聚焦数学课堂的十年改革之旅.docx
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聚焦数学课堂的十年改革之旅
聚焦数学课堂的十年改革之旅
──来自上海市中学青年数学教师联会的报告
（二）
上海市中学青年数学教师联会理事会
3、“文本案例研究”──青年教师在课例研究中砺练
（2000，3～2003，4）
在我们青年教师大量运用录像带分析技术研究课堂的过程中，我们发现录像带分析虽然弥补了现场观摩的一些不足，如可以多角度的二次编码，从而使复杂过程的研究成为可能，并且不受时间的限制，也有利于整合定性和定量分析。
但录像带一般只是单纯的课堂实录，缺少教学法意义上的讨论与指导，因此在改变教师的实际教学行为上不甚理想。
首先，观看录像带毕竟不是在现场听课，摄像机拍摄到的角度非常有限，只能看到教师行为和个别学生，对于教室内全体学生每时每刻的概貌无法把握，只能根据声音“想象”；其次，观看录像带获得的信息极其有限，尤其是对于课堂教学中的突发事件难以解释其发生发展的深层因素；第三，对于青年教师而言，受到自身水平和经验的制约，观看录像带往往难以捕捉课堂焦点、有时甚至不知所云；最后，观看录像带毕竟再现的是原始的课堂教学素材，没有专业研究人员或专家的观点、甚至也没有现场观察那样有同行点评，如果青年教师机械地套用各种录像带分析技术，有时反而把一堂课弄得“支离破碎”。
此外，我们感到要反复观看四五十分钟的课堂录像，非常疲劳和乏味，因为只能以快进或倒退的方式搜寻某个片段大致的节点。
从2000年以来，我们青数会初步接触到一些国内外优秀的教学案例，感觉到用案例的形式来研究课堂教学是一种很好的形式。
案例研究从1986年开始就被卡耐基工作组推崇为教师教育的核心，成为“联结理论与实践，揭示教师在复杂的认知活动中如何运用高层次决策技能的有效途径”。
许多研究也表明，“案例可以为训练教师的分析能力，激发自我反思提供例证与机会”；可以激发教师“探讨真实的、丰富而复杂的教学法问题，分享和探究教学经验”等。
因此在2001年，青数会承担全国中学数学教育专业委员会年会会务工作时，特意向与会代表和青年教师提供了两本引进翻译的国外优秀案例集（哈佛数学案例发展项目成果和匹兹堡大学QUASAR研究成果，由上海教育出版社2001年出版）。
自此，青数会成员做数学教学案例掀起了一个高潮，几乎所有成员都参与过案例研究，据不完全统计，从2000年3月到2003年4月三年来，青数会的教师正式发表在《人民教育》、《上海教育科研》、《中学数学教学参考》、《数学教学通讯》、《数学教育学报》等刊物上78篇，其中23篇获得省级以上论文评比等第奖，还有大量的案例被提交会议讨论或作为学习资料内部编印。
我们发现，用文本案例的形式分析数学课堂教学有较高的研究成分。
它可以使青年教师有主题的关注一两个数学教学问题而非面面俱到，因此焦点突出、信息集中；而案例中揭示的问题往往又可以激发教师的深入反思和进一步讨论；更重要的是，每个教学案例本身既有教学过程的描述、又有理性角度的阐述，使得教学实践和理论相互联系；而在案例的开发过程中，通常会有青年教师和研究人员的合作，案例的呈现结果实质是研究者和教师双方观点的综合，这样的课堂研究形式非常有利于青年教师的快速成长。
例如在2003年，青数会副会长沈子兴老师（复旦中学）研究了数学教学中“接受性学习与研究性学习的整合”，发表在《数学教学通讯》，此文后来被人大复印资料全文转载，并获得了“全国教育理论研究与创新成果评审”一等奖。
【文本案例：
“接受式学习”与“活动式学习”的整合】
研究性学习作为以培养学生数学探索能力、创新意识、合作精神为目的的学习方式，正受到教育界的广泛重视。
通过实践，各地都总结了许多经验，包括“研究性课程”的开设、“套餐式课程”的实验、各种课题研究小组的成立等等，这些只是推广研究性学习方式的一种途径，促使我们思考的问题是：
如何在平时的课堂教学中体现研究性学习？
