3•—个数（0除外）乘1,积等于这个数。
aXHc（aHO）,当b=l时,c=a。
四、分数乘法混合运算
1.分数乘法混合运算的顺序与整数相同，先算乘、除后算力Q、减，有括号的先算括号里面的，再算括号外面的。
2.整数乘法运算走律对分数乘法同样适用;运算走律可以使计算简便一些。
乘法交换律aX肛bXa
1.在进行因数与积的大小比较时,要注意因数为0时的特殊情况。
2•如果几个不为0的数与不同分数相乘的积相等，那么与大分数相乘的因数反而小，与小分数相乘的因数反而大。
••
1.分数连乘的简便运算：
先约分，再计算。
•••
2.在运用运算走律逬行简便运算时，要根据算式的特点选择合适的运算疋律，不符合运算走律的，不能用运算走律进行简便运算，避免出现错误。
当关键句中的单位"1"不明显时，要把关键句补充完
整,补充成"谁是谁的几分之几"，或"甲比乙多几分之几"或"甲比乙少几分之几"的形式。
先找出单位"1"，表示单位T"的几分之几的分数为对应的"分率"，令率都个帯单位名称哟！
巧记
••令数实际应甲輕卿坯隹网;1\巫确甘等是茨翅—次约分更简便。
乘法结合律：
（曰XZ>）Xc=aX（bX^乘法分配律:
aX（b±c}=aXb±aXc五、解决实际问题
1.分数应用题的一般解题步骤：
⑴找出含有分率的关键句。
⑵找出单位"1"的星。
（3）根据线段图写出等呈关系式：
单位”1"的呈X对应分率二对应呈
（4）根据已知条件和问题列式解答。
2.连续求一个数的几分之几是多少的问题，要一步一步t也认真分析，在分析每一步时，关键是找准单位"1”。
3•找单位"1"的方法:
从含有分数的关键句中找，注意"的"前"比"后的规则。
4.已知一个数呈比另一个数星多或少几分之几,求这个数臺的解题方法。
把"比"后面的星看作单位T的星单位T的星土单位"1"的星X另一个数星比单位"1"多或少的几分之几二另一个数臺。
2位置与方向匚）
一、确定物体位置的方法
1.找观测点。
2.疋方向（看方向夹角的度数）。
3.确走距离償世例尽）。
二、在平面图上绘出物体的具体位置
1.绘出方向。
2.以选定的单位长度为标准绘出距离。
导学点睛
确走物体位置的三要素:
观测点、方向、距离。
易追点弄错观测点。
举例:
在图上画出活动中心和幼儿
3.标出物体的名称。
三、描述路线
1.描述路线时要按照行驶的路线适当分为不同的路段描述。
2.每段都要有明确的观测点。
3.描述行走的方向和距离。
四、描绘路线图
描绘路线图的关键是选好观测点,建立方向标,确定方向和距离。
五、位置关系的相对性
1.在叙述具有相对性两地的位置关系时，观测点不同，叙述的方向正好相反,而距离相等。
2.相对位置
例如，东一西;南一北;南偏东一北偏西……
园的位置。
（1）活动中心在广场的西偏北30°
方向100米处。
⑵幼儿园在活动中心的南偏东
20°方向200米处。
东
在描述路线时，参照点是不断变动
的。
3分数除法
—.倒数的意义
1•倒数的意义:
乘积是1的两个数互为倒数。
2.求倒数的方法：
（1）求分数的倒数:
交换分子、分母的位置。
（2）求整数的倒数:
把整数看作分母是1的分数，再交扌央令子、分母的位置。
（3）求带分数的倒数:
把带分数化为假分数，再求倒数。
（4）求小数的倒数:
把小数化为分数，再求倒数。
导学点睛：
互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存,倒数不能单独存在。
（要说清谁是谁的倒数）
1的倒数是1,因为1X1=1；
0没有倒数，因为0乘任何数都得0。
（分母不能为0）
整数'
小数,
»化成分数
_分子交换分子■分母的位丽
倒数
3.真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1。
二、分数除法的意义
1.乘法:
因数X因数二积
除法积三一个因数二另一个因数
2.分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。
例如，扌宁舟的意义是已知两个因数的积是扌与其中一个因
3.分数除法的计算法则：
除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。
4.令数除注算齐中出现小数、.鄴灣臥軫別化啓兮数、假分数，再计算。
三、分藪噪疣混合运算
1.混合运算用递等式计算,等号写在第一个数字的左下角。
2・运算II页序：
1连除:
属同级运算，可以按照从左往右的顺序进行计算;也可以依据〃除以几僚,等于乘这几个数的倒数〃的简便方法计算。
力爪减法为一级运算，乘.除法为二级运算。
2混合运算:
没有括号的，先算乘、除后算加、减『有括号的，先算括号里面的，再算括号外面的。
四、用分数除法解决问题
1.解法。
（1）列方程:
根据数呈关系式设未知量为场用方程解答。
解:
设未知呈为M—走要解、设），再列方程，即用分率二具体最
例如:
公鸡有20只，是母鸡只数的扌,母鸡有多少只?
