第三讲和差倍关系.docx
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第三讲和差倍关系
和倍问题
和倍问题:
已知两个数的和与它们之间的倍数关系,求这两个数各是多少的应用题,叫和倍应用题。
解答和倍应用题的基本数量关系是:
和÷(倍数+1)=小数小数×倍数=大数(和—小数=大数)
例1:
学校有科技书和故事书共480本,科技书的本数是故事书的3倍,两种书各有多少本?
为了便于理解,我们画图来分析:
故事书||}
︸︸︸}480本
?
本}
科技书||||}
︸︸︸︸︸︸︸︸︸︸︸︸︸
?
本
由图可知,如果把故事书的本数看做1份,那么科技书的本数就是这样的3倍,两种书的总本数就是这样的1+3=4份,把480本书平均分成4份,1份是故事书的本数,3份是科技书的本数。
480÷(1+3)=120(本)
120×3=360(本)或480-120=360(本)
答:
有故事书120本,科技书360本。
即时练习:
(1)用锡和铝制成的合金是720千克,其中铝的重量是锡的5倍,铝和锡各用了多少千克?
(2)甲、乙两数的和是112,甲数除以乙数的商是6,甲、乙两数各是多少?
(3)一块长方形黑板的周长是96分米,长是宽的3倍,这块长方形黑板的长和宽各是多少分米?
例2:
果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵,其中梨树的棵树是苹果树的3倍,桃树的棵树是苹果树的4倍,求梨树、桃树和苹果树各有多少棵?
思路导航:
如果把苹果树的棵树看作1份,三种树的总棵数是这样的:
1+3+4=8份。
所以,苹果树有1200÷8=150(棵),梨树有150×3=450(棵),桃树有150×4=600(棵)
1200÷(1+3+4)=150(棵)
150×3=450(棵)
150×4=600(棵)
答:
梨树有450棵,苹果树有150棵,桃树有600棵。
即时练习:
(1)某专业户李大伯养鸡、鸭、鹅共960只,养鸡的只数是鹅的3倍,养鸭的只数是鹅的4倍,鸡、鸭、鹅各养了多少只?
(2)甲、乙、丙三数之和是360,又知甲为乙的3倍,丙为乙的2倍,求甲、乙、丙各是多少?
(3)商店有铅笔、钢笔、圆珠笔共560支,圆珠笔的支数是钢笔的3倍,铅笔的支数和圆珠笔的支数同样多。
铅笔、钢笔和圆珠笔各有多少支?
例3:
有三个书橱共放了330本书,第二个书橱的书是第一个的2倍,第三个书橱里的书是第二个的4倍,每个书橱里各放了多少本书?
思路导航:
把第一个书橱里的本数看作1份,那么第二个书橱里的本数是这样的2倍,第三个就是这样的2×4=8份,三个书橱里的总本数是这样的1+2+8=11份。
所以,第一个书橱里放了330÷11=30(本),第二个书橱里放了30×2=60(本),第三个书橱里放了60×4=240(本)。
330÷(1+2+2×4)=30(本)
30×2=60(本)
60×4=240(本)
答:
第一个书橱里放了30本,第二个书橱里放了60本,第三个书橱里放了240本。
即时练习:
(1)甲、乙、丙三个数之和是400,又知甲为乙的3倍,丙为甲的4倍,求甲、乙、丙各是多少?
(2)三块钢板共重621千克,第一块的重量是第二块的3倍,第二块的重量是第三块的2倍,三块钢板各重多少千克?
(3)甲、乙、丙三个修路队共修路1200米,甲队修的米数是乙队的2倍,乙队修的米数是丙队的3倍。
三个队各修了多少米?
例4:
少先队员种植柳树和杨树共216棵,杨树的棵数比柳树的3倍多20棵,两种树各种了多少棵?
思路导航:
如果杨树少种20棵,那么柳树和杨树的总棵数是216-20=196(棵),这时杨树的棵数恰好是柳树的3倍,所以,柳树的棵数是196÷(1+3)=49(棵),杨树的棵数是216-49=167(棵)。
(216-20)÷(1+3)=49(棵)
216-49=167(棵)
答:
种柳树49棵,种杨树167棵。
即时练习:
(1)粮站有大米和面粉共6300千克,大米的重量比面粉的4倍还多300千克,大米和面粉各有多少千克?
(2)小花和小明两人参加数学竞赛,两人共得168分,小花的得分比小明的2倍少42分,两人各得了多少分?
(3)学校购买720本图书分给高、中、低三个年段,高年段分得比低年段的3倍多8本,中年段分得的比低年段的2倍多4本。
问高、中、低年段各分得图书多少本?
