平面向量章节46个考点附例题变式精编精讲-例题（140个变式题）解析.docx

平面向量章节46个考点附例题变式精编精讲-例题（140个变式题）解析.docx

《平面向量章节46个考点附例题变式精编精讲-例题（140个变式题）解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面向量章节46个考点附例题变式精编精讲-例题（140个变式题）解析.docx（151页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

专题一平面向量的实际背景及基本概念

知识点1向量的概念

1．向量:

既有大小又有方向的量叫做向量.

2．数量：

只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、质量等），称为数量．

注：

（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．

（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．

（3）向量与数量的区别：

数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．

知识点2向量的表示法

1．有向线段：

具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：

起点、方向、长度．

2．向量的表示方法:

（1）字母表示法:

如等.

（2）几何表示法:

以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量.

注：

（1）用字母表示向量便于向量运算；

（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．

知识点3向量的有关概念

1．向量的模:

向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）.

注：

（1）向量的模．

（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．

2．零向量:

长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．

3．单位向量:

长度等于1个单位的向量.

注：

（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；

（2）将一个向量除以它模，得到向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．

4．相等向量:

长度相等且方向相同的向量.

注：

在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．

知识点3向量的共线或平行

方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称平行向量）.规定:

与任一向量共线.

注：

1.零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.

2.平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

3．共线向量与相等向量的关系：

相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．

考点1向量的基本概念

例题1给出如下命题：

①向量的长度与向量的长度相等；

②向量与平行，则与的方向相同或相反；

③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

④两个公共终点的向量，一定是共线向量；

⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．

其中正确的命题个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】根据向量的基本概念，对每一个命题进行分析与判断，找出正确的命题即可．

【解析】对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，①正确；

对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，②错误；

对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，是正确的；

对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，④错误；

对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，⑤错误．

综上，正确的命题是①③．选．

【小结】本题考查向量相等、向量平行与向量共线的有关基本概念的判断问题，是综合题目．

变式1下列说法不正确的是　　

①若，则；②两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；③平面直角坐标系中的轴和轴都是向量；④若，则，，，四点是平行四边形的四个顶点；⑤在中，一定有．

A．①④ B．②④⑤ C．②③⑤ D．①②③④⑤

【分析】根据向量的定义和几何意义逐项判断对错．

【解析】①不能保证，的方向相同，故①错误；

②向量与位置无关，故②错误；

③轴和轴是直线，没有长度，故③错误；

④若在同一条直线上，则，，，不能构成平行四边形，故④错误；

⑤在中，方向不同，故，故⑤错误．

选．

【小结】本题考查了平面向量的定义和几何意义，属于基础题．

变式2下列关于向量的结论：

（1）若，则或；

（2）向量与平行，则与的方向相同或相反；

（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；

（4）若向量与同向，且，则．

其中正确的序号为　　

A．

（1）

（2） B．

（2）（3） C．（4） D．（3）

【分析】根据向量的定义，平行向量和相等向量的定义判断即可．

【解析】根据向量的定义可判断

（1）（4）错误，向量都是零向量时，由向量平行得不出方向相同或相反，从而判断

（2）错误，根据相等向量的定义可判断（3）正确．

选．

【小结】考查向量的定义，平行向量和相等向量的定义．

变式3下列命题中，正确的个数是　　

①单位向量都相等；②模相等两个平行向量是相等向量；③若，满足且与同向，则；

④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；⑤若，，则．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．

