初四圆6.docx
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初四圆6
92.(2013•贺州)已知:
⊙O的直径为3,线段AC=4,直线AC和PM分别与⊙O相切于点A,M.
(1)求证:
点P是线段AC的中点;
(2)求sin∠PMC的值.
93.(2013•菏泽)如图,BC是⊙O的直径,A是⊙O上一点,过点C作⊙O的切线,交BA的延长线于点D,取CD的中点E,AE的延长线与BC的延长线交于点P.
(1)求证:
AP是⊙O的切线;
(2)OC=CP,AB=6,求CD的长.
95.(2013•桂林)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC于D,过点D作DE⊥AD交AB于E,以AE为直径作⊙O.
(1)求证:
点D在⊙O上;
(2)求证:
BC是⊙O的切线;
(3)若AC=6,BC=8,求△BDE的面积.
96.(2013•贵阳)已知:
如图,AB是⊙O的弦,⊙O的半径为10,OE、OF分别交AB于点E、F,OF的延长线交⊙O于点D,且AE=BF,∠EOF=60°.
(1)求证:
△OEF是等边三角形;
(2)当AE=OE时,求阴影部分的面积.(结果保留根号和π)
99.(2013•广东)如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5,BE⊥DC交DC的延长线于点E.
(1)求证:
∠BCA=∠BAD;
(2)求DE的长;
(3)求证:
BE是⊙O的切线.
100.(2013•广安)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作半圆⊙0,交BC于点D,连接AD,过点D作DE⊥AC,垂足为点E,交AB的延长线于点F.
(1)求证:
EF是⊙0的切线.
(2)如果⊙0的半径为5,sin∠ADE=
4
5
,求BF的长.
104.(2013•恩施州)如图所示,AB是⊙O的直径,AE是弦,C是劣弧AE的中点,过C作CD⊥AB于点D,CD交AE于点F,过C作CG∥AE交BA的延长线于点G.
(1)求证:
CG是⊙O的切线.
(2)求证:
AF=CF.
(3)若∠EAB=30°,CF=2,求GA的长.
105.(2013•鄂州)已知:
如图,AB为⊙O的直径,AB⊥AC,BC交⊙O于D,E是AC的中点,ED与AB的延长线相交于点F.
(1)求证:
DE为⊙O的切线.
(2)求证:
AB:
AC=BF:
DF.
107.(2013•东营)如图,AB为⊙O的直径,点C为⊙O上一点,若∠BAC=∠CAM,过点C作直线l垂直于射线AM,垂足为点D.
(1)试判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若直线l与AB的延长线相交于点E,⊙O的半径为3,并且∠CAB=30°,求CE的长.
108.(2013•德州)如图,已知⊙O的半径为1,DE是⊙O的直径,过点D作⊙O的切线AD,C是AD的中点,AE交⊙O于B点,四边形BCOE是平行四边形.
(1)求AD的长;
(2)BC是⊙O的切线吗?
若是,给出证明;若不是,说明理由.
109.(2013•德阳)如图,已知AB是⊙O直径,BC是⊙O的弦,弦ED⊥AB于点F,交BC于点G,过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P.
(1)求证:
PC=PG;
(2)点C在劣弧AD上运动时,其他条件不变,若点G是BC的中点,试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系,并写出证明过程;
(3)在满足
(2)的条件下,已知⊙O的半径为5,若点O到BC的距离为
5
时,求弦ED的长.
106.(2013•鄂尔多斯)如图,△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N,点P在AB的延长线上,且∠CAB=2∠BCP.
(1)求证:
PC是⊙O的切线;
(2)若∠PAC=60°,直径AC=4,求图中阴影部分的面积.
107.解:
(1)直线CD与⊙O相切.
理由如下:
连接OC.
∵OA=OC,
∴∠BAC=∠OCA,∵∠BAC=∠CAM,∴∠OCA=∠CAM,∴OC∥AM,∵CD⊥AM,
∴OC⊥CD,∵OC为半径,∴直线CD与⊙O相切.
(2)∵OC=OA,∴∠BAC=∠ACO,∵∠CAB=30°,∴∠COE=2∠CAB=60°,
∴在Rt△COE中,OC=3,CE=OC•tan60°=3
3
109.(3)解:
连结OE,OG=OG=
5
,在Rt△OBG中,利用勾股定理计算出BG=2
5
,再利用BG2=BO•BF可计算出BF,从而得到OF=1,在Rt△OEF中,根据勾股定理计算出EF=2
6
,由于AB⊥ED,根据垂径定理可得EF=DF,于是有DE=2EF=4
6
.