它如何与传统的“接受性学习”发挥各自的优势、实现相互整合，以取得更好的教学效果？
下面通过《直线与圆的位置关系及判定》一课的实录及评析，谈谈我们的认识。
课题：
直线与圆的位置关系及判定
知识目标：
（1）使学生掌握直线与圆的三种位置关系的定义及判定方法；
（2）能运用判定方法解决有关直线与圆的位置关系问题。
能力目标：
通过实验、观察、归纳、推理的运用，体验数学思维方法。
总体思路：
为了达到这些目标，执教者安排了四个环节：
（1）实验、观察、归纳、总结，得出直线与圆的三种位置关系及本质特征；
（2）通过对问题的研究引起认知冲突，进一步研究出直线与圆的三种位置关系的判定方法；（3）再通过对问题的研究得出切线的判断定理；（4）应用已有结论解决问题。
教学过程与评析：
（1）问题的提出
T:
前面几节课，我们通过研究,已经掌握了有关圆的一些基本性质，本节课我们将一起研究直线与圆的位置关系。
[评析]开始由教师首先提出本课所要解决的问题，使学生尽快明确自己的学习任务，这是传授式课堂中的特点，本课也如此。
当我们走进教室时，学生的座位改变了以往“秧田式”的排列，而是分成八个小组，围坐在一起，这是探究性学习的外在形式。
尽管这只是形式，但这是教师为学生营造的研究性学习的氛围。
上课时教师不是一直站在讲台前，而是深入到每一小组，参与学生们的讨论，学生在研究过程中有什么争执，随时可以听到教师的评价；教师的讲台是开放的，学生在研究讨论中有新的见解，都可以到讲台前发表。
课堂中经常出现争执的场面，我们发现许多好的想法、独到的见解往往都是在争执中出现，为了能够说服对方，必须竭尽全力，思维的火花就在这时迸发。
（2）定义的探求
T：
首先请各小组将准备好的圆环及直线段放在桌面上，在桌面上轻轻地移动，观察它们有哪些不同的位置关系？
并且研究:
不同的位置关系，他们的主要区别在哪里？
（各小组做实验、观察、讨论，教师巡视，一会儿，有小组代表发言）
S:
有三种不同的位置关系（作出演示如图8）。
S:
还有两种（如图9）。
（立即有学生反对）
S:
因直线可以无限延伸，所以所讲两种情况即为第3种。
T:
还有不同意见吗？
S:
没有。
T:
通过大家刚才的观察，发现直线与圆的位置关系共有三种，（多媒体演示如图），那么这些不同的位置关系主要区别在哪里？
（有学生举手）
S:
直线与圆公共点的个数不同，第一种情况没有公共点即公共点个数为0，第二种情况只有一个公共点，第三种情况有两个公共点。
（这时一学生举手发言）
S:
第三种情况可能有三个公共点（如图10）。
（其他同学指出，圆心不是圆上点，不能成为公共点）
T:
这样直线与圆最多只有两个公共点，并且不同公共点个数决定着不同的位置关系，因此我们可以按公共点的个数来划分来定义直线与圆的位置关系，（多媒体演示）当直线与圆无公共点时，称直线与圆相离；当直线与圆只有一个公共点时，称直线与圆相切，直线称为切线，公共点称为切点；当直线与圆有两个公共点时，称直线与圆相交，直线称为割线。
（教师板书，填表）
[评析]看似简单的动手画图探索活动直线与圆的三种位置关系，蕴涵着重要的思想，体现了实验──观察──归纳这一科学思维方法。
学生在教师的点拨下，研究出不同位置关系的本质特征──公共点个数不同，体验了定义的发生过程，进一步激发了学生学习数学、研究数学的兴趣。
而教师的总结使学生进一步明确了探索到的结果，可以获得系统的对直线与圆位置关系的认识。
（3）探索直线与圆位置关系的判定方法
T：
这样我们只要知道直线与圆公共点的个数即可确定直线与圆的位置关系。
请看这样一个问题：
（出示幻灯片）根据图形判断直线与圆的位置关系（图11）。
（此时教室里一片安静，不到一分钟，各小组的争论已很热烈，有同学发言）
S:
图11
（1）中直线与圆有两个公共点，所以是相交关系。
图11
（2）中直线与圆相切。
（这时有同学提出是相交，有的是相切，争论不休，谁也不能说服谁，这时教师讲话了）
T:
图11
（2）中直线与圆到底有几个公共点？
看来凭我们的肉眼是很难判断，容易产生误差。