【解析】对于①，单位向量的大小相等相等，但方向不一定相同，故①错误；

对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；

对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；

对于④，向量是可以平移的矢量，当两个向量相等时，

它们的起点和终点不一定相同，故④错误；

对于⑤，时，，，则与不一定平行．

综上，以上正确的命题个数是0．选．

【小结】本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，是基础题目．

考点2向量的表示与向量的模

例题2某人从点出发向西走了，到达点，然后改变方向按西偏北走了到达点，最后又向东走了10米到达点．

（1）作出向量，，（用长的线段代表长）；

（2）求．

【分析】本题应用具体方位用有向线段表示向量；并且借助相反向量模相等得到

【解析】

（1）如图，

（2）因为，故四边形为平行四边形，所以

【小结】本题考查向量的平行四边形法则以及相反向量模相等．

变式4某人从点出发向东走了5米到达点，然后改变方向按东北方向走了米到达点，到达点后又改变方向向西走了10米到达点．

（1）作出向量，，．

（2）求的模．

【分析】

（1）根据题目中的方向作图；

（2）利用平面几何知识求出的长即可．

【解析】

（1）作出向量如图所示：

（2），是等腰直角三角形，，

．

【小结】本题考查了平面向量的作法和模长计算，属于基础题．

变式5海面上有4只搜救船，甲船位于点，乙船在甲船的正西方200海里的处，丙船在乙船的北偏西相距乙船100海里的处，丁船位于丙船的正东200海里的处．

（1）作出向量、、；

（2）求．

【分析】根据方位角和距离作图，得出结论．

【解析】

（1）作出向量如图所示：

（2）由题意可知，四边形是平行四边形，，

即的模长为100，方向为北偏西．

【小结】本题考查了平面向量的线性运算，属于基础题．

变式6如图的方格纸由若干个边长为1的小方形并在一起组成，方格纸中有两个定点、．点为小正方形的顶点，且．

（1）画出所有的向量；

（2）求的最大值与最小值．

【分析】

（1）．点落在以为圆心，以为半径的圆上，又点为小正方形的顶点根据该条件不难找出满足条件的点．

（2）由

（1）所得的图象，观察分析，不难求出的最大值与最小值．

【解析】

（1）画出所有的向量如图所示；

（2）由

（1）所画的图知，

①当点在于点或时，取得最小值；

②当点在于点或时，取得最大值．

的最大值为，最小值为．

【小结】求常用的方法有：

①若已知，则；②若已知表示的有向线段的两端点、坐标，则③构造关于的方程，解方程求．向量，同向时，有最大值；向量，反向时，有最小值．

考点3相等向量与共线向量

例题3如图所示．是正六边形的中心，且，，．

（1）与的模相等的向量有多少个？

（2）与的长度相等．方向相反的向量有哪些？

（3）与共线的向量有哪些？

（4）请一一列出与相等的向量．

【分析】由正六边形的性质和向量的基本概念逐个列举可得．

【解析】

（1）由正六边形的性质可知图中所有的向量都和的模相等，

与的模相等的向量有23个；

（2）与的长度相等但方向相反的向量有：

，，，共4个；

（3）与共线向量：

，，，，，，，，，共10个；

（4）与相等向量：

，，共3个；

与相等的向量有：

，，共3个；

与相等的向量有：

，，共3个．

【小结】本题考查向量的基本概念，数形结合并列举是解决问题的关键，属基础题．

变式7如图，，，分别是的边，，的中点，在以，，，，，为起点和终点的向量中，

（1）找出与向量相等的向量；

（2）找出与向量共线的向量．

【分析】

（1）由是的中位线，且为的中点，结合向量相等的概念得到与向量相等的向量；

（2）由是的中位线，且为的中点，结合向量相等的概念得到与向量共线的向量．

【解析】

（1），分别为，的中点，

，且，

又是的中点，

，

与向量相等的向量是；

（2），分别为，的中点，

，且，

又是的中点，

，

与向量相等的向量是．

【小结】本题考查平行向量与共线向量的概念，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，是基础题．

变式8如图，，，，分别是四边形的各边中点，分别指出图中：

（1）与向量相等的向量；

（2）与向量平行的向量；

（3）与向量模相等的向量；

（4）与向量模相等、方向相反的向量．

【分析】，，，分别是四边形的各边中点，故四边形是平行四边形，且，．

【解析】，，，分别是四边形的各边中点，

，．，，

四边形是平行四边形，

（1）与向量相等的向量是；

（2）与向量平行的向量是，，，，；

（3）与向量模相等的向量，，；

（4）与向量模相等、方向相反的向量是，．

【小结】本题考查了平面向量的几何意义，确定四边形是平行四边形是关键．

变式9如图，在梯形中，对角线和交于点，、分别是和的中点，分别写出

（1）图中与、共线的向量；

（2）与相等的向量．

【分析】

（1）利用图形根据共线向量的定义得答案；

（2）由已知及相等向量的定义得答案；

【解析】

（1）由图可知，与共线的向量有：

、；与共线的向量有：

；

（2）由为的中点可知，，即与相等的向量为；

【小结】本题考查向量共线定理、相等向量的概念等知识，属基础题．

考点4利用向量相等或共线进行证明

例题4如图，在四边形中，，、分是、上的点，且，求证：

．

【分析】利用向量相等与向量的加法即可得出．

【解析】证明：

，、分是、上的点，且，

，又，，．

【小结】本题考查了向量相等与向量的加法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

变式10在平行四边形中，，分别为边、的中点，如图．

（1）写出与向量共线的向量；

（2）求证：

．

【分析】

（1）根据条件，结合图形即可写出所有与向量共线的向量；

（2）易知四边形是平行四边形，从而得到且，从而得出．

【解析】

（1）据题意，与向量共线的向量为：

，；

（2）证明：

是平行四边形，且，分别为边，的中点，

，且，四边形是平行四边形，，且，．

【小结】本题考查了共线向量的定义，相等向量的定义，考查了推理能力，属于基础题．

变式11如图，在中，已知向量，，求证：

．

【分析】根据相等向量的概念及已知条件，便可得到为三角形的中位线，从而便得到．

【解析】证明：

根据知是边的中点；

根据便知为的中点，为中点；

为的中位线；，且；．

【小结】考查向量相等的概念，三角形中位线的性质．

变式12设在平面上给定了一个四边形，点、、、分别是边、、、的中点，求证：

．

【分析】画出图形，结合图形，利用中位线定理与向量相等的定义，即可证出．

【解析】如图所示，平面四边形中，点、、、分别是边、、、的中点，连接，则，且；，且