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数学建模论文

队伍名称

三人行

姓名

院、系、专业

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队伍成员

交通与物流工程

交通与物流工程

交通与物流工程

高速公路道路交通事故分析预测

摘要

我国目前的道路交通安全状况相对于世界水平要差得多，高速公路道路交通事故所造成的损失非常高。

因此，改善交通安全状况、预防和减少高速公路交通事故具有重大的现实意义。

针对这样的现状，我们必须进行高速公路交通事故的预测，从而及早采取措施进行预防工作，从而减少事故发生次数及损失程度。

针对此次建模的要求，在对此问题的深入研究下，我们提出了合理的假设，将本问题归结为一个预测分析的问题，其基本思想是通过聚类分析、SPSS软件求解、GM（1,1）灰色预测模型、多元线性回归分析，组合模型等方法的运用得到最优的预测结果。

针对问题一，我们首先运用了聚类分析的思想，建立了基于聚类分析的模型Ⅰ，通过聚类分析方法对给定的信息的筛选、加工、延伸和扩展，从而将评价对象确定在某一范围内，通过了该方法，最终得到了各类评价等级方法，为科学预测交通事故提供了依据。

针对问题二，本文选取受伤人数这一单项指标作为预测的对象，首先运用了GM（1,1）灰色预测模型，建立模型Ⅱ，通过对给定的事故原始数据，通过MATLAB软件预测了五年内的交通事故受伤人数；运用多元线性回归方法建立模型Ⅲ，在模型Ⅱ和模型Ⅲ的基础之上，通过基于组合模型思想的模型Ⅳ，求解得出了交通事故受伤人数在五年内的预测。

关键词：

SPSS聚类分析GM（1,1）灰色预测模型组合预测模型MATLAB

一．问题重述

随着道路交通事业的发展，高速公路交通事故也在不断增加，对人类的生命和财产安全构成了极大的威胁。

我国目前的道路交通安全状况相对于世界水平要差得多，高速公路道路交通事故所造成的损失非常高。

因此，改善交通安全状况、预防和减少高速公路交通事故具有重大的现实意义。

高速公路交通事故往往造成人员伤亡，车辆损毁、道路堵塞等严重后果，为探索高速公路道路交通事故发生的规律，分析现有道路交通条件下未来高速公路交通事故的发展趋势，以便及早采取措施进行预防，减少事故发生次数及损失程度，必须进行高速公路交通事故预测。

另外，高速公路道路交通事故分析预测是道路交通安全规划，决策及高速公路交通工程项目效益评价中的一个关键性问题，分析预测正确与否直接关系到高速公路交通设施的建设，高速公路交通管理政策的制定和高速公路交通建设资金的投资分配，具有重要的现实意义。

为了解决此问题，现利用已收集到的A省高速公路交通事故数据（见附件）、建立针对该省具体情况的数学模型，预测该省未来的交通事故情况，解决下面几个问题：

1、目前国内外用于统计道路交通事故状况的四项绝对指标为交通事故次数、死亡人数、受伤人数以及直接经济损失，这四项统计指标既是认识交通事故的起点，又是构造其它交通事故统计指标的基础，基本涵盖了道路交通事故所造成各种损害的主要方面，因此选用这四项指标，试探讨以聚类分析作为理论基础的高速公路公路交通事故统计分析方法，然后从附件中所给A省高速公路交通事故四项指标的历史统计数据出发，对该省公路交通事故进行聚类分析研究，以期该省获得该省高速公路交通事故基于四项指标的时间、空间分布规律。

2、高速公路交通事故预测是高速公路安全评价、规划及决策的基础，国内外关于道路交通事故的预测有多种方法，鉴于高速公路交通事故具有复杂性、随机性和灰色性的基本特征，对高速公路公路交通事故预测时选用时间序列分析，灰色分析、神经网络等分析方法。

根据高速公路交通事故的分布规律，构建高速公路交通事故发生次数、死亡人数、受伤人数、直接经济损失的预测模型。

以

A省公路交通事故的历史统计数据为基础，就模型精度等级的划分和预测的准确性作进一步的分析，探讨建立组合模型或提高预测准确性的其它解决方案，最后对A省公路交通事故未来五年的发展趋势做出科学预测，为高速公路交通安全管理部门提前预防和控制交通事故提供决策依据。