那么怎样解决这一问题？
这就要求我们必须寻求一种便于把握而又可以避免这种误差的判定方法。
T:
前面我们曾研究过点与圆的位置关系，请大家回忆一下，我们是怎样判断点与圆的位置关系的？
S:
通过点与圆心的距离与半径的大小关系确定位置关系的。
（教师打开幻灯片，一边看一边讲解。
）
T:
点与圆的位置关系：
它是通过d与r的数量关系来反映点P与圆的位置关系，这种方法便于掌握非常准确，我们能否也从这个角度考虑一下直线与圆的位置关系呢？
请大家将两者类比一下，主要区别是什么？
S:
那是点，现在是直线。
T:
那里是用点到圆心的距离与半径比较，那么我们这里应该怎样比较？
S:
利用直线与圆心的距离与半径比较。
T:
而直线与点的距离通常是指什么？
S:
点到直线的垂直线段的长。
T:
（教师作图）设圆的半径为r，圆心o到直线l的距离为d，仔细观察图形，你能根据d与r的大小关系，判断直线l与圆o的位置关系吗？
请说明理由。
（课堂里又出现了由安静到热烈的场面，我们发现有的同学在用尺量距离，有的在计算，有的互相争执，这时有的同学急于公布自己的研究成果，举手发言）
S：
利用d与r的关系可以判断位置关系，
，因为直线l上点P到点O距离最小，若OP=d>r,则P在圆外，其它点也在圆外，其它情况一样考虑。
T：
还有没有不同的考虑？
（停留片刻）刚才这位同学讲得非常好，我刚才看了许多同学都得到这样的结论，这说明同学们已经具备了一定的研究能力，这种类比思想是科学研究中重要的思想方法，在今后的学习中将经常应用它。
有了这种方法，刚才的问题能否解决？
S：
直线l并不是⊙o的切线，而是与圆相交。
T：
由此可以发现，学习的过程实质上是不断探索新方法，解决新问题的过程。
下面我们利用我们的研究成果解决几个问题。
（打开幻灯片，显示问题）
例1填空：
1．⊙o半径是4cm,弦AB=4
cm,以O为圆心,15cm为半径的圆和AB的位置关系___________.
2．Rt
两直角边AC=3,BC=4,以C为圆心r为半径作圆与AB相切,则r=___________.
3．⊙o半径OA=r,直线l过A并且
（1）与OA成60
则l与⊙o________.
（2）与OA垂直,则l与⊙o_____________.
（学生对以上三个问题进行研究讨论，得出结论，教师进行了点评）
[评析]在教师引导下利用定义判定直线与圆的位置关系，讨论中发现在解决具体问题时，定义的难以把握，引起认知冲突。
这一设计非常巧妙，通过直线与圆所成角为89o，凭肉眼是不容易看出直线与圆有几个公共点的，在学生中引起争论，诱导、激发学生探求新判定的欲望，这时教师点拨学生的思维，引导学生将“直线与圆的位置关系”与“点与圆的位置关系”进行类比，研究如何通过数量关系判定直线与圆的位置关系。
这一过程，通过类比思想的渗透，对学生科学的思维方法的形成、优良思维品质的培养、思维能力的提高，都将起到一定的促进作用。
从教学过程看，这一部分是课堂上非常精彩的一段。
（4）归纳切线判定定理
T:
仔细比较3中两个图形，你能得出更一般性的结论吗？
（一会儿，有同学举手发言）
S：
直线l经过半径OA外端点A，若与OA不垂直，则l与⊙o不相切，若与OA垂直，则l一定与⊙o相切。
T：
这个结论在判断切线时非常有用，你能用文字语言叙述这一结论吗？
S：
经过半径外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
T：
这一结论称为切线判定定理，两个条件缺一不可。
为我们判断切线提供了又一种方法。
请看例2（打开幻灯片，显示例题）
例2．已知直线AB经过⊙o上点C,并且OA=OB,CA=CB.求证:
直线AB是⊙o的切线。
（图12，学生代表到讲台前分析）
S：
切线判定两条件
现在已知AB过圆上一点C,则连接OC即满足
（1）。
由等腰三角形性质即可满足
（2）。
T：
这位同学分析得很精彩，他紧扣切线判定两个条件一一加以验证，请大家特别关注连接OC这条辅助线的作用，具体证明请看课本。
