角形全等证明题60题.docx

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角形全等证明题60题

全等三角形证明题专项练习60题（有答案）

1．已知如图，△ABC≌△ADE，∠B=30°，∠E=20°，∠BAE=105°，求∠BAC的度数．∠BAC=　_________　．

2．已知：

如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．求证：

△ABD≌△CDB．

3．如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于F．若∠1=∠2=∠3，AC=AE，请说明△ABC≌△ADE的道理．

4．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于H，且AD=BD．试说明下列结论成立的理由．

（1）∠DBH=∠DAC；

（2）△BDH≌△ADC．

5．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE=DF，则AB=AC，并说明理由．

6．如图，AE是∠BAC的平分线，AB=AC，D是AE反向延长线的一点，则△ABD与△ACD全等吗？

为什么？

7．如图所示，A、D、F、B在同一直线上，AF=BD，AE=BC，且AE∥BC．

求证：

△AEF≌△BCD．

8．如图，已知AB=AC，AD=AE，BE与CD相交于O，△ABE与△ACD全等吗？

说明你的理由．

9．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E在AD上，找出图中全等的三角形，并说明它们为什么是全等的．

10．如图所示，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：

△ABC≌△DEC．

11．已知AC=FE，BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，应增加什么条件？

并根据你所增加的条件证明：

△ABC≌△FDE．

12．如图，已知AB=AC，BD=CE，请说明△ABE≌△ACD．

13．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将△ABC绕点C逆时针旋转角α（0°＜α＜90°）得到△A1B1C，连接BB1．设CB1交AB于D，A1B1分别交AB，AC于E，F，在图中不再添加其他任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明．（△ABC与△A1B1C1全等除外）

14．如图，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF．求证：

△ABC≌△DEF．

15．如图，AB=AC，AD=AE，AB，DC相交于点M，AC，BE相交于点N，∠DAB=∠EAC．求证：

△ADM≌△AEN．

16．将两个大小不同的含45°角的直角三角板如图1所示放置在同一平面内．从图1中抽象出一个几何图形（如图2），B、C、E三点在同一条直线上，连接DC．

求证：

△ABE≌△ACD．

17．如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．请在图中找出所有全等的三角形，用符号“≌”表示，并选择一对加以证明．

18．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，EC=AD．

（1）求证：

△ABD≌△EBC．

（2）你可以从中得出哪些结论？

请写出两个．

19．等边△ABC边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F．

（1）若AD=2，求AF的长；

（2）求当AD取何值时，DE=EF．

20．巳知：

如图，AB=AC，D、E分别是AB、AC上的点，AD=AE，BE与CD相交于G．

（Ⅰ）问图中有多少对全等三角形？

并将它们写出来．

（Ⅱ）请你选出一对三角形，说明它们全等的理由（根椐所选三角形说理难易不同给分，即难的说对给分高，易的说对给分低）

21．已知：

如图，AB=DC，AC=BD，AC、BD相交于点E，过E点作EF∥BC，交CD于F，

（1）根据给出的条件，可以直接证明哪两个三角形全等？

并加以证明．

（2）EF平分∠DEC吗？

为什么？

22．如图，己知∠1=∠2，∠ABC=∠DCB，那么△ABC与△DCB全等吗？

为什么？

23．如图，B，F，E，D在一条直线上，AB=CD，∠B=∠D，BF=DE．试证明：

（1）△DFC≌△BEA；

（2）△AFE≌△CEF．

24．如图，AC=AE，∠BAF=∠BGD=∠EAC，图中是否存在与△ABE全等的三角形？

并证明．

25．如图，D是△ABC的边BC的中点，CE∥AB，E在AD的延长线上．

试证明：

△ABD≌△ECD．

26．如图，已知AB=CD，∠B=∠C，AC和BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE．

（1）求证：

△AOB≌△DOC；

（2）求∠AEO的度数．

27．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC．

（1）求证：

△ABF≌△DEC；

（2）请你找出图中还有的其他几对全等三角形．（只要直接写出结果，不要证明）

28．如图：

在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG．

（1）求证：

△ABD≌△GCA；

（2）请你确定△ADG的形状，并证明你的结论．

29．如图，点D、F、E分别在△ABC的三边上，∠1=∠2=∠3，DE=DF，请你说明△ADE≌△CFD的理由．

30．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BE⊥AC于点E，点F在线段BE上，∠1=∠2，点D在线段EC上，给出两个条件：

