1995考研数学一真题及答案解析.docx
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1995考研数学一真题及答案解析
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题（此题共5个小题，每题3分，总分值15分.）
2
（1）lim（1+3x严=.
X屮
d02
（2）2xcostdt二.
dxx
（3）设（axb）c=2,贝y[（a+b）x（b+c）]，（c+a）=.
⑷幕级数送x2nA的收敛半径R=.
心2n+（—3）n
（5）设三阶方阵A、B满足关系式:
A」BA=6ABA,且A=
0
1
4
0
0
0,那么B=
1
7>
f⑴-f（0）或f（0）-f⑴的大小顺序是
（A）f
（1）f（0）f
（1）-f（0）（B）
（）
f
（1）f
（1）-f（0）f（0）
、选择题（此题共5个小题，每题3分,总分值15分.）
Ix+3v+2z+1=0
（1）设有直线L:
'及平面I丨：
4x-2y•z-3=0,那么直线L（）
2x_y_10z+3=0
（A）平行于丨丨（B）在I丨上（C）垂直于丨丨（D）与丨丨斜交
（2）设在[0,1]上f（x）0,那么f（0）、f
（1）、
充分条件但非必要条件既非充分条件又非必要条件
设un=（-1）nln
那么级数
（）
f
（1）f（0）-f
（1）f（0）
（C）f
（1）-f（0）f
（1）f（0）（D）
⑶设f（x）可导，F（x）=f（x）（1|sinx|）,那么f（0）=0是F（x）在x=0处可导的（）
（A）充分必要条件（B）
（C）必要条件但非充分条件（D）
二un与二U2者E发散
nTnT
（A）XUn与7U2都收敛（B）
n±n』
vun发散而7u2收敛
nJnJ
（A）APP2=B（B）
AP2P1=B
（C）RP2A=B
（D）F2RA=B
（C）7un收敛而u2发散（D）
ngng
勺1
a12
a13
a21
a22
a23
■0
1
0、
⑸设A=
a21
a22
a23，B=
a11
a12
a13
，P=
1
0
0
031
a32
a33J
031*a11
a32+a12
a33+a13J
2
0
b
r100'
P2=010,那么必有
J0b
三、（此题共2小题,每题5分，总分值10分.）
（1）设u二f（x,y,z）,「（x2,ey,z）=0,y=sinx,其中f、：
:
都具有一阶连续偏导数，且
7,求虫
dx
111
⑵设函数f（x）在区间［0,1］上连续，并设°f（x）dx=A,求°dx*f（x）f（y）dy•
四、（此题共2小题，每题6分,总分值12分.）
（1）计算曲面积分11zdS,其中三为锥面x2y2在柱体x2■y2_2x内的局部.
⑵将函数f（x）=x-1（0乞x乞2）展开成周期为4的余弦级数.
五、（此题总分值7分）
设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记
——f33、为A.MA=OA,且L过点二三I,求L的方程.
（22丿
六、（此题总分值8分）
设函数Q（x,y）在xOy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分2xyd^Q（x,y）dy与
路径无关，并且对任意t恒有
（t,1）（1,t）
（0,0）2xydxQ（x,y）dy=.何）2xydxQ（x,y）dy,
求Q（x,y）.
七、（此题总分值8分）
假设函数f（x）和g（x）在［a,b］上存在二阶倒数，并且
g（x）=0,f（a）=f（b）=g（a）=g（b）,试证：
（1）在开区间（a,b）内g（x）=0；
（2）
g（）g（）
在开区间（a,b）内至少存在一点',使丄O=L
八、（此题总分值7分）
设三阶实对称矩阵A的特征值为--1,='^1,对应于r的特征向量为
^（0,1,1）T,求A.
九、（此题总分值6分）
设A是n阶矩阵，满足AA二E（E是n阶单位阵，AT是A的转置矩阵）,A：
：
：
0,求
A+E.
十、填空题（此题共2小题，每题3分,总分值6分.）
（1）设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为，那么X2的数
学期望E（X2）=.
⑵设X和Y为两个随机变量，且
P（X_0）=P（Y一0）=4,
那么p{max（X,Y）色0}=.
十一、（此题总分值6分）
x启0
设随机变量X的概率密度为fX（x）求随机变量Y=eX的概率密度
QxcO,
fY（y）.
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
、填空题（此题共5个小题，每题3分,总分值15分.）
（1）【答案】e6
【解析】这是1:
型未定式求极限，
2
lim（13x）五
x_0
令3x=t,那么当x>0时,t>0,所以
1c3x...
