初四圆6.docx
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初四圆6
92．（2013•贺州）已知：
⊙O的直径为3，线段AC=4，直线AC和PM分别与⊙O相切于点A，M．
（1）求证：
点P是线段AC的中点；
（2）求sin∠PMC的值．
93．（2013•菏泽）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P．
（1）求证：
AP是⊙O的切线；
（2）OC=CP，AB=6，求CD的长．
95．（2013•桂林）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，过点D作DE⊥AD交AB于E，以AE为直径作⊙O．
（1）求证：
点D在⊙O上；
（2）求证：
BC是⊙O的切线；
（3）若AC=6，BC=8，求△BDE的面积．
96．（2013•贵阳）已知：
如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为10，OE、OF分别交AB于点E、F，OF的延长线交⊙O于点D，且AE=BF，∠EOF=60°．
（1）求证：
△OEF是等边三角形；
（2）当AE=OE时，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）
99．（2013•广东）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．
（1）求证：
∠BCA=∠BAD；
（2）求DE的长；
（3）求证：
BE是⊙O的切线．
100．（2013•广安）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙0，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：
EF是⊙0的切线．
（2）如果⊙0的半径为5，sin∠ADE=
4
5
，求BF的长．
104．（2013•恩施州）如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．
（1）求证：
CG是⊙O的切线．
（2）求证：
AF=CF．
（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．
105．（2013•鄂州）已知：
如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F．
（1）求证：
DE为⊙O的切线．
（2）求证：
AB：
AC=BF：
DF．
107．（2013•东营）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，若∠BAC=∠CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D．
（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若直线l与AB的延长线相交于点E，⊙O的半径为3，并且∠CAB=30°，求CE的长．
108．（2013•德州）如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．
（1）求AD的长；
（2）BC是⊙O的切线吗？
若是，给出证明；若不是，说明理由．
109．（2013•德阳）如图，已知AB是⊙O直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P．
（1）求证：
PC=PG；
（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）在满足
（2）的条件下，已知⊙O的半径为5，若点O到BC的距离为
5
时，求弦ED的长．
106．（2013•鄂尔多斯）如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．
（1）求证：
PC是⊙O的切线；
（2）若∠PAC=60°，直径AC=4，求图中阴影部分的面积．
107.解：
（1）直线CD与⊙O相切．
理由如下：
连接OC．
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，∵∠BAC=∠CAM，∴∠OCA=∠CAM，∴OC∥AM，∵CD⊥AM，
∴OC⊥CD，∵OC为半径，∴直线CD与⊙O相切．
（2）∵OC=OA，∴∠BAC=∠ACO，∵∠CAB=30°，∴∠COE=2∠CAB=60°，
∴在Rt△COE中，OC=3，CE=OC•tan60°=3
3
109.（3）解：
连结OE，OG=OG=
5
，在Rt△OBG中，利用勾股定理计算出BG=2
5
，再利用BG2=BO•BF可计算出BF，从而得到OF=1，在Rt△OEF中，根据勾股定理计算出EF=2
6
，由于AB⊥ED，根据垂径定理可得EF=DF，于是有DE=2EF=4
6
．
解答：
（1）证明：
连结OC，如图，∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，∴∠OCG+∠PCG=90°，∵ED⊥AB，∴∠B+∠BGF=90°，∵OB=OC，
∴∠B=∠OCG，∴∠PCG=∠BGF，而∠BGF=∠PGC，∴∠PGC=∠PCG，∴PC=PG；
（2）解：
CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG2=BO•BF．理由如下：
连结OG，如图，∵点G是BC的中点，∴OG⊥BC，BG=CG，∴∠OGB=90°，
∵∠OBG=∠GBF，∴Rt△BOG∽Rt△BGF，∴BG：
BF=BO：
BG，∴BG2=BO•BF，
∴CG2=BO•BF；
（3）解：
连结OE，如图，由
（2）得BG⊥BC，∴OG=
5
，在Rt△OBG中，OB=5，
∴BG=
OB2−OG2
=2
5
，由
（2）得BG2=BO•BF，∴BF=
20
5
=4，∴OF=1，在Rt△OEF中，EF=
OE2−OF2
=2
6
，∵AB⊥ED，∴EF=DF，∴DE=2EF=4
6
108.