二．问题的分析

2.1（问题一）

本小问主要解决对该省公路交通事故四项指标进行的聚类分析。

此小问属于统计问题，因此由附件的相关数据信息，我们首先将附件中高速公路事故24时分布、月统计、辖区统计进行整理，得出四项指标在六年中小时段、月份、辖区分布总量。

本问题主要解决该省高速公路交通事故基于四项指标的时间、空间分布规律。

本问题为聚类分析的思想，由题目可以知道对于A省高速公路交通事故分布规律需要分别对四项指标进行聚类分析，找出各个指标内的能够度量不同小时段、不同月份、不同辖区之间的相似度的统计量。

并将其聚合到不同类中。

因此，用SPSS的K-meansCluster过程即逐步聚类法，按照预定的分类数量，按照既定的原则选择凝聚点，得到一个初始分类方案，并计算出各个初始分类的中心位置（均值）；最后，使用计算出的中心位置重新进行聚类，因此在该方法中，各指标的分类情况会在运算中不断改变，分类完毕后再次计算各类的中心位置。

如此反复循环，直到凝聚点位置改变很小为止。

2.2（问题二）

由对题目的第二问分析，可知第二问分为两小问。

第一小问：

选用灰色分析、多元线性回归分析等分析方法构建高速公路交通事故受伤人数预测模型。

交通事故作为一个随机事件，其本身具有相当大的偶然性和模糊性；具有明显的不确定性特征。

因此可以认为一个地区的道路交通安全系统是一个灰色系统，可以应用灰色系统的理论进行研究。

用G（1,1）灰色建立受伤人数指标的预测模型，在GM（1，1）模型及相关模型灰色预测过程中要大量进行数列和矩阵运算将MATLAB软件和GM（1,1）结合，实现灰色预测算法；建立多元线性回归模型。

第二小问:

本小问为优化问题，就模型精度等级的划分和预测的准确性作进一步的分析，探讨建立组合模型或提高预测准确性的其它解决方案，最后对A省公路交通事故未来五年的发展趋势做出科学预测。

对四项指标分别用灰色分析和多元线性回归模型结果进行精确度比较，并且构建最优组合预测模型。

利用以上两种不同的单项预测法对受伤人数指标进行预测，然后对各个单独的预测结果做适当的加权平均，最后取其加权平均值作为最终的预测结果。

本文采用简单实用的求方差极小值法，获得组合预测模型。

三．模型假设与符号系统

3.1模型假设

（1）假设在受伤人数统计时，以伤残等级三级以上归为受伤。

（2）假设在财产损失统计时，所损失的物资、费用等均按现社会流通价值或社会人力服务成本的平均值进行统计。

（3）根据其同一指标中的个体有较大的相似性，不同类中的个体差异较大，用聚类方法聚合时，将其聚合在3类中。

（4）假设高速路上行驶的车辆状况、驾驶员心理状态良好。

3.2符号系统

Xij表示第i个指标在第j年的给定值；

实际给定的第k年的死亡人数：

其中k=1,2,…6；

的一次累加生成序列；

为

的紧邻均值生成序列待定参数列；

B为数据矩阵

，

为待估参数；

Y为数据向量；

为待定参数列；

为生成残差；

为残值均值；

为原始数据的方差；

为残值的方差；

为后验差比值；

为小误差概率；

为组合模型使用；

为多元线性回归预测值；

为灰色理论预测值；

为多元线性回归预测的预测误差；

为灰色理论预测的预测误差；

多元线性回归的相应权系数；

灰色理论模型的相应权系数；

MSPE为均方百分比误差；

四．模型的建立及求解

4.1问题一

4.1.1建立模型Ⅰ

聚类分析法是根据实物本身的特性来定量研究分析问题的一种统计分析方法。

其基本思想是同一类中的个体有较大的相似性，不同类中的个体差异较大，于是更具一批样品的多个观测指标，找出能够度量样品（或变量）之间相似度的统计量，并以此为依据，采用聚类发将所有的样品（或变量）分别聚合到不同的类中。