例3．已知AB是⊙o直径，AD
l,BC
l,垂足分别为D,C.并且AD+BC=AB.求证:
l是⊙o的切线。
（学生讨论解题思路）
S：
因为l与⊙o公共点情况不明，所以不能用刚才的判定定理，只有利用d=r来证明。
作OE
l,再证明OE为半径即可。
T：
下面请大家写出证明过程，并请一位同学将证明过程写在黑板上。
（大约两分钟的时间，学生们已全部写好证明，教师就黑板上的证明做了评价，然后提出问题）通过这两个问题的解决你有何感受？
能否与同学们交流一下？
S：
证明一条直线为圆的切线，
（1）若已知直线与圆有公共点，则连接圆心与公共点，证明垂直关系；
（2）若不知公共点情况，则过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径。
（又有几位同学讲了自己的体会）
[评析]通过问题的研究提炼出切线的判定定理，这一过程的设计也是独具匠心，让学生在不知不觉中探索出切线的判定。
首先通过学生的研究发现：
“若直线l经过A且与半径OA垂直，则l与⊙O相切；若直线l经过A并且与半径OA不垂直，则l与⊙O不相切”这样一个事实，然后让学生用文字语言将这一结论进行描述，并且明确这就是切线的判定定理。
这样引导学生从具体到抽象、步步深入，既培养学生的抽象概括能力、数学语言的转换能力，又使学生亲身经历探索数学定理的全过程，同时也感受到知识就在自己的探索创造活动中被发现，知识的积累成为一种很自然的延伸。
（5）课堂小结：
T：
下面我们通过填表格将本节课的内容小结一下：
表10直线与圆的位置关系
图形
公共点个数
位置关系
判定方法
0
相离
（1）公共点个数
（2）d>r
1
相切
（1）只有一个公共点
（2）d=r
（3）判定定理
2
相交
（1）两个公共点
（2）d[评析]通过填写表格等形式对本节课所学内容进行整理，以便同化到学生的认知结构中去。
这里也是接受式学习，系统地掌握本节课内容。
进一步思考的问题：
（1）“研究性学习”的误区
①认为研究性学习就是研究性课程。
其实研究性学习作为一种学习方式是与接受式学习相对的，研究性课程是实施研究性学习方式的重要载体，但不是唯一的，并不意味着在基础性课程中不需要研究性学习。
由本课例可以看出，在数学课堂教学中，根据教材内容，设计问题，使学生根据自己的体验，用自己的思维方式，通过自身的研究尝试在不断探索中获取新知识，使学生重走科学家探索之路，体会知识发生、发展的过程。
②认为研究性学习就是整节课都让学生研究，不需要教师的引导。
其实课堂教学中实施研究性学习与“课题研究”是有所区别的，每一节课需要完成一定的教学任务，教学中只有将“研究性学习”与“接受式学习”相结合，才能达到最佳教学的效果。
例如，在探索某一概念的发生、发展过程，在探索某一定理的发现过程，在探求解决问题的思路时，采用研究性学习方式有利于培养学生的探索能力和创新精神，有利于学生更好的理解数学。
而在需要教师引导的时候，就应该点拨学生的思维，如本课例中将“直线与圆的位置关系”与“点与圆的位置关系”加以类比，这就需要教师的引导，并且要恰倒好处。
因此，在一节课中，研究性学习可以体现在教学的某一部分、某一环节上。
通过以上分析可以看出，本节课是体现研究性学习方式与传统教法相结合的一节好课。
（2）必须处理的几对矛盾
①学生的差异性与问题的统一性的矛盾。
在同一班级中，学生是有差异的，包括学习基础、学习习惯、思维方式、学习兴趣等等，有客观因素，也有主观因素。
作为数学“研究性学习”的课堂教学的设计策划者，必须根据不同个体的特征，尽可能设计出能使每个学生都能得到充分发展的方案。
现行教材是按一定的知识体系编排而成，教学中必须将课本内容，按一定序列编排成可供探索的问题，这些问题的操作性如何，直接影响学生的参与程度。
问题的提出既要能覆盖本节内容，即知识点必须落实到位，又要能提供探索的空间；既要能体现本节内容要求达到的能力目标，又要使学生感到这是以往知识的延伸；问题太容易，则达不到培养能力的要求；问题太难，能力较弱的学生难以找到研究的突破口。