解答:
(1)证明:
连结OC,如图,∵PC为⊙O的切线,
∴OC⊥PC,∴∠OCG+∠PCG=90°,∵ED⊥AB,∴∠B+∠BGF=90°,∵OB=OC,
∴∠B=∠OCG,∴∠PCG=∠BGF,而∠BGF=∠PGC,∴∠PGC=∠PCG,∴PC=PG;
(2)解:
CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG2=BO•BF.理由如下:
连结OG,如图,∵点G是BC的中点,∴OG⊥BC,BG=CG,∴∠OGB=90°,
∵∠OBG=∠GBF,∴Rt△BOG∽Rt△BGF,∴BG:
BF=BO:
BG,∴BG2=BO•BF,
∴CG2=BO•BF;
(3)解:
连结OE,如图,由
(2)得BG⊥BC,∴OG=
5
,在Rt△OBG中,OB=5,
∴BG=
OB2−OG2
=2
5
,由
(2)得BG2=BO•BF,∴BF=
20
5
=4,∴OF=1,在Rt△OEF中,EF=
OE2−OF2
=2
6
,∵AB⊥ED,∴EF=DF,∴DE=2EF=4
6
108.
解答:
解:
(1)连接BD,则∠DBE=90°,
∵四边形BCOE为平行四边形,∴BC∥OE,BC=OE=1,
在Rt△ABD中,C为AD的中点,∴BC=
1
2
AD=1,则AD=2;
(2)连接OB,∵BC∥OD,BC=OD,∴四边形BCDO为平行四边形,
∵AD为圆O的切线,∴OD⊥AD,∴四边形BCDO为矩形,∴OB⊥BC,
则BC为圆O的切线.
106.解答:
(1)证明:
连接AN,∵AC为⊙O的直径,∴∠ANC=90°,
∴∠NAC+∠NCA=90°,∵AB=AC,AN⊥BC,∴∠BAN=∠CAN,∵∠CAB=2∠BCP,
∴2∠CAN=2∠BCP,∴∠CAN=∠BCP,∴∠BCP+∠ACB=90°,即∠ACP=90°,
∴AC⊥PC,
∴PC是⊙O的切线;
(2)连接ON,∵AB=AC,∠BAC=60°,∴△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,
∵ON=OC,∴△ONC是等边三角形,∴∠NOC=60°,∴OC=NC=
1
2
AC=
1
2
×4
3
=2
3
,过点O作OE⊥NC于E,∵sin∠ACB=
OE
OC
,∴sin60°=
OE
2
3
,∴OE=2
3
×
3
2
=3,∵S△ONC=
1
2
NC•OE=
1
2
×2
3
×3=3
3
,S扇形=
60π×(2
3
)2
360
=2π,∴S阴影=S扇形-S△ONC=2π-3
3
.
105.解答:
证明:
(1)连结DO、DA,
∵AB为⊙O直径,∴∠CDA=∠BDA=90°,∵CE=EA,∴DE=EA,∴∠1=∠4,
∵OD=OA,∴∠2=∠3,∵∠4+∠3=90°,∴∠1+∠2=90°,即:
∠EDO=90°,
∵OD是半径,∴DE为⊙O的切线;
(2)∵∠3+∠DBA=90°,∠3+∠4=90°,
∴∠4=∠DBA,∵∠CDA=∠BDA=90°,∴△ABD∽△CAD,∴
AB
AC
=
BD
AD
,∵∠FDB+∠BDO=90°,∠DBO+∠3=90°,又∵OD=OB,∴∠BDO=∠DBO,
∴∠3=∠FDB,∵∠F=∠F,∴△FAD∽△FDB,∴
BD
AD
=
BF
DF
,∴
AB
AC
=
BF
DF
,即AB:
AC=BF:
DF.
104.
解答:
(1)证明:
连结OC,如图,
∵C是劣弧AE的中点,∴OC⊥AE,∵CG∥AE,∴CG⊥OC,∴CG是⊙O的切线;
(2)证明:
连结AC、BC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠2+∠BCD=90°,
而CD⊥AB,∴∠B+∠BCD=90°,∴∠B=∠2,∵AC弧=CE弧,∴∠1=∠B,
∴∠1=∠2,∴AF=CF;
(3)解:
在Rt△ADF中,∠DAF=30°,FA=FC=2,∴DF=
1
2
AF=1,∴AD=
3
DF=
3
,∵AF∥CG,∴DA:
AG=DF:
CF,即
3
:
AG=1:
2,∴AG=2
3
100.解答:
(1)证明:
连结OD,如图,
∵AB为⊙0的直径,∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC,∵AB=AC,∴AD平分BC,即DB=DC,
∵OA=OB,∴OD为△ABC的中位线,∴OD∥AC,∵DE⊥AC,∴OD⊥DE,
∴EF是⊙0的切线;
(2)解:
∵∠DAC=∠DAB,∴∠ADE=∠ABD,在Rt△ADB中,sin∠ADE=sin∠ABD=
AD
AB
=
4
5
,而AB=10,∴AD=8,在Rt△ADE中,sin∠ADE=
AE
AD
=
4
5
,∴AE=
32
5
,∵OD∥AE,∴△FDO∽△FEA,∴
OD
AE
=
FO
FA
,即
5
32
5
=
BF+5
BF+10
,∴BF=
90
7
99.
