线性代数期末复习题.docx
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线性代数期末复习题
线性代数复习题
一、判断题（正确在括号里打√，错误打×）
1.把三阶行列式的第一列减去第二列，同时把第二列减去第一列，这样得到的新行列式与原行列式相等，亦即
a
b
c
a
b
b
a
c
a
b
c
a
b
b
a
c.
（
）
a
b
c
a
b
b
a
c
2.若一个行列式等于零，则它必有一行（列）元素全为零，或有两行（列）完全相同，或有
两行（列）元素成比例.
（
）
3.
若行列式D中每个元素都大于零，则D>0.
（
）
4.
设A,B,C都是n阶矩阵，且ABC
E，则CAB
E.
（
）
5.
若矩阵A的秩为r，则A的r－1阶子式不会全为零.
（
）
6.
若矩阵A与矩阵B等价，则矩阵的秩R（A）=R（B）.
（
）
7.
零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合.
（
）
8.
若向量组α1,α2,...,αs线性相关，则α1一定可由α2,...,αs线性表示.
（
）
9.
向量组α1,α2,...,αs中，若α1与αs对应分量成比例，则向量组α1,α2,...,αs线性相关.（
）
10.
α1,α2,...,αs（s3）线性无关的充要条件是：
该向量组中任意两个向量都线性无关
.（
）
11.
当齐次线性方程组的方程个数少于未知量个数时，
此齐次线性方程一定有非零解
.（
）
12.
齐次线性方程组一定有解.
（
）
13.
若为可逆矩阵A的特征值，则
1为A1的特征值.
（
）
14.
方程组（EA）x0的解向量都是矩阵A的属于特征值
的特征向量.
（
）
15.
n阶方阵A有n个不同特征值是A可以相似于对角矩阵的充分条件.
（
）
16.
若矩阵A与矩阵B相似，则R（A）
R（B）.
（
）
二、单项选择题
1.设行列式
a11
a12
m,
a13
a12
a11
a12
a13
）
a21
a22
a23
a21
n,则行列式
a22
（
a21
a23
（A）m
n
（B）
（m
n）
（C）nm
（D）m
n
3
8
6
2.行列式5
1
2
的元素a21的代数余子式
A21的值为（
）
1
0
7
（A）33
（B）33
（C）56
（D）56
1
1
0
x
1
3.
1
1
1
1
（
）
四阶行列式
1
1
1
中x的一次项系数为
1
1
1
1
1
（A）
1
（B）1
（C）4
（D）
4
a11
a12
...
a1n
an1
an2
...
ann
4.
设D1
a21
a22
...
a2n,
D2
an1,1
an1,2
...
an1,n,则D2
与D1的关系是（）
............
............
an1
an2
...
ann
a11
a12
...
a1n
n（n
1）
（D）D2
（1）n（n1）D1
（A）D2
D1
（B）D2
D1
（C）D2
（
1）2
D1
a
b
0
0
0
0
a
b
0
0
5.n阶行列式Dn
的值为（
）
0
0
0
a
b
b
0
0
0
a
（A）an
bn
（B）an
bn
（C）an
（1）n1bn
（D）n（ab）
1
2
3
6.已知A1
0
1
2
则A*
（
）
0
0
1
（A）1
（B）2
（C）2
（D）3
7.
设A是n阶方阵且A
5，则
（5AT）1
（
）
（A）5n1
（B）5n
1
（C）5n1
（D）5n
8.
设A是m
n矩阵，B是n
m矩阵（m
n），则下列运算结果是
m阶方阵的是（
）
（A）AB
（B）ATBT
（C）BA
（D）（AB）T
9.
A和B均为n阶方阵，且（A
B）2
A2
2AB
B2，则必有（
）
（A）A
E
（B）B
E
（C）A
B
（D）AB
BA
10.设A、B均为n阶方阵，满足等式
AB
O，则必有（
）
（A）A
O或BO
（B）AB
O
（C）A
0或B0
（D）AB
0
11.设A是方阵，若有矩阵关系式
AB
AC，则必有（
）
（A）A
O
（B）B
C时A
O
（C）A
O时B
C
（D）A0时B
C
2
a11
a12
a13
a21
a22
a23
12.已知方阵Aa21
a22
a23,B
a11
a12
a13
，以及初等变换矩阵
a31
a32
a33
a31a11
a32a12
a33a13
0
1
0
1
0
0
P11
0
0
P2
0
1
0
，则有（）
0
0
1
1
0
1
（A）AP1P2
B
（B）AP2P1B
（C）P2P1AB
（D）P1P2AB
13.
设A、B为n阶对称阵且B可逆，则下列矩阵中为对称阵的是
（）
（A）AB1
B1A
（B）AB1
B1A
（C）B1AB
（D）（AB）2
14.
设A、B均为n阶方阵，下面结论正确的是
（
）
（A）若A、B均可逆，则A+B可逆
（B）
若A、B均可逆，则AB可逆
（C）若A+B均可逆，则A－B可逆
（D）
若A+B可逆，则A、B均可逆
15.