所以作为教师，对教材的意图领会要深刻，对教材的肢解能力要强，对同一个教学内容设计可供选择有区别的问题以适应不同层次学生的需求。
②学生思维的开放性与教学内容、教学时间的限定性的矛盾。
在研究性学习中，学生处于研究者的地位，对教师提出的问题，学生思维的开放性很大，而教学内容是确定的，教师必须在有限时间内完成教学任务，既要能使学生的思维能力、想象能力得以发展，又要强调课堂教学的时效性，若教师控制得过严，收敛得过早，学生没有体会，思维没有一定的深度，则与“研究性学习”的宗旨相违背，所以两者的协调统一以及度的把握直接影响教学的效果。
在本案例中教师所设计的问题恰到好处，能够充分展开学生的思维，但方向性很明确，便于对问题结论的归纳总结。
但一般情况下要提供适度的思维空间是难以操作的，这有待于我们进一步的探索。
上述案例向我们展示了一位青年数学教师通过案例研究《研究性学习与接受性学习的整合》，试图把自己的教学实践与课程改革所倡导的理念结合起来。
正如张海老师（建平世纪中学）的感言：
“把我们老师研究的问题用案例形式表达出来，避免了以前写论文时牵强附会地列上几条教学‘原则’，沈老师的案例既有教学过程的展示又有理念的诠释……”案例研究使教师真正对自己的教学实践进行了反思、进行了理论视角的审视，而且有了一种专业发展的渴求。
回顾这个案例研究的过程，沈子兴老师说：
“对刚走上工作岗位的年轻数学教师来说，数学课堂教学具有很大的盲目性，如教学中为什么要设计教学情景，如何设计？
概念教学与定理法则教学有何区别？
采用怎样的有效的训练方法，使学生能够达到预期的目的？
等等很多问题，有时只是凭借着一些经验，包括自身学习的经验或其他教师的教学经验，并没有上升到一个理性思考的阶段，虽然在一些教学比赛中获奖，但总是感到对数学课堂教学的理解还是比较肤浅的。
通过做案例研究，审视自己的教学过程，对课堂教学有了理论角度的认识和理解，而且逐步还形成了自己感兴趣的研究课题。
我现在真的很需要一些专业研究人员的帮助，和我一起探讨研究性与接受性学习整合的问题……”
4、“视频案例研究”──整合课堂教学研究的三种途径
（2003，5～至今）
现场观察、录像带分析、文本案例研究是我们前期研究课堂的三个基本途径，我们发现：
现场观察容易体验课堂教学的实际氛围，但课堂上的许多事件稍纵即逝，观察者的注意力又难以长时间集中、也缺少反思的时间和空间；录像带分析的最大优点是可以反复观看、观察时间不受限制，有利于后期多次分析、编码，综合定量和定性的观察数据，但不易把握课堂的全局氛围和焦点，难以解释录像带上一些事件的深层因素，尤其是青年教师缺乏经验、在机械套用观察技术时反而容易把课堂变得“支离破碎”；文本案例分析有较高的研究成分，主题突出、容易激发讨论问题与反思，但文本案例把大量的课堂信息选择性地“简化”、真实性往往受到怀疑，而且难以对案例进行多角度的“再加工”，交流时文本容量也非常有限。
这三条途径各有利弊，能否找到一条途径，可以综合利用以上三条途径的优势呢？
从2003年起，国际上新兴的视频案例研究进入了我们的视野，它有以下几个特点：
提供真实可信的数学教学情境。
视频案例与文本案例相比所提供的是“不加修饰”的课堂情境，可以捕获大量的课堂细节，可以真实再现教学事件的模糊性和复杂性，因此也有助于观察者形成自己对某个事件的观点，也更容易被记忆系统所编码和保存，并与已有知识建立联系，在真实的课堂情境中提供真实的任务。
视频案例所固有的这些特征使它成为一种比文本案例更为有效的教师学习工具，其空间的、动态的特点也使得教学情境更为丰富和真实。
呈现数学教学的内隐知识和多角度解读。
所谓内隐知识是关于“怎么做”的知识，它之所以“不可言传”，在一定程度上是指不能脱离它所镶嵌的情境，因此，一种可能的途径就是把这类知识连同它所镶嵌的背景一起呈现出来；多角度解读是“从不同的概念与案例的角度去表征知识，这样，当以后运用这些知识时，就有能力根据问题解决情境的需要对这些知识进行适当的‘剪裁’”，它可以使学习者“在不同的时间、不同的情境，根据不同的目的和不同的概念框架去反复观察同一个案例”，从而为知识的表征提供了多重的分类图式。