解答：
解：
（1）连接BD，则∠DBE=90°，
∵四边形BCOE为平行四边形，∴BC∥OE，BC=OE=1，
在Rt△ABD中，C为AD的中点，∴BC=
1
2
AD=1，则AD=2；
（2）连接OB，∵BC∥OD，BC=OD，∴四边形BCDO为平行四边形，
∵AD为圆O的切线，∴OD⊥AD，∴四边形BCDO为矩形，∴OB⊥BC，
则BC为圆O的切线．
106.解答：
（1）证明：
连接AN，∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC=90°，
∴∠NAC+∠NCA=90°，∵AB=AC，AN⊥BC，∴∠BAN=∠CAN，∵∠CAB=2∠BCP，
∴2∠CAN=2∠BCP，∴∠CAN=∠BCP，∴∠BCP+∠ACB=90°，即∠ACP=90°，
∴AC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）连接ON，∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，
∵ON=OC，∴△ONC是等边三角形，∴∠NOC=60°，∴OC=NC=
1
2
AC=
1
2
×4
3
=2
3
，过点O作OE⊥NC于E，∵sin∠ACB=
OE
OC
，∴sin60°=
OE
2
3
，∴OE=2
3
×
3
2
=3，∵S△ONC=
1
2
NC•OE=
1
2
×2
3
×3=3
3
，S扇形=
60π×（2
3
）2
360
=2π，∴S阴影=S扇形-S△ONC=2π-3
3
．
105.解答：
证明：
（1）连结DO、DA，
∵AB为⊙O直径，∴∠CDA=∠BDA=90°，∵CE=EA，∴DE=EA，∴∠1=∠4，
∵OD=OA，∴∠2=∠3，∵∠4+∠3=90°，∴∠1+∠2=90°，即：
∠EDO=90°，
∵OD是半径，∴DE为⊙O的切线；
（2）∵∠3+∠DBA=90°，∠3+∠4=90°，
∴∠4=∠DBA，∵∠CDA=∠BDA=90°，∴△ABD∽△CAD，∴
AB
AC
=
BD
AD
，∵∠FDB+∠BDO=90°，∠DBO+∠3=90°，又∵OD=OB，∴∠BDO=∠DBO，
∴∠3=∠FDB，∵∠F=∠F，∴△FAD∽△FDB，∴
BD
AD
=
BF
DF
，∴
AB
AC
=
BF
DF
，即AB：
AC=BF：
DF．
104.
解答：
（1）证明：
连结OC，如图，
∵C是劣弧AE的中点，∴OC⊥AE，∵CG∥AE，∴CG⊥OC，∴CG是⊙O的切线；
（2）证明：
连结AC、BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠2+∠BCD=90°，
而CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠2，∵AC弧=CE弧，∴∠1=∠B，
∴∠1=∠2，∴AF=CF；
（3）解：
在Rt△ADF中，∠DAF=30°，FA=FC=2，∴DF=
1
2
AF=1，∴AD=
3
DF=
3
，∵AF∥CG，∴DA：
AG=DF：
CF，即
3
：
AG=1：
2，∴AG=2
3
100.解答：
（1）证明：
连结OD，如图，
∵AB为⊙0的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴AD平分BC，即DB=DC，
∵OA=OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，
∴EF是⊙0的切线；
（2）解：
∵∠DAC=∠DAB，∴∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，sin∠ADE=sin∠ABD=
AD
AB
=
4
5
，而AB=10，∴AD=8，在Rt△ADE中，sin∠ADE=
AE
AD
=
4
5
，∴AE=
32
5
，∵OD∥AE，∴△FDO∽△FEA，∴
OD
AE
=
FO
FA
，即
5
32
5
=
BF+5
BF+10
，∴BF=
90
7
99.