将分析评价中的n个待评样本作为聚类对象（Xi）（i=1,2,…,n）;m个；评价指标作为聚类指标（Uj）（j=1,2,…,m）,s个评价标准作为评价等级（Zk）（k=1,2,…,s）.则根据第i个聚类独享对于第j个聚类指标的样本值Xij，确定聚类样本矩阵为X:

以一年十二个月的数据分析为例：

在对给定的原始收据通过Excel整理的基础上我们建立了针对交通事故每月的聚类分析模型。

将分析评价中的12个待评样本作为聚类对象（Xi）（i=1,2,…,12）;4个；评价指标作为聚类指标（Uj）（j=1,2，3,4）,我们设定为三类分类标准，则聚类样本矩阵为:

4.1.2模型Ⅰ的求解及结果

在建立了聚类分析的模型的基础上，我们采用了SPSS软件来对模型进行求解，SPSS的优点是计算量较小，从而可以有效的处理多变量、大样本数据而不会占用过多的内存空间和计算时间；同时在分析时用户可以人为地制定初始中心位置，或者将曾做过的聚类分析结果作为初始位置引入分析。

通过计算得得出下面的实验数据结果：

表4.1初始聚类中心

聚类

1

2

3

次数

45.00

45.00

36.00

死亡人数

26.00

35.00

27.00

受伤人数

41.00

50.00

36.00

经济损失

1012394.00

1263204.00

738204.00

表4.2最终聚类结果

案例号

月份

聚类

距离

1

一月

1

2867.600

2

二月

1

114864.429

3

三月

3

180.068

4

四月

2

3051.507

5

五月

1

37387.572

6

六月

1

71712.429

7

七月

2

3051.507

表4.1初始聚类中心

聚类

1

2

3

次数

45.00

45.00

36.00

死亡人数

26.00

35.00

27.00

受伤人数

41.00

50.00

36.00

表4.2最终聚类结果

案例号

月份

聚类

距离

1

一月

1

2867.600

2

二月

1

114864.429

3

三月

3

180.068

4

四月

2

3051.507

5

五月

1

37387.572

6

六月

1

71712.429

7

七月

2

3051.507

8

八月

1

69137.572

9

九月

1

37496.430

10

十月

1

114680.572

11

十一月

3

14556.001

8

八月

1

69137.572

9

九月

1

37496.430

10

十月

1

114680.572

11

十一月

3

14556.001

12

十二月

3

14736.001

表4.4每个聚类中的案例数

聚类

1

7.000

2

2.000

3

3.000

有效

12.000

缺失

.000

4.1.3实验结果的分析说明

（1）表2.2显示的是将样品分为三类的聚类结果，这三类分别是：

一月、四月、十一月。

（2）表2.3表示的是最终的聚类分析结果。

（3）表2.4反映了聚类分析中的有效样品数为12个，没有样品数的缺失。

综上得出聚类分析的结论（三月、十一月、十二月）为交通事故最轻的，（一月、二月、五月、八月、九月、十月）为交通事故一般的，（四月、七月）为交通事故最为严重的。

同理我们得出了一天中二十四小时以及每个辖区的数据分析结果如下表所示：

表4.5以辖区为单位的数据结果分析

案例号

辖区

聚类

距离

1

辖区

3

128890.469

2

辖区

2

344284.505

3

辖区

3

96888.462

4

辖区

3

214476.540

5

辖区

3

39959.539

6

辖区

3

201362.539

7

辖区

3

234361.540

8

辖区

2

150913.502

9

辖区

3

258343.466

10

辖区

3

233859.540

案例号

辖区

聚类

距离

1

辖区

3

128890.469

2

辖区

2

344284.505

3

辖区

3

96888.462

4

辖区

3

214476.540

5

辖区

3

39959.539

6

辖区

3

201362.539

7

辖区

3

234361.540

8

辖区

2

150913.502

9

辖区

3

258343.466

10

辖区

3

233859.540

11

辖区

3

112157.462

12

辖区

2

100373.508

13

辖区

3

149838.462

14

辖区

3

286803.462

15

辖区

3

66440.462

16

辖区

3

175342.540

17

辖区

2

92997.504

表4.6最终聚类中心

聚类

1

2

3

次数

137.00

48.25

16.31

死亡人数

110.00

27.25

11.62

受伤人数

176.00