下列结论正确的是（
）
（A）降秩矩阵经过若干次初等变换可以化为满秩矩阵
（B）满秩矩阵经过若干次初等变换可以化为降秩矩阵
（C）非奇异阵等价于单位阵
（D）奇异阵等价于单位阵
16.设矩阵A的秩为r，则A中（）
（A）所有r－1阶子式都不为0（B）所有r－1阶子式全为0
（C）至少有一个r阶子式不为0（D）所有r阶子式都不为0
17.设A、B、C均为n阶矩阵，且ABC=E，以下式子
（1）BCA=E，
（2）BAC=E，（3）CAB=E，（4）CBA=E
中，一定成立的是（）
（A）
（1）
（3）
（B）
（2）（3）
（C）
（1）（4）
（D）
（2）（4）
18.
设A是n阶方阵，且As
O（s为正整数），则（E
A）
1等于（
）
（A）
1
（B）E
A1
（C）AA2
...
As
（D）
E
A...As1
E
A
3
1
2
19.
已知矩阵A1
0
1，A*
是A的伴随矩阵，则
A*中位于（1,
2）的元素是（）
2
1
4
（A）－6
（B）6
（C）2
（D）－2
3
20.已知A为三阶方阵，R（A）=1，则（
）
（A）R（A）3
（B）R（A）2
（C）R（A）1
（D）R（A）
0
21.
已知34矩阵A的行向量组线性无关，则矩阵
AT的秩等于
（
）
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
22.
设两个向量组α1,α2,...,αs和β1,β2,...,βs均线性无关，则
（
）
（A）存在不全为
0的数1,
2,...,
s使得
α
α
...
α
0
和
β
β
...
β
0
11
22
ss
11
22
ss
（B）存在不全为
0的数1,
2,...,
s使得
1（α1
β1）
2（α2
β2）
...
s（αs
βs）
0
（C）存在不全为
0的数1,
2,...,
s使得
1（α1
β1）
2（α2
β2）
...
s（αs
βs）
0
（D）存在不全为
0的数1,
2,...,
s和不全为
0的数
1,2,...,
s使得
α
α
...
α
0
和
β
β
...
β
0
11
22
ss
11
22
ss
23.设有4维向量组
α,α,...,α
，则（）
126
（A）α,α,...,α中至少有两个向量能由其余向量线性表示
126
（B）α,α,...,α线性无关
126
（C）α,α,...,α的秩为4
126
（D）上述说法都不对
24.
α,α,α
线性无关，则下面向量组一定线性无关的是
（
）
设1
23
（A）0,α2,α3
（B）α1,2α2,α3
（C）α
α,α
α,α
α
（D）α
α,α
α,α
α
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
1
25.
n维向量组
α,α,...,α（3sn）
线性无关的充要条件是
（
）
1
2
s
（A）α,α,...,α中任意两个向量都线性无关
12s
（B）α,α,...,α中存在一个向量不能用其余向量线性表示
12s
（C）α,α,...,α中任一个向量都不能用其余向量线性表示
12s
（D）α,α,...,α中不含零向量
12s
26.下列命题中正确的是（）
（A）任意n个n+1维向量线性相关（B）任意n个n+1维向量线性无关
（C）任意n+1个n维向量线性相关（D）任意n+1个n维向量线性无关
4
a11x1
a12x2
...
a1nxn
0
a21x1
a22x2
...
a2nxn
0
，则此方程组（）
27.已知线性方程组
...
的系数行列式D=0
an1x1
an2x2
...
annxn
0
（A）一定有唯一解
（B）一定有无穷多解
（C）一定无解
（D）不能确定是否有解
a11x1
a12x2
...
a1nxn
b1
28.已知非齐次线性方程组
a21x1
a22x2
...
a2nxn
b2
的系数行列式
D=0，把D的第一列
........
an1x1
an2x2
...
annxn
bn
换成常数项得到的行列式
D10，则此方程组
（
）
（A）一定有唯一解
（B）
一定有无穷多解
（C）一定无解
（D）
不能确定是否有解
29.
已知A为m
n矩阵，齐次方程组
Ax
0仅有零解的充要条件是
（
）
（A）A的列向量线性无关
（B）A的列向量线性相关
（C）A的行向量线性无关
（D）A的行向量线性相关
30.
已知A为m
n矩阵，且方程组
Ax
b有唯一解，则必有
（
）
（A）R（A,b）
m
（B）R（A,b）
n
（C）R（A,b）
m
（D）R（A,b）
n
31.
已知n阶方阵A不可逆，则必有
（
）
（A）R（A）
n
（B）R（A）n
1
（C）A0
（D）
方程组Ax
0只有零解
32.n元非齐次线性方程组
Axb的增广矩阵的秩为
n+1，则此方程组（
）
（A）
有唯一解
（B）
有无穷多解
（C）
无解
（D）
不能确定其解的数量
33.