（1）证明：
∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD，∵∠BCA=∠BDA∴∠BCA=∠BAD．
（2）解：
∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理），∠BED=∠CBA=90°，∴△BED∽△CBA，
∴
BD
AC
=
DE
AB
，即
12
13
=
DE
12
，解得：
DE=
144
13
（3）证明：
连结OB，OD，
在△ABO和△DBO中，∵
AB＝DB
BO＝BO
OA＝OD
∴△ABO≌△DBO，∴∠DBO=∠ABO，∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC，
∴OB∥ED，∵BE⊥ED，∴EB⊥BO，∴OB⊥BE，∴BE是⊙O的切线．
92.
解答：
（1）证明：
连结OM，如图，
∵直线AC和PM分别与⊙O相切于点A，M，∴PM=PA，OM⊥MP，BA⊥AC，
∴∠OMP=90°，∠BAC=90°，∴∠1+∠2=90°，∠B+∠C=90°，
而∠2=∠B，∴∠1=∠C，∴PC=PM，∴PA=PC，∴点P是线段AC的中点；
（2）解：
由
（1）∠PMC=∠C，在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，∴BC=
AB2+AC2
=5，∴sin∠C=
AB
BC
=
3
5
，即sin∠PMC=
3
5
93.
（1）证明：
连接AO，AC∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=∠CAD=90°．
∵E是CD的中点，
∴CE=DE=AE．∴∠ECA=∠EAC．
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC．∴∠ECA+∠OCA=90°．
∴∠EAC+∠OAC=90°．∴OA⊥AP．∵A是⊙O上一点，∴AP是⊙O的切线；
（2）解：
由
（1）知OA⊥AP．在Rt△OAP中，∵∠OAP=90°，OC=CP=OA，即OP=2OA，
∴sinP=
OA
OP
=
1
2
，∴∠P=30°．∴∠AOP=60°．∵OC=OA，∴∠ACO=60°．
在Rt△BAC中，∵∠BAC=90°，AB=6，∠ACO=60°，∴AC=
AB
tan∠ACO
=2
3
，又∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°，∠ACD=90°-∠ACO=30°，∴CD=
AC
cos∠ACD
=
2
3
cos30°
=4．95.程的解得到x的值，确定出OD与BE的长，进而确定出BD的长，再由△BEH与△ODB相似，由相似得比例求出EH的长，△BED以BD为底，EH为高，求出面积即可．
解答：
（1）证明：
连接OD，∵△ADE是直角三角形，OA=OE，
∴OD=OA=OE，∴点D在⊙O上；
（2）证明：
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=∠DAB，∵OD=OA，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴AC∥OD，
∴∠C=∠ODB=90°，∴BC是⊙O的切线；
（3）解：
在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，∴根据勾股定理得：
AB=10，
设OD=OA=OE=x，则OB=10-x，∵AC∥OD，△ACB∽△ODB，∴
OD
AC
=
BO
BA
=
BD
BC
，即
x
6
=
10−x
10
，解得：
x=
15
4
，∴OD=
15
4
，BE=10-2x=10-
15
2
=
5
2
，∵
OD
AC
=
BD
BC
，即
15
4
6
=
BD
8
，∴BD=5，过E作EH⊥BD，∵EH∥OD，∴△BEH∽△BOD，∴
BE
BO
=
EH
OD
，即
5
2
25
4
=
EH
15
4
，
∴EH=
3
2
，
∴S△BDE=
1
2
BD•EH=
15
4
．
96.影=S扇形AOD-S△AOF即可得出结论．
解答：
（1）证明：
作OC⊥AB于点C，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC，
∵AE=BF，
∴EC=FC，
∵OC⊥EF，
∴OE=OF，
∵∠EOF=60°，
∴△OEF是等边三角形；
（2）解：
∵在等边△OEF中，∠OEF=∠EOF=60°，AE=OE，
∴∠A=∠AOE=30°，
∴∠AOF=90°，
∵AO=10，
∴OF=
10
3
3
，
∴S△AOF=
1
2
×
10
3
3
×10=
50
3
3
，S扇形AOD=
90π
360
×102=25π，
∴S阴影=S扇形AOD-S△AOF=25π-
50
3
3
．
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