提供向专家数学教师学习的机会。
向专家学习是教师专业成长的一个重要环节，但专家的知识是高度情境化和个人化的，一旦离开具体的问题或事件，这种知识就难以呈现。
在视频案例的教学活动中，专家由两种途径“即时介入”：
其一是作为案例的主体对教学进行“示范”，早期干预；其二是作为旁观者对案例进行“点评”，无论哪种方式，对教师而言无疑是向专家学习的一个机会。
统整和融合了数学教师的教学、学习、研究。
教师进修课程既涉及教育学和心理学的一般原理，专业学科的基础知识和教学法知识，也涉及具体的课堂教学案例和处理各种教学事件的策略。
视频案例可以把这几个板块的知识统合在一个案例中表现出来，这与教师在具体的教学实践中所有这些知识共同发挥影响是一致的。
另外，视频案例在相关资源库的建设上有着巨大的潜力，只要硬件条件允许，它就可以利用超媒体技术为教师的教学研修提供强有力的资源链接。
2003年9月，我们邀请苏州大学鲍建生教授为青数会报告了国际上视频案例研究的最新进展，随后我们在上海市教科院顾泠沅教授的指导下尝试制作视频案例。
经过一年多的摸索尝试，我们先后制作了6个程度不一版本的案例。
2005年4月8日，“首届全国中小学课堂教学优秀视频案例展评活动”在北京首都师范大学召开，由全国教师教育学会主办。
我们青数会学术组成员参加的两个视频案例荣获一等奖（杨玉东等《勾股定理能够被学生探究吗》、陈振华等《“除法就是分豆子”》），教育部袁贵仁副部长亲自为我们的两个视频案例颁发了证书。
【视频案例1：
勾股定理能够被探究出来吗？
】
1、选题背景
勾股定理是数学教改的晴雨表：
上一世纪五六十年代数学课程中的严格论证、后来提倡的“量一量、算一算”、之后的“告诉结论”、“做中学”，直到现在的探究式等。
数学教学要培养学生的数学计算、数学论证乃至数学决策等三大能力，勾股定理教学正是一个恰当的例子。
勾股定理在平面几何里具有非常重要的地位、也处于学生数学思维转折阶段，但它的教学却始终是一个难点，没有很好地在教学法意义上被解决。
数学教学的实质就是学生在他们的“数学现实”基础上、在教师指导下进行“再创造”的过程[12]。
这里的“再发现”关键在于“再”，一方面是指学生的发现属于“对他来说是新的、对教师则是熟知的”，另一方面意味着学生的发现要“在教师的指导下”经历类似数学家运用思想方法的数学活动过程。
那么，如何在教师的精心指导下，让学生来体验数学家们发现一个定理的过程呢？
勾股定理的教学，正是这样一个具有创意的尝试。
2、以往进行勾股定理教学的各种尝试
我国以往的教材中，重点是对给出的勾股定理进行严格的形式化证明，也即采用欧几里德的等积变形推导进行证明。
在这个证明中（如图14），首先要至少做出三条辅助线──即分别连接C、E，B、I，作CF垂直DE于F、与AB相交于G；其次，证明正方形ACHI的面积是ΔABI面积的2倍、长方形AEFG的面积是ΔACE面积的2倍；然后，证明ΔABI与ΔACE面积全等；由此，推导出正方形ACHI的面积与长方形AEFG的面积相等。
用类似的方法，同理证明出小正方形BCJK的面积等于长方形BDFG的面积。
所以，两个直角边上正方形的面积之和等于斜边上正方形的面积。
这一证明过程至少需要作出三条辅助线、找到三对图形的面积关系做出推导，其构思的精妙令人折服，可是技巧难度太高。
从上世纪90年代一直到近来的勾股定理教学中，教师试图设置一个动手情境，让学生“做中学”。
在提出猜想阶段，通过学生对直角三角形三边的测量，得出一组数据，然后进行“猜想”──这叫做“量一量、算一算”；但是这样“量、算”的办法，既受到数据测量精确性的制约、又局限于数据的数量，学生
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