46.50

18.38

11

辖区

3

112157.462

12

辖区

2

100373.508

13

辖区

3

149838.462

14

辖区

3

286803.462

15

辖区

3

66440.462

16

辖区

3

175342.540

17

辖区

2

92997.504

18

辖区

1

.000

表4.6最终聚类中心

聚类

1

2

3

次数

137.00

48.25

16.31

死亡人数

110.00

27.25

11.62

受伤人数

176.00

46.50

18.38

经济损失

4721128.00

1015373.50

238676.54

得出分析结果：

（1）表2.6显示将分类对象区域分为三个等级。

（2）表2.5（一区、三区、四区、五区、六区、七区、九区、十区、十一区、十三区、十四区、十五区、十六区）为所辖区范围内交通事故最轻的、（二区、八区、十二区、十七去）为辖区范围内交通事故一般的区域、（十八区）是辖区范围内交通事故最为严重的。

（3）表2.5显示有效数据位十八个，没有数据缺失。

表4.7以小时为单位的最终聚类结果

案例号

小时

聚类

距离

1

0-1时

1

41531.125

2

1-2时

1

52677.126

3

2-3时

1

55879.876

4

3-4时

1

81456.125

5

4-5时

2

47286.000

6

5-6时

2

47286.000

7

6-7时

1

62299.875

8

7-8时

1

57623.125

9

8-9时

3

74947.072

10

9-10时

1

102944.876

案例号

小时

聚类

距离

1

0-1时

1

41531.125

2

1-2时

1

52677.126

3

2-3时

1

55879.876

4

3-4时

1

81456.125

5

4-5时

2

47286.000

6

5-6时

2

47286.000

7

6-7时

1

62299.875

8

7-8时

1

57623.125

9

8-9时

3

74947.072

10

9-10时

1

102944.876

11

10-11时

3

101939.073

12

11-12时

3

22358.929

13

12-13时

3

4205.074

14

13-14时

3

89233.929

15

14-15时

3

12656.073

16

15-16时

3

98614.072

17

16-17时

3

25122.929

18

17-18时

3

71976.929

19

18-19时

3

77094.929

20

19-20时

3

103017.929

21

20-21时

3

54255.929

22

21-22时

3

114598.072

23

22-23时

3

36102.072

11

10-11时

3

101939.073

12

11-12时

3

22358.929

13

12-13时

3

4205.074

14

13-14时

3

89233.929

15

14-15时

3

12656.073

16

15-16时

3

98614.072

17

16-17时

3

25122.929

18

17-18时

3

71976.929

19

18-19时

3

77094.929

20

19-20时

3

103017.929

21

20-21时

3

54255.929

22

21-22时

3

114598.072

23

22-23时

3

36102.072

24

23-24时

1

12162.875

表4.8以小时为聚类对象的最终聚类中心

聚类

1

2

3

事故次数

26.50

33.00

18.93

死亡人数

20.63

23.50

11.29

受伤人数

28.50

31.00

22.14

经济损失

661234.88

892427.00

343619.93

分析可得，在对以小时为聚类对象的分析中：

表2.8显示以小时为分类对象划分为三个等级。

表2.7显示在（08:

00-09:

00、10:

00-23:

00、）为交通事故发生最轻

的小时段（04:

00-06:

00）为交通事故发生程度最为严重的小时段；（00:

00-04:

00、06:

00-08:

00、09:

00-10:

00、23:

00-24:

00）为交通事故发生程度一般的小时段。

4.2问题二

4.2.1建立GM（1,1）模型Ⅱ

交通事故作为一个随机事件，其本身具有相当大的偶然性和模糊性；如果把某地区的道路交通作为一个系统来看，则此系统中存在着一些确定因素（灰色系统称为白色信息），如道路状况、信号标志等；同时也存在一些不确定因素（灰色系统称为灰色信息），如车辆状况、气候因素、驾驶员心理状态等等，具有明显的不确定性特征。

