思维方法分析综合法.docx

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思维方法分析综合法

思维方法·分析综合法

综合法、分析法和分析综合法是平面解析几何中论证命题的基本方法．

从已知条件出发，运用学过的定义、公式、定理进行一步步地正确推理，最后证得结论，这种论证命题的思维方法叫做综合法．从命题的结论入手，寻找使这个结论成立的充分条件，一直追溯到已知条件为止，这种论证命题的思维方法叫做分析法．把分析法与综合法结合起来去论证命题的思维方法叫做分析综合法，它是从一个命题的两头向中间“挤”，因此容易发现证题的突破口，收到事半功倍的效果．

例1 设A、B、C是双曲线xy=1上的三点，求证：

△ABC的垂心H必在此双曲线上．

【分析】 如图1－1，设H的坐标为（x0，y0），要证H在此双曲线上，即证x0y0=1．而H是两条高AH与BH的交点，因此需求直线AH、BH的方程，进而从所得方程组中设法推出x0y0=1．

【证明】 如图1－1，由已知可设A、B、C的坐标分别为（α，

设点H的坐标为（x0，y0），则

由①式左乘②式右及①式右乘②式左，得

化简可得x0y0（α-β）=α-β．

∵ α≠β，∴x0y0=1．

故H点必在双曲线xy=1上．

【解说】 本证法的思考过程中，从分析法入手，得出证点H在双曲线xy=1上就是证x0y0=1．这为综合法证明此题指明了目标．在用综合法证明的过程中，牢牢抓住这个目标，去寻找x0、y0的关系式，用式子①与②相乘，巧妙地消去参数α、β、γ，得到x0y0=1．从而避免了解方程的麻烦，提高了解题速度．

例2 在直角坐标系xOy中，已知A1（x1，y1）、A2（x2，y2）是单位圆x2+y2=1内任两点，设点P（x，y）是以线段A1A2为直径的圆上任一点，求证：

x2+y2＜2．

【分析】 欲证x2＋y2＜2，由于A1、A2是圆x2＋y2=1内两点，

坐标的关系式，又点P在以A1A2为直径的圆上，故可从PA1⊥PA2入手去证．

【证明】 当P是直径A1A2的端点时，结论显然成立．当P不是直径A1A2的端点时，如图1－2，连结PA1、PA2，则PA1⊥PA2，

即x2＋y2-（x1+x2）x-（y1+y2）·y+x1x2＋y1y2=0，

∴ x2＋y2＝（x1+x2）x+（y1+y2）y-x1x2-y1y2．

又由A1、A2是圆x2＋y2=1内两点，得

故x2＋y2＜2．

【解说】 乍看，本题难以下手．但用分析综合法，把被证结论转

例3 已知P是椭圆b2x2＋a2y2=a2b2（a＞b＞0）上任一点，F1、F2是左、右两个焦点，∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，e是离心率，求证：

由合分比定理，得只需证

①

如图1－3，在△PF1F2中，由正弦定理，得

∵ |PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c，

由和差化积公式和倍角公式，得

即①式成立．

故原结论成立．

【解说】 本例的上述证法就是分析综合法．它从被证结论入手，把它转化为证①式成立，这个过程是分析法．然后，从已知条件出发，运用解析几何、三角知识推得①式，这个过程是综合法．

习题1．1

用分析综合法证明下列各题：

1．已知a、b、c满足3（a2＋b2）=4c2（c≠0），求证：

直线ax＋by＋c=0与圆x2+y2=1有两个不同的交点．

B、B′是此椭圆的短轴的两个端点，BM与B′M分别交x轴于K、N两点．求证：

|ON|·|OK|=a2．

4．设F1、F2是双曲线x2-y2=a2（a＞0）的两个焦点，P为该双

习题1．1答案或提示

1．欲证直线与圆有两个不同的交点，只需证圆心O到直线的距离

＜a．又点P既在椭圆上，又在圆x2＋y2-ax=0上，由此可得（b2-a2）

3．欲证|OK|·|ON|=a2，需要求出K、N两点的横坐标，从而只需求出直线BM、B′M的方程．