵。

即时练习：

（1）粮站有大米和面粉共6300千克，大米的重量比面粉的4倍还多300千克，大米和面粉各有多少千克？

（2）小花和小明两人参加数学竞赛，两人共得168分，小花的得分比小明的2倍少42分，两人各得了多少分？

（3）学校购买720本图书分给高、中、低三个年段，高年段分得比低年段的3倍多8本，中年段分得的比低年段的2倍多4本。

问高、中、低年段各分得图书多少本？

例5：

三个建筑队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米，三个队各筑了多少米？

思路导航：

把乙队的米数看作1份，甲队筑的米数是这样的2份，假设丙队多筑了240米，三个队共筑了1360+240=1600（米），正好是乙队的2+1+1=4倍。

所以，乙队筑了1600÷4=400（米），甲队筑了400×2=800（米），丙队筑了400-240=160（米）。

（1360+240）÷（2+1+1）=400（米）

400×2=800（米）

400-240=160（米）

答：

甲队筑了800米，乙队筑了400米，丙队筑了160米。

即时练习：

（1）三个植树队共植树1900棵，甲队植树的棵树是乙队的2倍，乙队比丙队少植300棵，三个队各植了多少棵？

（2）三个数的和是1540，甲数是丙数的7倍，乙数比甲数多40.甲乙丙三个数各是多少？

（3）城东小学共有篮球、足球和排球共95只，其中足球比排球少5只，排球的只数是篮球只数的2倍。

篮球、足球、排球各是多少只？

差倍问题

解答差倍应用题时，先要求出与两个数的差对应的倍数差。

解答差倍应用题的基本数量关系是：

差÷（倍数-1）=小数

小数×倍数=大数或小数+差=大数

例1：

有大小两个书架，大书架上书的本数是小书架上的4倍，如果从大书架上取出150本放到小书架上，这时，两书架上的书的本数相等。

大小书架原来各有多少本？

思路导航：

如果把小书架的本数看作1份，那么大书架的本数是这样的4份。

差2个150，对应的小书架的4-1=3份，1份就是150×2÷3=100（本）

150×2÷（4-1）=100（本）

100×4=400（本）

答：

小书架有100本书，大书架有400本书。

即时练习：

（1）甲桶酒是乙桶的5倍，如果从甲桶中取出20千克倒入乙桶，那么两桶酒重量相等。

两桶酒原来各是多少千克？

（2）小明的铅笔支数是小华的3倍，如果小明给小华6支后两人就同样多。

两人原来各有多少支铅笔？

（3）老猫和小猫去钓鱼，老猫钓的是小猫的3倍。

如果老猫给小猫3条后，小猫比老猫还少2条。

两只猫各钓了多少条？

例2：

仓库里存放大米和面粉两种粮食，面粉比大米多3900千克，面粉的千克数比大米的2倍还多100千克，问仓库有大米和面粉各有多少千克？

思路导航：

如果面粉减少100千克，那么面粉的千克数就是大米的2倍，3900-100=3800（千克），就是大米的2-1=1倍。

所以，大米有3800÷1=3800（千克），面粉有3800+3900=7700（千克）

即时练习：

（1）三年级学生参加课外活动，做游戏的人数比打球的人数的3倍多2人。

已知做游戏的比打球的多38人，打球和做游戏的各有多少人？

（2）学校今年参加科技兴趣小组的人数比去年多41人，今年的人数比去年的3倍少35人，今年有多少人参加？

（3）果园里种了一批苹果树和桃树，已知苹果树比桃树多1600棵，苹果树的棵数比桃树的3倍多100棵。

苹果树和桃树各种了多少棵？

例3：

育红小学买了一些足球、排球、和篮球，已知足球比排球多7只，排球比篮球多11只，足球的只数是篮球的3倍。

足球、排球和篮球各买了多少只？

思路导航：

足球比篮球多买了7+11=18（只），它的篮球的3-1=2（倍）。

所以，买篮球18÷2=9（只），买排球9+11=20（只），买足球20+7=27（只）

（7+11）÷（3-1）=9（只）

9+11=20（只）

20+7=27（只）

答：

买足球27只，买排球20只，买篮球9只。

即时练习：

（1）玩具厂二月份比一月份多生产玩具2000个。

三月份比二月份多生产3000个，三月份生产的玩具个数是一月份的2倍，每个月各生产多少个？

（2）某农具厂第三季度比第二季度多生产2800套轴承，第一季度比第二季度少生产1200套。

第三季度生产的是第一季度的3倍。

求每季度各生产多少？

（3）三个小朋友折纸飞机，小晶比小亮多折12架，小强比小亮少折8架，小晶折的是小强的3倍。

求三个人各折纸飞机多少架？

例4：

商店运来一批白糖和红糖，红糖的重量是白糖的3倍，卖出红糖380千克，白糖110千克后，红糖和白糖重量相等，商店原有红糖和白糖各有多少千克？

思路导航：

由“红糖卖出380千克，白糖卖出110千克后，红糖和白糖重量相等”可知原来红糖比白糖多380-110=270（千克），它是白糖的3-1=2（倍），所以，白糖原有270÷2=135（千克），红糖原有135×3=405（千克）。