例5:
三个建筑队共筑路1360米,甲队筑的米数是乙队的2倍,乙队比丙队多240米,三个队各筑了多少米?
思路导航:
把乙队的米数看作1份,甲队筑的米数是这样的2份,假设丙队多筑了240米,三个队共筑了1360+240=1600(米),正好是乙队的2+1+1=4倍。
所以,乙队筑了1600÷4=400(米),甲队筑了400×2=800(米),丙队筑了400-240=160(米)。
(1360+240)÷(2+1+1)=400(米)
400×2=800(米)
400-240=160(米)
答:
甲队筑了800米,乙队筑了400米,丙队筑了160米。
即时练习:
(1)三个植树队共植树1900棵,甲队植树的棵树是乙队的2倍,乙队比丙队少植300棵,三个队各植了多少棵?
(2)三个数的和是1540,甲数是丙数的7倍,乙数比甲数多40.甲乙丙三个数各是多少?
(3)城东小学共有篮球、足球和排球共95只,其中足球比排球少5只,排球的只数是篮球只数的2倍。
篮球、足球、排球各是多少只?
差倍问题
解答差倍应用题时,先要求出与两个数的差对应的倍数差。
解答差倍应用题的基本数量关系是:
差÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数或小数+差=大数
例1:
有大小两个书架,大书架上书的本数是小书架上的4倍,如果从大书架上取出150本放到小书架上,这时,两书架上的书的本数相等。
大小书架原来各有多少本?
思路导航:
如果把小书架的本数看作1份,那么大书架的本数是这样的4份。
差2个150,对应的小书架的4-1=3份,1份就是150×2÷3=100(本)
150×2÷(4-1)=100(本)
100×4=400(本)
答:
小书架有100本书,大书架有400本书。
即时练习:
(1)甲桶酒是乙桶的5倍,如果从甲桶中取出20千克倒入乙桶,那么两桶酒重量相等。
两桶酒原来各是多少千克?
(2)小明的铅笔支数是小华的3倍,如果小明给小华6支后两人就同样多。
两人原来各有多少支铅笔?
(3)老猫和小猫去钓鱼,老猫钓的是小猫的3倍。
如果老猫给小猫3条后,小猫比老猫还少2条。
两只猫各钓了多少条?
例2:
仓库里存放大米和面粉两种粮食,面粉比大米多3900千克,面粉的千克数比大米的2倍还多100千克,问仓库有大米和面粉各有多少千克?
思路导航:
如果面粉减少100千克,那么面粉的千克数就是大米的2倍,3900-100=3800(千克),就是大米的2-1=1倍。
所以,大米有3800÷1=3800(千克),面粉有3800+3900=7700(千克)
即时练习:
(1)三年级学生参加课外活动,做游戏的人数比打球的人数的3倍多2人。
已知做游戏的比打球的多38人,打球和做游戏的各有多少人?
(2)学校今年参加科技兴趣小组的人数比去年多41人,今年的人数比去年的3倍少35人,今年有多少人参加?
(3)果园里种了一批苹果树和桃树,已知苹果树比桃树多1600棵,苹果树的棵数比桃树的3倍多100棵。
苹果树和桃树各种了多少棵?
例3:
育红小学买了一些足球、排球、和篮球,已知足球比排球多7只,排球比篮球多11只,足球的只数是篮球的3倍。
足球、排球和篮球各买了多少只?
思路导航:
足球比篮球多买了7+11=18(只),它的篮球的3-1=2(倍)。
所以,买篮球18÷2=9(只),买排球9+11=20(只),买足球20+7=27(只)
(7+11)÷(3-1)=9(只)
9+11=20(只)
20+7=27(只)
答:
买足球27只,买排球20只,买篮球9只。
即时练习:
(1)玩具厂二月份比一月份多生产玩具2000个。
三月份比二月份多生产3000个,三月份生产的玩具个数是一月份的2倍,每个月各生产多少个?
(2)某农具厂第三季度比第二季度多生产2800套轴承,第一季度比第二季度少生产1200套。
第三季度生产的是第一季度的3倍。
求每季度各生产多少?
(3)三个小朋友折纸飞机,小晶比小亮多折12架,小强比小亮少折8架,小晶折的是小强的3倍。
求三个人各折纸飞机多少架?
例4:
商店运来一批白糖和红糖,红糖的重量是白糖的3倍,卖出红糖380千克,白糖110千克后,红糖和白糖重量相等,商店原有红糖和白糖各有多少千克?