=lim（13x）3xsinx
x_0
11
IJm（13x）亦=1叫（1$=e,
2巴lim巴6limL
lim（13x）sinx=limesinx=ex0sinx=ex0sinxx）0x]0
⑵【答案】
0
2cost2dt-2x2cosx4
x
【解析】
d02d02
2xcostdtx2costdtdxxdxx
0
=（costdt—xcos（x）
2x
0,224
2costdt-2xcosx.
x
【相关知识点】积分上限函数的求导公式：
tdt二f：
x：
x—f：
xnx•
⑶【答案】4
【解析】利用向量运算律有
[（ab）（bc）]（c-a）
-[（ab）b]（ca）[（ab）c]（ca）=（abbb）（ca）（acbc）（ca）（其中bb=0）=（ab）c（ab）a（ac）c（bc）a=（ab）c（bc）a=（ab）c（ab）c=4.
⑷【答案】.3
I解析】令a「=严，那么当…：
时,有
lim菩'an
=lim
n+1
2n（—3）n1
x2（n1）J
zv
n
2n-（-3）n
=limx2匕1
n•n
2nJ
X
12=_X
3
12
而当-x：
：
1时,幕级数收敛
3
即凶「3时,此幂级数收敛,当3x21时，即|x“时，此幕级数发散，因此收敛半径为R='、3.
勺00'
⑸【答案】020
<00h
【解析】在等式A‘BA=6A，BA两边右乘以A」，得A」B=6E•B,即（A」-E）B=6E.
勺00'
因为A」=040,所以
1°07」
*2
0
0^
-4
广3
0
0"
B=6（A°-E）」=6
0
3
0
=
0
2
0
1。
0
6」
1。
0
b
二、选择题（此题共5个小题，每题3分,总分值15分.）
（1）【答案】（C）
【解析】这是讨论直线L的方向向量与平面II的法向量的相互关系问题
直线L的方向向量
丨=132=-28i+14j-7k=-7（4i-2j+k）,
-1-10?
平面丨丨的法向量n=4i-2j・k,lLIn,L_：
.应选（C）.
⑵【答案】（B）
【解析】由f（X）・0可知f（x）在区间［0,1］上为严格单调递增函数，故
f
（1）-f（x）.f（0）,（0：
x：
.1）
由微分中值定理,f⑴一f（0）=f（）,（0：
：
：
：
：
：
1）.所以
f
（1）.f⑴-f（0）=f（）.f（0）,（0：
：
：
：
：
：
1）
故应选择（B）.
⑶【答案】（A）
【解析】由于利用观察法和排除法都很难对此题作出选择，必须分别验证充分条件和必要
条件•
充分性：
因为f（0）=0,所以
limF（x）-Ff
X0xxA
f（x）（1+sinx
?
=lim佟
x10x
也f（x）-f（0）〞（°）,
由此可得F（x）在x=0处可导•
必要性：
设F（x）在x=0处可导，那么f（x）・sinx在x=0处可导，由可导的充要条件知
f（x）{sinx
lim
X_0—x
f（x）sinx
=lim
x）0-
sinx
根据重要极限lim1,可得
Yx
sinx
limJ
xQ一x
sinx
二-lim二-1,lim-
XQ—Xx「0.x
二lim=1,x小x
结合①，②,我们有f（0H-f（0）,故f（0）=0.应选（A）.⑷【答案】（C）
qQqQ
【解析】这是讨论un与7u2敛散性的问题•
n吕nT
QO
、‘Un
nd
（-1）nl门口宀-1—是交错级数，显然ln（1■
n#n
1
——）单调下降趋于零
、n
由莱布尼
兹判别法知
该级数收敛.
QOQO
正项级数au；「Tn2
nmn壬
V中S；1」
1_1…丄2=
Ivn丿ivn丿
根据正项级数的比拟判别法以及
：
：
1:
:
、丄发散,=「2nTnnT
发散•因此,应选（C）.
【相关知识点】正项级数的比拟判别法:
解得
□Oqq
设二un和"vn都是正项级数,且lim上二A,那么n」n」n厂比
□0QO
⑴当0：
：
：
A：
：
：
•:
:
时,un和7vn同时收敛或同时发散；
n4nJ
qQqQqQqQ
⑵当A=0时,假设un收敛，那么vn收敛；假设vvn发散,那么aun发散；
n=jn=1n=Jn4
⑶当Ah〔3时，假设vn收敛，那么aun收敛；假设aun发散，那么avn发散•
n^1nTn^1n£
⑸【答案】（C）
【解析】P是交换单位矩阵的第一、二行所得初等矩阵，F2是将单位矩阵的第一行加到
第三行所得初等矩阵；
而B是由A先将第一行加到第三行，然后再交换第一、二行两次初等交换得到的，因此
RP2A=B，故应选（C）.