（单位
是母鸡的只数单位未知）解:
设母鸡有X只。
w60
⑵算术法（用除法）:
单位〃:
L"的量未知,用除法，即已知单位"1"的几分之几是多少,求单位"1〃的呈。
令率对应皐亍对应令率二单位的皐
例如:
公鸡有20只，是母鸡只数的扌,母鸦有多少只?
（单位
特别提示：
0除以任僧数（0除夕卜郵得0。
••入数除法比较大小时的规律：
⑴当除数大于1时，商小于被除数；
（2）当除数小于1（不等于0）时，商大于被除数；
（3）当除数等于1时，商等于被除数。
注意；
把除法转化成乘法时，被除数一走不能变，V变成"X"，除数变成它的倒数。
温馨提示：
（a±5Fc二aFc土bFc©
"[]"叫做中括号。
一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的,再算中括号里面的。
误把方程的解带上单位名称。
特别提示：
解决分数乘除问题时，判断用乘法计算还是用除法计算，关键是看单位T,单位T是已知的,用乘注;求单位T,用除法或列芳程。
••白钿卒位F的量用乘法。
举例:
甲是乙的|,乙是25,
求甲是多少。
25x|=15
求单位T"的星用除法。
举例:
甲是乙的|,甲是15,
求乙是多少。
15冷25
（建议列方程解答）
T是母鸡的只数单位"1"未知，用除法）
列式为：
20吕
2."已知一个数的几分之几是多少，求这个数"的问题的解法。
单位T的呈二已知呈三对应分率（已知呈占单位T的几分之几）
3•〃已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数“的问题的解法。
⑴根据〃单位的＞X（1±分率）二已知書，设单位“r的呈为疋列方程解答。
（2）确定单位T的星先计算出已知量占单位T的几分之几再根据分数除法的意义列式解答。
已知呈宁（1土分率）二单位T"的呈
错解:
解:
设母鸡有w只。
十
*60（只）
正确解答：
解:
设母鸡有w只。
xX^Q
-v*=60
例如:
桃树有50棵上堆果树少召苹果树有多少棵？
列式为：
50F（l-》
O
—种商品现在是80元上匕原价增加了原价是多少元？
列式为：
80"1£）
O
4.已知两个臺的和（差），其中一个呈是另一个量的几分之几,求这两个量的解法。
⑴用方程解:
找到题中数量间的等量关系,设单位丫的呈为K列出方程。
（2）用算术法解:
找到题中的单位T，计算出已知星占单位T"的几分之几。
利用”已知量三已知星占单位T的几分之几二单位T的量"列式解答。
5.工程问题。
把工作总呈看作单位"1"，合做多长时间完成一项工程用1.效斬口,即1.（甲完成的时间+乙完成的时间）。
（工俶障二1）
完成匸作的时间'
甲数比乙数多几分之几不等于乙数比甲数少几分之几，因为单位"1〃不同。
可以画线段图帮助分析题意。
表不两个呈的关糸固两条线段图，表不部分和整体的关糸画一条线段图。
解决含有两个未知呈的分数问题时，先选择一个未知量设为為再把另一个未知呈用含有x的式子表ZF出来，最后根据等呈关系列出方程。
注弩卞同一个题中，有时单位"1〃不止一个。
一个数呈在某一个条件中是单位T，在另一个条件中可能就不是单位T"。
解题时要认真比较，找准与单位"1〃的对应关系。
工程问题中的数呈关系：
工作总量三工作时间作效率
工作总呈宁工作效率二工作时间
工作效率X工作时间二工作总星
例如:
一项工程甲单独做要5天完成，乙单独做要10天完成，丙单独做要3天完成，三人合做几天可以完成？
列式为:
1建+”）
一、比的意义
2.比的意义:
两个数相除又叫做两个数的比。
2•在两个数的比中,比号前而的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。
3.比的前项除以后项所得的商，叫做比值"
15^10=15.104
15:
10=\
项号项
4.比可以表示两个相同量之间的关系脚倍数关系。
如:
长是宽的几倍。
也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。
如:
路程令速度=时间。
5.比和除法、分数的联系：
比前项比号“貂后项比值
被除
除法除号除数商
数
分数线5
分数分数分子分母值
6.求比值:
用前项除以后项，结果最好写成分数。
（能约分的要