(1)证明:
∵BD=BA,∴∠BDA=∠BAD,∵∠BCA=∠BDA∴∠BCA=∠BAD.
(2)解:
∵∠BDE=∠CAB(圆周角定理),∠BED=∠CBA=90°,∴△BED∽△CBA,
∴
BD
AC
=
DE
AB
,即
12
13
=
DE
12
,解得:
DE=
144
13
(3)证明:
连结OB,OD,
在△ABO和△DBO中,∵
AB=DB
BO=BO
OA=OD
∴△ABO≌△DBO,∴∠DBO=∠ABO,∵∠ABO=∠OAB=∠BDC,∴∠DBO=∠BDC,
∴OB∥ED,∵BE⊥ED,∴EB⊥BO,∴OB⊥BE,∴BE是⊙O的切线.
92.
解答:
(1)证明:
连结OM,如图,
∵直线AC和PM分别与⊙O相切于点A,M,∴PM=PA,OM⊥MP,BA⊥AC,
∴∠OMP=90°,∠BAC=90°,∴∠1+∠2=90°,∠B+∠C=90°,
而∠2=∠B,∴∠1=∠C,∴PC=PM,∴PA=PC,∴点P是线段AC的中点;
(2)解:
由
(1)∠PMC=∠C,在Rt△ABC中,AB=3,AC=4,∴BC=
AB2+AC2
=5,∴sin∠C=
AB
BC
=
3
5
,即sin∠PMC=
3
5
93.
(1)证明:
连接AO,AC∵BC是⊙O的直径,∴∠BAC=∠CAD=90°.
∵E是CD的中点,
∴CE=DE=AE.∴∠ECA=∠EAC.
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.∵CD是⊙O的切线,∴CD⊥OC.∴∠ECA+∠OCA=90°.
∴∠EAC+∠OAC=90°.∴OA⊥AP.∵A是⊙O上一点,∴AP是⊙O的切线;
(2)解:
由
(1)知OA⊥AP.在Rt△OAP中,∵∠OAP=90°,OC=CP=OA,即OP=2OA,
∴sinP=
OA
OP
=
1
2
,∴∠P=30°.∴∠AOP=60°.∵OC=OA,∴∠ACO=60°.
在Rt△BAC中,∵∠BAC=90°,AB=6,∠ACO=60°,∴AC=
AB
tan∠ACO
=2
3
,又∵在Rt△ACD中,∠CAD=90°,∠ACD=90°-∠ACO=30°,∴CD=
AC
cos∠ACD
=
2
3
cos30°
=4.95.程的解得到x的值,确定出OD与BE的长,进而确定出BD的长,再由△BEH与△ODB相似,由相似得比例求出EH的长,△BED以BD为底,EH为高,求出面积即可.
解答:
(1)证明:
连接OD,∵△ADE是直角三角形,OA=OE,
∴OD=OA=OE,∴点D在⊙O上;
(2)证明:
∵AD是∠BAC的角平分线,
∴∠CAD=∠DAB,∵OD=OA,∴∠OAD=∠ODA,∴∠CAD=∠ODA,∴AC∥OD,
∴∠C=∠ODB=90°,∴BC是⊙O的切线;
(3)解:
在Rt△ACB中,AC=6,BC=8,∴根据勾股定理得:
AB=10,
设OD=OA=OE=x,则OB=10-x,∵AC∥OD,△ACB∽△ODB,∴
OD
AC
=
BO
BA
=
BD
BC
,即
x
6
=
10−x
10
,解得:
x=
15
4
,∴OD=
15
4
,BE=10-2x=10-
15
2
=
5
2
,∵
OD
AC
=
BD
BC
,即
15
4
6
=
BD
8
,∴BD=5,过E作EH⊥BD,∵EH∥OD,∴△BEH∽△BOD,∴
BE
BO
=
EH
OD
,即
5
2
25
4
=
EH
15
4
,
∴EH=
3
2
,
∴S△BDE=
1
2
BD•EH=
15
4
.
96.影=S扇形AOD-S△AOF即可得出结论.
解答:
(1)证明:
作OC⊥AB于点C,
∵OC⊥AB,
∴AC=BC,
∵AE=BF,
∴EC=FC,
∵OC⊥EF,
∴OE=OF,
∵∠EOF=60°,
∴△OEF是等边三角形;
(2)解:
∵在等边△OEF中,∠OEF=∠EOF=60°,AE=OE,
∴∠A=∠AOE=30°,
∴∠AOF=90°,
∵AO=10,
∴OF=
10
3
3
,
∴S△AOF=
1
2
×
10
3
3
×10=
50
3
3
,S扇形AOD=
90π
360
×102=25π,
∴S阴影=S扇形AOD-S△AOF=25π-
50
3
3
.