已知
η,η
是非齐次线性方程组
Ax
b的任意两个解，则下列结论错误的是
（
）
1
2
（A）
ηη是Ax
0
的一个解
（B）
1（ηη）是Axb的一个解
1
2
1
2
2
（C）
ηη是Ax
0
的一个解
（D）
2η1
η2是Ax
b的一个解
1
2
34.
若v1,v2,v3,v4是线性方程组Ax
0的基础解系，则
v1v2
v3
v4是该方程组的
（）
（A）
解向量
（B）
基础解系
（C）
通解
（D）A的行向量
35.
若η是线性方程组
Ax
b的解，ξ是方程Ax
0的解，则以下选项中是方程
Ax
b的解
的是（
）（C为任意常数）
（A）ηCξ
（B）CηCξ
（C）CηCξ
（D）Cηξ
36.
已知
m
n
矩阵
A
的秩为n1，α
α是齐次线性方程组
Ax
0的任意两个不同的解，
k
1,
2
为任意常数，则方程组
Ax
0的通解为
（
）
（A）kα
（B）kα
（C）k（α
α）
（D）k（αα）
1
2
1
2
1
2
5
37.
n阶方阵A为奇异矩阵的充要条件是
（
）
（A）A的秩小于n
（B）A
0
（C）A的特征值都等于零
（D）A的特征值都不等于零
38.
已知A为三阶方阵，E为三阶单位阵，A的三个特征值分别为
1,2,
3，则下列矩阵中是
可逆矩阵的是
（
）
（A）A
E
（B）AE
（C）A
3E
（D）A
2E
39.
已知
1
2
是n阶方阵A的两个不同特征值，对应的特征向量分别为
ξ,ξ
12，则（）
（A）
ξ和
ξ线性相关
（B）
ξ和
ξ线性无关
1
2
1
2
（C）
ξ和1
ξ2正交
（D）
ξ和1
ξ2的内积等于零
40.
已知A是一个n（3）阶方阵，下列叙述中正确的是
（
）
（A）
若存在数
和向量α使得Aα
α，则α是A的属于特征值
的特征值
（B）
若存在数
和非零向量α使得
（E
A）α0，则
是A的特征值
（C）A的两个不同特征值可以有同一个特征向量
（D）若1
2
3
是A的三个互不相同的特征值，
α,α,α
分别是相应的特征向量，则
123
α,α,α有可能线性相关
123
41.
已知0
是矩阵A的特征方程的三重根，
A的属于
0的线性无关的特征向量的个数为
k，
则必有（
）
（A）k
3
（B）k3
（C）k
3
（D）k3
42.
矩阵A与B相似，则下列说法不正确的是
（
）
（A）R（A）=R（B）
（B）A=B
（C）A
B
（D）A与B有相同的特征值
43.
n阶方阵A具有n个线性无关的特征向量是
A与对角阵相似的
（）
（A）充分条件
（B）必要条件
（C）
充要条件
（D）
既不充分也不必要条件
44.
n阶方阵A是正交矩阵的充要条件是
（
）
（A）A相似于单位矩阵E
（B）
A的n个列向量都是单位向量
（C）AT
A1
（D）
A的n个列向量是一个正交向量组
45.
已知A是正交矩阵，则下列结论错误的是
（
）
（A）A
2
1
（B）A必为1
（C）A1
AT
（D）A的行（列）向量组是单位正交组
6
46.
n阶方阵A是实对称矩阵，则（
）
（A）A相似于单位矩阵E
（B）A相似于对角矩阵
（C）A1
AT
（D）A的n个列向量是一个正交向量组
47.
已知A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，BCTAC，则（）
（A）A与B相似
（B）A与B不等价
（C）A与B有相同的特征值
（D）A与B合同
三、填空题
1.已知a31a2ia13a5ka44
是五阶行列式中的一项且带正号，则i=
，k=
.
1
2
3
2.已知三阶行列式D
4
5
6，Aij表示元素aij对应的代数余子式，则与aA21
bA22cA23
7
8
9
对应的三阶行列式为.
1
3
1
3.
已知0
5
x
0，则x=
.
1
2
2
4.
已知A，B均为n阶方阵，且Aa
0,B
b0，则
（2A）BT
，1AB1
.
2
5.
已知A是四阶方阵，且
A
13，则A1
，
3A*
4A1
.
6.
已知三阶矩阵
A的三个特征值分别为
1,2,
3，则
4A1
3A*
.
7.
设矩阵A
a11
a12
a13
，是方阵，且
AB
有意义，则
B
是
阶矩阵，
AB
是
行
a21
a22
a23
B
列矩阵.
8.
已知矩阵A,B,C
（cij
）sn，满足AC
CB，则A与B分别是
，
阶矩阵.
9.
可逆矩阵A满足A2
A
2EO，则A1
.
T
T
T
α,α,α
10.
已知α1
（1,1,1）
α2
（x,0,y）,α3
（1,3,2）
，若
x，y满足关系式
1
2
3线性相关，则
.
7
a11
a12
11.矩阵Aa21
a22
的行向量组线性
关.
a31
a32
12.
一个非齐次线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大
.
13.
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