（380-110）÷2=135（千克）

135×3=405（千克）

答：

商店原有红糖135千克，白糖405千克。

即时练习：

（1）甲、乙两个仓库各存一批面粉，甲仓库所存的面粉的袋数是乙仓的3倍，从甲仓中运走720千克后，从乙仓运走120千克后，两个仓库所剩的面粉相等，原来两个仓库各有面粉多少千克？

（2）有两筐橘子，第二筐中橘子的个数是第一筐中的2倍，如果第一筐中再放入48个，第二筐中再放入18个，那么两筐中橘子的个数相等，原来两筐各有橘子多少个？

（3）甲、乙两筐苹果重量相等。

如果从甲筐拿出6千克，乙筐放入14千克以后，乙筐苹果千克数是甲筐的3倍。

甲、乙原来各有苹果多少千克？

例5：

师徒两人加工同样多的一批零件，师傅加工了102个，徒弟加工了40个。

这时，徒弟剩下的个数是师傅剩下的3倍。

师傅要加工多少个零件？

徒弟|||||

︸︸︸︸

40个

师傅|||||

︸︸︸︸︸︸︸︸︸︸︸︸

102个

（102-40）÷（3-1）=31（个）

31+102=133（个）

答：

师傅要加工133个零件。

即时练习：

（1）有两根铁丝，第一根长28米，第二根长20米。

两根铁丝用去同样长后，第一根剩下的长度是第二根的3倍，两根铁丝各剩下多少米？

（2）两根同样长的电线，第一根用去46米，第二根用去19米，结果第二根剩下的是第一根剩下的4倍。

原来两根电线各是多少米？

（3）两筐重量相等的梨，甲筐取出18千克，乙筐取出6千克，这时乙筐是甲筐重量的3倍。

两筐原来各有梨多少千克？

和差问题

已知两个数的和与差，求出这两个数各是多少的应用题，叫做和差应用题。

解答和差应用题的基本数量关系是：

（和-差）÷2=小数

小数+差=大数（和-小数=大数）

或：

（和+差）÷2=大数

大数-差=小数（和-大数=小数）

解答和差应用题的关键是选择适当的数作为标准，设法把若干个不相等的数变为相等的数，某些复杂的应用题没有直接告诉我们两个数的和与差，可以通过转化求它们的和与差，再按照和差问题的解法来解答。

例1：

三、四年级同学共植树128棵，四年级比三年级多植树20棵，求三、四年级各植树多少棵？

三年级|||}

}128棵

四年级|||}

︸︸︸︸

20棵

（128-20）÷2=54（棵）54+20=74（棵）

或（128+20）÷2=74（棵）74-20=54（棵）

答：

三年级植树54棵，四年级植树74棵。

即时练习：

（1）两堆石子共有800吨，第一堆比第二堆多200吨，两堆各有多少吨？

（2）用锡和铝混合制成600千克的合金，铝的重量比锡多400千克，锡和铝各是多少千克？

（3）甲、乙两人年龄的和是35岁，甲比乙小5岁。

问甲、乙各多少岁？

例2：

今年小勇和妈妈两人年龄的和是38岁，3年前，小勇比妈妈小26岁，问今年妈妈和小勇各多少岁？

思路导航：

3年前，小勇比妈妈小26岁，这个年龄差是不变的，即今年小勇也比妈妈小26岁，显然，这属于和差问题。

（38+26）÷2=32（岁）32-26=6（岁）

或（38-26）÷2=6（岁）6+26=32（岁）

答：

妈妈今年32岁，小勇今年6岁。

即时练习：

（1）今年小刚和小强两人的年龄和是21岁，1年前，小刚比小强小3岁，问今年小刚和小强各多少岁？

（2）黄茜和胡敏两人今年的年龄和是23岁，4年后黄茜将比胡敏大3岁，问黄茜和胡敏今年各多少岁？

（3）两年前，胡伟比陆飞大10岁。

3年后，两人的年龄和将是42岁。

求胡伟和陆飞今年各多少岁？

例3：

把长108厘米的铁丝围成一个长方形，使长比宽多12厘米，长和宽各是多少厘米？

思路导航：

根据题意可知围成的长方形的周长是108厘米，因此，这个长方形的长和宽的和是108÷2=54（厘米），由此可求出长为（54+12）÷2=33（厘米），宽为33-12=21（厘米）。

（108÷2+12）÷2=33（厘米）33-12=21（厘米）

或54-33=21（厘米）

答：

长是33厘米，宽是21厘米。