①DF∥BC；②BF=DF．请你从中选择一个作为条件，证明：

△AFD≌△AFB．

31．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，AB=BC，BD=BE，EA=DC，求证：

△BEA≌△BDC．

32．阅读并填空：

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．请说明△ADC≌△CEB的理由．

解：

∵BE⊥CE于点E（已知），

∴∠E=90°　_________　，

同理∠ADC=90°，

∴∠E=∠ADC（等量代换）．

在△ADC中，

∵∠1+∠2+∠ADC=180°

　_________　，

∴∠1+∠2=90°　_________　．

∵∠ACB=90°（已知），

∴∠3+∠2=90°，

∴　_________　．

在△ADC和△CEB中，.

∴△ADC≌△CEB（A．A．S）

33．已知：

如图所示，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．

（1）写出图中你认为全等的三角形（不再添加辅助线）；

（2）选择你在

（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明．

34．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE．试说明下列结论正确的理由：

（1）∠C=∠E；

（2）△ABC≌△ADE．

35．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是斜边AB上的一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F．求证：

△ACE≌△CBF．

36．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE∥CA交AB于E，点P是线段AC上的一动点，连接PE．

探究：

当动点P运动到AC边上什么位置时，△APE≌△EDB？

请你画出图形并证明△APE≌△EDB．

37．已知：

如图，AD∥BC，AD=BC，E为BC上一点，且AE=AB．

求证：

（1）∠DAE=∠B；

（2）△ABC≌△EAD．

38．如图，D为AB边上一点，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，CA=CB，CD=CE，图中有全等三角形吗？

指出来并说明理由．

39．如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．求证：

△ABD≌△ACE．

40．如图，已知D是△ABC的边BC的中点，过D作两条互相垂直的射线，分别交AB于E，交AC于F，求证：

BE+CF＞EF．

41．如图所示，在△MNP中，H是高MQ与NE的交点，且QN=QM，猜想PM与HN有什么关系？

试说明理由．

42．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥GF，交AB于点E，连接EG．

（1）求证：

BG=CF；

（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．

43．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD=，DE=，求BE的长．

44．如图，小明在完成数学作业时，遇到了这样一个问题，AB=CD，BC=AD，请说明：

∠A=∠C的道理，小明动手测量了一下，发现∠A确实与∠C相等，但他不能说明其中的道理，你能帮助他说明这个道理吗？

试试看．

45．如图，AD是△ABC的中线，CE⊥AD于E，BF⊥AD，交AD的延长线于F．求证：

CE=BF．

46．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，F在DC的延长线上，AM=CF，FM交DA的延长线上于E．交BC于N，试说明：

AE=CN．

47．已知：

如图，△ABC中，∠C=90°，CM⊥AB于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE∥AB交BC于E，求证：

CT=BE．

48．如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．∠B与∠D相等吗？

请你说明理由．

49．D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=EF，AE=CE，求证：

AB∥CF．

50．如图，M是△ABC的边BC上一点，BE∥CF，且BE=CF，求证：

AM是△ABC的中线．

51．如图，在△ABC中，AC⊥BC，AC=BC，D为AB上一点，AF⊥CD交于CD的延长线于点F，BE⊥CD于点E，求证：

EF=CF﹣AF．

52．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，若MN是经过点A的直线，BD⊥MN于D，EC⊥MN于E．

（1）求证：

BD=AE；

（2）若将MN绕点A旋转，使MN与BC相交于点O，其他条件都不变，BD与AE边相等吗？

为什么？

（3）BD、CE与DE有何关系？

53．已知：

如图，△ABC中，AB=AC，BD和CE为△ABC的高，BD和CE相交于点O．求证：

OB=OC．

54．在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边的中点，点F在AC边上，DE与CF平行且相等．试说明AE=DF的理由．

55．如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE=AC，连接DE，已知DE=2cm，BD=3cm，求线段BC的长．