约成最简分数）
如：
15刖0=15+10斗暮
二、比的基本性质
[.根据比、除法、分数的关系，可以得出比的基本性质。
（1）商不变的性质:
被除数和除数同时乘或除以相同的
数（0除外），商不变「
（2）分数的基本性质:
分数的分子和分母同时乘或除以
导学点睛’
特别提醒：
比值通常用分数表7K也可以用小数或整数表示。
比和比值的区别：
比:
表示两个数的关系，可
•以写成比的形式,也可以用分数表不。
•••
比值:
相当于商，是一个数，可以是整数、分数，也可以是小数。
••
连比：
例如：
30405
••••••••
读作：
3比4比50
特别提示：
根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。
删除法、分数的区别：
除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。
举例:
体育比寿中出现两队的比分是2E0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。
••
g馨f曰示・
根据比与除法、分数的关系,可以理解比的后项不能为0。
易£曰易混：
相同的数（0除外），分数值不变。
比中有单位的，化简和求比
（3）比的基本性质:
比的前项和后项同时乘或除以相同
值时,先要统一单位，再化简和
的数（0除外），比值不变。
求比值，结果没有单位。
2•最简整数比:
比的前项和后项都是整数，并且是互质
举例：
数这样的比就是最简整数比。
15010=15-5-10=^=^=302或
3.根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。
3
1501O=15-MO=J
4•化简比。
2
阖比的丽顶和肩项同时除以它们的虽大公凶数’
最简整数比是3回2。
U②两个分数的比:
用而项、肩项同时乘分忖的最小
特别提醒：
⑴墓公倍数•再按化简整数比的方法來化简。
用求比值的方法。
注意最
盘③两个小数的比:
向右移动小数点的位置.先化成
后结果要写成比的形式。
蛊整数比，再化简。
易错易混：
⑵利用求比值的方法。
搞错对应关系。
三、按比例分配问题
举例:
用80cm长的铁丝围
2.按比例分配，就是把一个数量按照一定的比进行分
成一个长方形框架，长与竞的比
配。
这种方法通常叫做按比例分配。
是3刖，这个框架的长和克各是
2.按比例分配问题的解法。
多少？
按比例分配问题一般有两种解题方法：
错解:
（1）分数法（用分率解）。
按比例分配通常把总量看作单
长：
80x3--60（cm）
位"2”，即转化成分率。
要先求出总份数，再求岀几份占总
份数的几分之几，最后用总量分别乘几分之几。
^：
80x-i—=20（cm）
0i丄
例如:
有糖水25克,糖和水的比为104,糖和水分別有几
正确解答：
克？
80必40（cm）
1+4=5,糖占訓25x£得到糖的质量冰占訓25冬得到
长：
40xjY=30（cm）
O1丄
水的质量。
1
（2）归一法（用份数解）。
先求岀总份数，再求出每份是多
^：
40x——=10（cm）
0i丄
少,最后分别求岀几份是多少。
例如:
有糖水25克,糖和水的比为104,糖和水分別有几
克？
糖和水的份数一共有“4=5（份），一份就是25+5=5（克）。
糖有1份，是5xl=5（克）冰有4份，是5x4=20（克）。
一、圆的认识
导学点睢B
圆心确走圆的位置，半
1.圆心:
用圆规画圆时,针尖所在的点叫做圆心,圆心一般用
径确走圆的大小。
在同圆或等圆中，有无
字母0表示。
圆多次对折之后,折痕相交于圆的中心，即圆心。
它到圆上任意一点的距离都相等。
数条半径，有无数条直径。
2.半径:
连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。
一般用字母r表示。
用圆规画圆时，带针尖
3.直径:
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
一般用字母d表示。
直径是一个圆内最长的线段。
的一端不能乱动，两脚之间
4•圆的画法。
的距离不能改变。
（1）借助实物画圆。
圆规两脚间的距离是
把圆形物体平放在纸而上，用铅笔尖绕着圆形物体轮廉画