思路导航:
由“红糖卖出380千克,白糖卖出110千克后,红糖和白糖重量相等”可知原来红糖比白糖多380-110=270(千克),它是白糖的3-1=2(倍),所以,白糖原有270÷2=135(千克),红糖原有135×3=405(千克)。
(380-110)÷2=135(千克)
135×3=405(千克)
答:
商店原有红糖135千克,白糖405千克。
即时练习:
(1)甲、乙两个仓库各存一批面粉,甲仓库所存的面粉的袋数是乙仓的3倍,从甲仓中运走720千克后,从乙仓运走120千克后,两个仓库所剩的面粉相等,原来两个仓库各有面粉多少千克?
(2)有两筐橘子,第二筐中橘子的个数是第一筐中的2倍,如果第一筐中再放入48个,第二筐中再放入18个,那么两筐中橘子的个数相等,原来两筐各有橘子多少个?
(3)甲、乙两筐苹果重量相等。
如果从甲筐拿出6千克,乙筐放入14千克以后,乙筐苹果千克数是甲筐的3倍。
甲、乙原来各有苹果多少千克?
例5:
师徒两人加工同样多的一批零件,师傅加工了102个,徒弟加工了40个。
这时,徒弟剩下的个数是师傅剩下的3倍。
师傅要加工多少个零件?
徒弟|||||
︸︸︸︸
40个
师傅|||||
︸︸︸︸︸︸︸︸︸︸︸︸
102个
(102-40)÷(3-1)=31(个)
31+102=133(个)
答:
师傅要加工133个零件。
即时练习:
(1)有两根铁丝,第一根长28米,第二根长20米。
两根铁丝用去同样长后,第一根剩下的长度是第二根的3倍,两根铁丝各剩下多少米?
(2)两根同样长的电线,第一根用去46米,第二根用去19米,结果第二根剩下的是第一根剩下的4倍。
原来两根电线各是多少米?
(3)两筐重量相等的梨,甲筐取出18千克,乙筐取出6千克,这时乙筐是甲筐重量的3倍。
两筐原来各有梨多少千克?
和差问题
已知两个数的和与差,求出这两个数各是多少的应用题,叫做和差应用题。
解答和差应用题的基本数量关系是:
(和-差)÷2=小数
小数+差=大数(和-小数=大数)
或:
(和+差)÷2=大数
大数-差=小数(和-大数=小数)
解答和差应用题的关键是选择适当的数作为标准,设法把若干个不相等的数变为相等的数,某些复杂的应用题没有直接告诉我们两个数的和与差,可以通过转化求它们的和与差,再按照和差问题的解法来解答。
例1:
三、四年级同学共植树128棵,四年级比三年级多植树20棵,求三、四年级各植树多少棵?
三年级|||}
}128棵
四年级|||}
︸︸︸︸
20棵
(128-20)÷2=54(棵)54+20=74(棵)
或(128+20)÷2=74(棵)74-20=54(棵)
答:
三年级植树54棵,四年级植树74棵。
即时练习:
(1)两堆石子共有800吨,第一堆比第二堆多200吨,两堆各有多少吨?
(2)用锡和铝混合制成600千克的合金,铝的重量比锡多400千克,锡和铝各是多少千克?
(3)甲、乙两人年龄的和是35岁,甲比乙小5岁。
问甲、乙各多少岁?
例2:
今年小勇和妈妈两人年龄的和是38岁,3年前,小勇比妈妈小26岁,问今年妈妈和小勇各多少岁?
思路导航:
3年前,小勇比妈妈小26岁,这个年龄差是不变的,即今年小勇也比妈妈小26岁,显然,这属于和差问题。
(38+26)÷2=32(岁)32-26=6(岁)
或(38-26)÷2=6(岁)6+26=32(岁)
答:
妈妈今年32岁,小勇今年6岁。
即时练习:
(1)今年小刚和小强两人的年龄和是21岁,1年前,小刚比小强小3岁,问今年小刚和小强各多少岁?
(2)黄茜和胡敏两人今年的年龄和是23岁,4年后黄茜将比胡敏大3岁,问黄茜和胡敏今年各多少岁?
(3)两年前,胡伟比陆飞大10岁。
3年后,两人的年龄和将是42岁。
求胡伟和陆飞今年各多少岁?
例3:
把长108厘米的铁丝围成一个长方形,使长比宽多12厘米,长和宽各是多少厘米?
思路导航:
根据题意可知围成的长方形的周长是108厘米,因此,这个长方形的长和宽的和是108÷2=54(厘米),由此可求出长为(54+12)÷2=33(厘米),宽为33-12=21(厘米)。
(108÷2+12)÷2=33(厘米)33-12=21(厘米)
或54-33=21(厘米)
答:
长是33厘米,宽是21厘米。