56．如图：

已知∠B=∠C，AD=AE，则AB=AC，请说明理由．

57．如图△ABC中，点D在AC上，E在AB上，且AB=AC，BC=CD，AD=DE=BE．

（1）求证△BCE≌△DCE；

（2）求∠EDC的度数．

58．已知：

∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为E．求证：

BD=2CE．

59．如图，已知：

AB=CD，AD=BC，过BD上一点O的直线分别交DA、BC的延长线于E、F．

（1）求证：

∠E=∠F；

（2）OE与OF相等吗？

若相等请证明，若不相等，需添加什么条件就能证得它们相等？

请写出并证明你的想法．

60．如下图，AD是∠BAC的平分线，DE垂直AB于点E，DF垂直AC于点F，且BD=DC．求证：

BE=CF．

全等三角形证明题专项练习60题参考答案：

1．∵△ABC≌△ADE且∠B≠∠E，

∴∠C=∠E，∠B=∠D；

∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣30°﹣20°=130°．

2．∵AB∥CD，AD∥BC，

∴∠ABD=∠CDB、∠ADB=∠CBD．

又BD=DB，

∴△ABD≌△CDB（ASA）．

3．△ADF与△AEF中，

∵∠2=∠3，∠AFE=∠CFD，

∴∠E=∠C．

∵∠1=∠2，

∴∠BAC=∠DAE．

∵AC=AE，

∴△ABC≌△ADE．

4．

（1）∵∠BHD=∠AHE，∠BDH=∠AEH=90°

∴∠DBH+∠BHD=∠HAE+∠AHE=90°

∴∠DBH=∠HAE

∵∠HAE=∠DAC

∴∠DBH=∠DAC；

（2）∵AD⊥BC

∴∠ADB=∠ADC

在△BDH与△ADC中，

∴△BDH≌△ADC．

5．∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴△DBE与△DCF是直角三角形，

∵BD=CD，DE=DF，

∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），

∴∠B=∠C，

∴AB=AC．

6．∵AE是∠BAC的平分线，

∴∠BAE=∠CAE；

∴180°﹣∠BAE=180°﹣∠CAE，

即∠DAB=∠DAC；

又∵AB=AC，AD=AD，

∴在△ABD和△ACD中，

∴△ABD≌△ACD（SAS）

7．∵AE∥BC，

∴∠B=∠C．

∵AF=BD，AE=BC，

∴△AEF≌△BCD（SAS）．

8．△ABE与△ACD全等．

理由：

∵AB=AC，∠A=∠A（公共角），AE=AD，

∴△ABE≌△ACD．

9．图中的全等三角形有：

△ABD≌△ACD，

△ABE≌△ACE，

△BDE≌△CDE．

理由：

∵D是BC的中点，

∴BD=DC，AB=AC，AD=AD

∴△ABD≌△ACD（SSS）；

∵AE=AE，∠BAE=∠CAE，AB=AC，

∴△ABE≌△ACE（SAS）；

∵BE=CE，BD=DC，DE=DE，

∴△BDE≌△CDE（SSS）．

10．：

∵∠1=∠2，

∴∠ACB=∠DCE，

在△ABC和△DEC中，

，

∴△ABC≌△DEC（SAS）

11.增加AB=DF．在△ABC和△FDE中，∴△ABC≌△FDE（SSS）．

12．∵AB=AC，BD=CE，∴AD=AE．又∵∠A=∠A，∴△ABE≌△ACD（SAS）．

13．△CBD≌△CA1F证明如下：

∵AC=BC，

∴∠A=∠ABC．

∵△ABC绕点C逆时针旋转角α（0°＜α＜90°）得到△A1B1C1，

∴∠A1=∠A，A1C=AC，∠ACA1=∠BCB1=α．

∴∠A1=∠ABC（1分），A1C=BC．

∴△CBD≌△CA1F（ASA）

14．∵AB∥DE，AC∥DF，

∴∠B=∠DEF，∠F=∠ACB．

∵BE=CF，

∴BE+CE=CF+EC．

∴BC=EF．

∴△ABC≌△DEF（ASA）．

15．∵AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠EAC，

∴∠DAC=∠AEB，

∴△ACD≌△ABE，

∴∠D=∠E，

又AD=AE，∠DAB=∠EAC，

∴△ADM≌△AEN

16．∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90，

即∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，

∴∠BAE=∠CAD，

在△ABE和△ACD中，，

∴△ABE≌△ACD

17．

答：

△BDE≌△FEC，△BCE≌△FDC，△ABE≌△ACF；

证明：

（以△BDE≌△FEC为例）

∵△ABC是等边三角形，

∴BC=AC，∠ACB=60°，

∵CD=CE，

∴△EDC是等边三角形，

∴∠EDC=∠DEC=60°，

∴∠BDE=∠FEC=120°，

∵CD=CE，

∴BC﹣CD=AC﹣CE，

∴BD=AE，

又∵EF=AE，

∴BD=FE，

在△BDE与△FEC中，

∵，

∴△BDE≌△FEC（SAS）．

18．

（1）证明如下：

∵∠ABD=∠1+∠EBC，∠CBE=∠2+∠EBC，∠1=∠2．

∴∠ABD=∠CBE．

在△ABD和△EBC中

∴△ABD≌△EBC（AAS）；

（2）从中还可得到AB=BC，∠BAD=∠BEC

19．

（1）∵AB=8，AD=2

∴BD=AB﹣AD=6

在Rt△BDE中

∠BDE=90°﹣∠B=30°

∴BE=BD=3

∴CE=BC﹣BE=5

在Rt△CFE中

∠CEF=90°﹣∠C=30°

∴CF=CE=

∴AF=AC﹣FC=；

（2）在△BDE和△EFC中

，

∴△BDE≌△CFE（AAS）

∴BE=CF

∴BE=CF=EC

∴BE=BC=

∴BD=2BE=

∴AD=AB﹣BD=

∴AD=时，DE=EF

20．

（1）图中全等的三角形有四对，分别为：

①△DBG≌△EGC，②△ADG≌△AEG，③△ABG≌△ACG，④△ABE≌△ACD；（4分）

（Ⅱ）∵AB=AC，AD=AE，∠A是公共角，

∴△ABE≌△ACD（SAS）④；

∵AB=AC，AD=AE，

∴AB﹣AD=AC﹣AE，即BD=CE；

由④得∠B=∠C，

又∵∠DGB=∠EGC（对顶角相等），BD=CE（已证），

∴△DBG≌△EGC（AAS）①；

由①得BG=CG，由④得∠B=∠C，

又∵AB=AC，

∴△ABG≌△ACG（SAS）③；

由①得BG=CG，且AD=AE，AG为公共边，

∴△ADG≌△AEG（SSS）②；

21．

（1）△ABC≌△DCB．

证明：

∵AB=CD，AC=BD，BC=CB，

∴△ABC≌△DCB．（SSS）

（2）EF平分∠DEC．

理由：

∵EF∥BC，

∴∠DEF=∠EBC，∠FEC=∠ECB；

由

（1）知：

∠EBC=∠ECB；

∴∠DEF=∠FEC；

∴FE平分∠DEC

22．△ABC≌△DCB．

理由如下：

∵∠ABC=∠DCB，∠1=∠2，

∴∠DBC=∠ACB．

∵BC=CB，

∴△ABC≌△DCB

23．

（1）∵BF=DE，

∴BF+EF=DE+EF．

即BE=DF．

在△DFC和△BEA中，

∵，

∴△DFC≌△BEA（SAS）．

（2）∵△DFC≌△BEA，

∴CF=AE，∠CFD=∠AEB．

∵在△AFE与△CEF中，

∵，

∴△AFE≌△CEF（SAS）

24．△ABF与△DFG中，∠BAF=∠BGD，∠BFA=∠DFG，

∴∠B=∠D，

∵∠BAF=∠EAC，

∴∠BAE=∠DAC，

∵AC=AE，∠BAE=∠DAC，∠B=∠D，

∴△BAE≌△DAC．

答案：

有．△BAE≌△DAC

25．∵CE∥AB，

∴∠ABD=∠ECD．

在△ABD和△ECD中，，

∴△ABD≌△ECD（ASA）

26．

（1）证明：

在△AOB和△COD中

∵

∴△AOB≌△COD（AAS）

（2）解：

∵△AOB≌△COD，

∴AO=DO

∵E是AD的中点

∴OE⊥AD

∴∠AEO=90°

27．1）证明：

∵AB∥DE，

∴∠A=∠D．

∵AB=DE，AF=DC，

∴△ABF≌△DEC．

（2）解：

全等三角形有：

△ABC和△DEF；△CBF和△FEC

28．

证明：

（1）∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，

∴∠AFC=∠AEB=90°（垂直定义），

∴∠ACG=∠DBA（同角的余角相等），

又∵BD=CA，AB=GC，

∴△ABD≌△GCA；

（2）连接DG，则△ADG是等腰三角形．

证明如下：

∵△ABD≌△GCA，

∴AG=AD，

∴△ADG是等腰三角形．

29．

解：