因此可以认为一个地区的道路交通安全系统是一个灰色系统，可以应用灰色系统的理论进行研究。

高速公路交通事故灰色预测的特点分析

高速公路交通事故灰色预测的原理、方法及所具有的特点表现在：

（1）灰色预测方法认为，某一地区在某一时间区间内的交通事故指标值，是在一定范围内变化的且与时间坐标有关的灰色量。

该方法将原始数据整理成较有规律的生成数列后再进行研究、处理，避免了概率统计方法的大样本、大工作量而其结果不理想的状况。

（2）数学模型GM（1，1）是一阶单变量微分方程；这与以往的概率统计方法利用高散数据所建立的按时间作逐段分析、递推、高散的模型有本质的区别。

（3）GM（1,1）灰色预测模型不是交通事故原始数学模型，而是生成数据序列模型；通过对生成数列的处理，使杂乱无章的原始数据呈现出一定的规律性。

MATLAB的基本数据单位是矩阵，其核心也是矩阵，它可直接进行矩阵的乘积、矩阵的乘方、矩阵的除法、稀疏矩阵等运掣”。

在MATLAB语言系统中，几乎所有的操作都是以矩阵操作为基础，用户可以用类似于数学公式的方法编写程序实现算法，大大降低了编程所需的难度并节省了时间。

而在GM（1，1）模型及相关模型的灰色预测过程中，要大量进行数列和矩阵运算嘲，这晗好使MATLAB派上了用场。

将MATLAB和GM（1，1）模型结合，实现灰色预测算法，恰到好处。

灰色预测模型GM（1，1）的建立过程

GM（1,1）的一般形式

设有变量X（0）＝{X（0）（i），i=1,2，...，n}

（1）

为某一预测对象的非负单调原始数据列，为建立灰色预测模型：

首先对X（0）进行一次累加（1—AGO,AcumulatedGeneratingOperator）生成一次累加序列：

　　　　　　　　　X

（1）＝{X

（1）（k），k＝1，2，…，n}

（2）

其中

　　　　　　　　　X

（1）（k）＝

X（0）（i）（k=1,2,3…n）

%作1—AGO生成序列

Fori=1:

n

X1（i）=sum（x0（1:

i））;

End

对X

（1）可建立下述白化形式的微分方程：

十

＝u,式中a,u是待定系数。

（3）

灰微分方程动态模型为：

（4）

式中

为

的紧邻均生成，即

%紧邻均生成

Fork=2:

n%%紧邻均生成z

z（k）=0.5*x1（k）+0.5*x1（k-1）;

end

（2）构造矩阵B和数据向量

和

满足关系

，其中：

B=

Yn＝（X（0）

（2）,X（0）（3）,…,X（0）（ｎ））T　

（3）计算系数a和u

（5）

可用（5）式表示，由此计算出系数a和u

fori=1:

n-1

b（i,1）=-z（i+1）;

y（i）=x0（i+1）;

end

b（:

2）=1;

y=y’;%转置为列向量

au=b\y;%作矩阵除法，计算au

（4）累加模型预测结果

（1）（k）＝（X（0）

（1）－

）

＋

（6）

%计算GM（1,1）模型

（1）（k）值

Yc1

（1）=x0

（1）;

Fork=1:

n

C=x0

（1）-au

（2）/au

（1）;

Yc1（k+1）=c*exp（-au

（1）*k）+au

（2）/au

（1）;

End

（5）还原后的预测结果（作IAGO）（7）

%计算

值，显示预测结果

Yc0

（1）=x0

（1）;

Fork=1:

n

Yc0（k+1）=yc1（k+1）-yc1（k）;

End

Disp（uint16（yc0（2:

1:

n+1）））;

2、检验和判断GM（1,1）模型的精度

为确保所建灰色模型有较高的精度能应用于预测实际,按灰色理论一般采用三种方法检验判断GM（1,1）模型的精度,它们是,残差大小检验;关联度检验和后验差检验。

通常关联度要大于0.6，残差P

、方差c越小,模型精度P越好。

（1）残差检验

残差检验：

e（k）=

相对误差：

（2）关联度检验

因分辨系数毛是在（0，1）中取定的实数，一般取

=0.5。

关联度是各关联系数￡（k）累加后在n维空间的平均值。

当分辨系数§=0.5，认为关联度