圆的半径。
一圈,便可以得到一个圆。
⑵用圆规画圆。
•Lmii#
走半径、走圆心、旋转
把圆规的两脚叉开,把有针尖的一只脚固泄在一个点上，把
—周。
•••
在同圆或等圆中，所有
另一只脚绕这个点旋转一周，就画出了一个圆。
的直径长度都相等,所有的
5.等圆:
半径相等的圆叫做等圆，等圆通过平移可以完全重
半径长度都相等。
合。
有一条对称轴的图形：
同心圆:
圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。
半圆、扇形、等腰梯形、等
6.在同圆或等圆中,直径的长度是半径的2倍，半径的长度
腰三角形、角。
有两条对称
是直径的？
用字母表示为出2r或寺
轴的图形:
长方形。
有三条对
7.圆是轴对称图形。
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧
称轴的图形:
等边三角形。
有
的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。
折痕所在的
四条对称轴的图形:
正方形。
这条直线叫做对称轴。
有无数条对称轴的图形:
圆、
8.画对称轴要用铅笔画，同时要用直尺（三角尺）画出虚线，
这条虚线两端要超出图形一点。
圆坏。
9.用圆设计美丽的图案
设计图案时,经常利用圆形组合成美丽的图案。
二、圆的周长
错解:
圆的直径是圆的
2.圆的周长:
囤成圆的曲线的长是圆的周长。
用字母C表
册轴。
zjsO
正确解答:
圍的直径所在的
2.圆周率实验：
（滚动法）在圆形纸片上做个记号，与直尺的0
直线是圆的对称轴。
刻度线对齐，在直尺上滚动一周，得到圆的周长;（测绳法）用线用
绕圆形纸片一周,屋出线的长度，就是圆的周长。
—个圆的周长总是它
发现:
圆的周长与它直径的比值（圆的周长除以直径）是一
直径的3倍多一点,这个比
个固左值，即3倍多一点，我们把它叫做圆周率,用字母n表示。
值是f固走的数。
圆周率
3.圆周率:
任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固
H是一个无限不循环小数。
立的数，我们把它叫做圆周率。
用字母n（pdi）表示。
世界上第
••••
一个把圆周率算岀来的人是我国的数学家祖冲之。
在计算时,一般取n〜3.14。
4.圆的周长公式:
圆的周长等于圆周率乘直径「用字母表示|
温馨提示：
为C二Tid或圆的周长等于2乘圆周率乘半径,用字母表示为1
••••
C=2nro
在判断时，圆周长是它
（1）已知圆的周长求直径，用圆的周长除以圆周率，用字母表
直径的n倍，而不是3.14倍。
示为d二Cti。
计算圆周长的关键是
（2）已知圆的周长求半径，用圆的周长除以圆周率的2倍，用
字母表示为-G2ji（或尸旦）。
••ZTT•
确走半径。
规律速记：
5.区分圆周长的一半和半圆的周长。
⑴圆周长的一半二圆的周长+2
—个圆的半径增加a厘
计算方法：
2nr^2f即C半二nc
米，周长就增加2ko厘米。
（2）半圆的周长=圆的周长的一半+直径。
—个圆的直径增加b厘
计算方法:
半圆的周长=（2+n）r»
米，周长就增加bn厘米。
推导过程:
Ct二nr+2厂=（2+n）厂
理解半圆的周长时，可
三、圆的面积
以结合半圆的图形来理解。
1.圆的而积:
圆所占平而的大小叫做圆的面积。
用字母S表
转化思想：
zjso
2•圆而积公式的推导:
方形的面积,体现了转化的
把圆的面积转化为长
（1）把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图形
数学思想。
越接严长方形。
k邨缚冬胡申于啤即囲艸勺丁半芒刁甲®執埠于團的半径」
••••
（2）拼出的图形与圆的周长和半径的关系。
公式:
Swr2。
帥）
圆的半径二长方形的宽
圆的周长的一半二长方形的长
3.圆面积的计算方法:
因为长方形的而积=长><宽，所以圆的
而积二圆周长的一半X圆的半径，即Sw=C^2xr=nrxr=nr2^
圆的而积公式:
S沪川
4.环形的面积:
一个环形，外圆的半径用字母R表示,内圆的半径用字母厂表示。
（R二“环的宽度）
••••••••
Sn^nR^-nr2或Sw=n（/?