∵∠4+∠6=180°﹣∠3，∠5+∠6=180°﹣∠2，∠3=∠2，

∴∠4+∠6=∠5+∠6，

∴∠4=∠5，

∵在△ADE和△CFD中，

，

∴△ADE≌△CFD（AAS）．

30．①DF∥BC．

证明：

∵BE⊥AC，

∴∠BEC=90°，

∴∠C+∠CBE=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠ABF+∠CBE=90°，

∴∠C=∠ABF，

∵DF∥BC，

∴∠C=∠ADF，

∴∠ABF=∠ADF，

在△AFD和△AFB中

∴△AFD≌△AFB（AAS）．

31．在△BEA和△BDC中：

，故△BEA≌△BDC（SSS）．

32．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．请说明△ADC≌△CEB的理由．

解：

∵BE⊥CE于点E（已知），

∴∠E=90°　（垂直的意义）　，

同理∠ADC=90°，

∴∠E=∠ADC（等量代换）．

在△ADC中，

∵∠1+∠2+∠ADC=180°

　（三角形的内角和等于180°）　，

∴∠1+∠2=90°　（等式的性质）　．

∵∠ACB=90°（已知），

∴∠3+∠2=90°，

∴　∠1=∠3（同角的余角相等）　．

在△ADC和△CEB中，.

∴△ADC≌△CEB（A．A．S）

33．

（1）△ABF≌△DEC，△ABC≌△DEF，△BCF≌△EFC；（2分）

（2）△ABF≌△DEC，

证明：

∵AB∥DE，

∴∠A=∠D，（3分）

在△ABF和△DEC中，（4分）

∴△ABF≌△DEC．（5分）

34．

（1）△ADF与△AEF中，

∵∠2=∠3，∠AFE=∠CFD，

∴∠C=∠E；

（2）∵∠1=∠2，

∴∠BAC=∠DAE．

∵AC=AE，

又∠C=∠E，

∴△ABC≌△ADE．

35．∵AE⊥CD，

∴∠AEC=90°，

∴∠ACE+∠CAE=90°，（直角三角形两个锐角互余）

∵∠ACE+∠BCF=90°，

∴∠CAE=∠BCF，（等角的余角相等）

∵AE⊥CD，BF⊥CD，

∴∠AEC=∠BFC=90°，

在△ACE与△CBF中，∠CAE=∠BCF，∠AEC=∠BFC，AC=BC，

∴△ACE≌△CBF（AAS）．

36．当动点P运动到AC边上中点位置时，△APE≌△EDB，

∵DE∥CA，

∴△BED∽△BAC，

∴=，

∵D是BC的中点，

∴=，

∴=，

∴E是AB中点，

∴DE=AC，BE=AE，

∵DE∥AC，

∴∠A=∠BED，

要使△APE≌△EDB，

还缺少一个条件DE=AP，又有DE=AC，

∴P必须是AC中点．

37．

（1）∵AE=AB，

∴∠B=∠AEB，

又∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠DAE，

∴∠DAE=∠B；

（2）∵∠DAE=∠B，AD=BC，AE=AB，

∴△ABC≌△EAD．

38．△ACE≌△BCD．

∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，

∴∠ECD=∠ACB=90°，

∴∠ACE=∠BCD（都是∠ACD的余角），

在△ACE和△BCD中，

∵，

∴△ACE≌△BCD．

39．∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，

即∠BAD=∠EAC，

在△ABD和△ACE中

，

∴△ABD≌△ACE．

40．

证明：

延长FD到M使MD=DF，连接BM，EM．

∵D为BC中点，

∴BD=DC．

∵∠FDC=∠BDM，

∴△BDM≌△CDF．

∴BM=FC．

∵ED⊥DF，

∴EM=EF．

∵BE+BM＞EM，

∴BE+FC＞EF．

41．PM=HN．

理由：

∵在△MNP中，H是高MQ与NE的交点，

∴∠MEH=∠NQH=90°，∠MQP=∠NQH=90°

∵∠MHE=∠NHQ（对顶角相等），

∴∠EMH=∠QNH（等角的余角相等）

在△MPQ和△NHQ中，

，

∴△MPQ≌△NHQ（ASA），

∴MP=NH．

42．

（1）∵BG∥AC，

∴∠DBG=∠DCF．

∵D为BC的中点，

∴BD=CD

又∵∠BDG=∠CDF，

在△BGD与△CFD中，

∵

∴△BGD≌△CFD（ASA）．

∴BG=CF．

（2）BE+CF＞EF．

∵△BGD≌△