2,）澤以用牟个伞戎）。
5•组合图形的而积。
⑴外方内圆（内切圆）阴影而积公式Wx（T
推导过程:
S二Sii-SM=J2-nr2=2rx2r-nr2=4r2-nr2=r2x（4-n）＜,
圆面积的变化规律：
半径旷木多少借厚径、.周乐电同甲扌厂木多少借黒回积旷木眄借簪半隹、.M径扩大倍数的平方倍。
如果：
二〃辺〃2巨
=Ci0C20C3
=2E3E4
那么：
Si21S20S3=4®9016
学冬方誓、.疋方爭、.圜的周乐爭等匝圏回积最衣疋方爭闻积届中世方誓回积最小。
.反乙闻积餌臥乐方爭的周乐最坦瓦方誓的周乐届中圉旳周母最短。
求圆环的面积，关键是
⑵外圆内方（外切圆）阴影而积公式：
S=（n-2）^o
确走内外圆的半径。
推导过程:
S二Sm-Sii=nr2-y-x2zrnr2-2rxyx2=nr2-2r2=r2x（n-2）（把
正方形看成两个而积相等的三角形，三角形的底就是直径，高是
求复杂的组
半径）。
••
合图
（3）任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固左
形的面积时,要根据图形的
值：
40tu
特点,把它转化为几个规则
（4）解决求组合图形的面积时,一般要将它们分割成几个简
图形的面积的和或差的形
单的图形，分别求出简单图形的而积，再求岀它们的和或差。
式来求面积。
四、扇形
扇形的面积：
2.圆上两点之间的部分叫做弧.
S曲©X佥
2.—条弧和经过这条弧两端的两条半径所用成的图形叫
扇形也是轴对称图形，有才;对称轴。
做扇形。
3•顶点在圆心的角叫做圆心角。
4.扇形的而积与圆心角的大小和半径的长短有关。
五、确定起跑线
扇形是圆的一部分。
每条跑道的周长等于两半圆跑道合成的圆的周长加上两条直跑道的和。
因为相邻两条跑逍的两条直跑逍长度相等，而两个半圆跑道合成的圆的周长不相等，所以要使终点相同，相邻两条跑道的起跑线就不同。
6百分数（-）
一、百分数的意义和写法
1.百分数的意义:
表示一个数是另一个数的百分之几。
百分数是指两个数的比，因此也叫百分率或百分比。
1导学点睛:
特别说明：
2.百分数和分数的主要联系与区别：
（1）联系:
都可以表示两个量的倍比关系。
（2）区别:
①意义不同。
百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所以不能带单位;分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体的数时可以带单位。
②分子不同。
百分数的分子可以是整数，也可以是小数；分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数。
3.百分数的写法:
通常不写成分数的形式，而是在原来分子后而加上“％”来表示，读作“百分之几”。
例如：
14%读作:
百分之十四;百分之零点八写作：
0.8%,・
二、百分数与分数、小数的互化
1•百分数与小数的互化。
（1）小数化成百分数:
把小数点向右移动两位（位数不够，
•••••用0补足），同时在后而添上百分号。
••••
（
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