三、（此题共2小题，每题5分,总分值10分.）
（1）【解析】这实质上已经变成了由方程式确定的隐函数的求导与带抽象函数记号的复合函数求导相结合的问题•
pl—
先由方程式「（x2，ey，z）二0，其中y=sinx确定z=z（x），并求一•
dx
将方程两边对x求导得
现再将u=f（x,y,z）对x求导，其中y=sinx,z=z（x）,
可得
dudz
f,f2cosxf3.
dx23dx
将①式代入得
匹=f「f2cosx_f/—；2x；eycosx.dx3
【相关知识点】多元复合函数求导法那么：
如果函数u二（x,y）,^（x,y）都在点（x,y）具
有对x及对y的偏导数，函数z=f（u,v）在对应点（u,v）具有连续偏导数，那么复合函数
f（;：
（x,y）?
（x,y））在点（x,y）的两个偏导数存在，且有
；z
■z；:
u
■z:
v
.:
uv
—
+
=f?
f2-
jx
；:
u
；x
:
v；x
:
x:
x
；:
z
z
:
u
:
z.:
v
■*
ju_v
+
二t
f2—
；:
u
jvjy
:
y:
y
（2）【解析】方法一：
用重积分的方法.
11
pdx%f（x）f（y）dy表成二重积分
将累次积分I
其中D如右图所示
二f（x）f（y）dxdy,
D
.交换积分次序
1y
=0dy0f（x）f（y）dx.
由于定积分与积分变量无关，改写成
1x
I=0dx°f（y）f（x）dy.
2I=：
0dx.xf（x）f（y）dy0dx.0f（x）f（y）dy
11112
=°dx0f（x）f（y）dy=j0f（x）dx0f（y）d^A.
I」A.
2
方法二：
用分部积分法.
1
注意d〔If（y）dy二-f（x）dx，将累次积分I写成
-2（"（丫向）2
Ja2.
x卫2
四、（此题共2小题，每题6分，总分值
12分.）
（1）【解析】将曲面积分
I化为二重积分I=f（x,y）dxdy.
Dxy
首先确定被积函数
f（x,y）=z（1+z：
=V2jx2+y2,
对锥面z=Jx2+y2而言,J1十三+£=
1+_x2_+
x2y2
其次确定积分区域即1在xOy平面的投影区域Dxy
（见右图）,按题意:
Dxy:
x2y2-2x,即（x-1）2y2-1.
x
因此
I=.2x2y2dxdy•
Dxy
作极坐标变换x=rcosv,y=rsinv,那么
Dxy:
0乞r乞2cosj,,
22
2cos■13
）r・rdr=2血r
3
2cos-i
32f-
d^-2.
09
（2）【解析】这就是将f（x）作偶延拓后再作周期为4
的周期延拓.于是得f（x）的傅氏系数:
bn=0（n=1,2,3JI|）
2l
an=「0f（x）cos!
22
（x-1）dsin
0
4n兀
22cos——x
n兀2
dxl
二2
0
（x-1）cos
n二
2
2.n二
x
=—
sin-）
2
n二
02
4
22
■（M）n
1）
2
2
n二
——xdx
2
0n：
-8
2
二（2k-1）
I
0,
n=2k-1,
k=1,2,3，川
n=2k,
-212玄=20f（x）dx二0（x-1）dx=2（x-1）
2
=0.
0
由于（延拓后）f（x）在［-2,2］分段单调、连续且f（-1）=1.于是f（x）有展开式
f（x）二
8J：
1（2n-1）二
[0,2].
五、（此题总分值7分）
【解析】设点M的坐标为（x,y）,那么M处的切线方程为Y-y=y（X-x）.
令X=0,得Y=y—xy",切线与y轴的交点为A（0,y—xy）.由MA=OA,有
Jx2十（xy）2=y_xy〞.
1f1
化简后得伯努利方程2yy"y2二-x,y2-—y2二-x.
xx
入2・1
令z=y,方程化为一阶线性方程zz=-x•
x
解得z=x（c_x）,即y2=cx-x2,亦即y=.cx-x2.
又由yi3=3,得c=3,L的方程为y二3x-殳（0：
：
：
x：
：
：
3）12丿2
六、（此题总分值8分）
【解析】在平面上lPdxQdy与路径无关（其中P,Q有连续偏导数）,
即—=2x.
对x积分得
.y:
x:
x
Q（x,y）=x2•「（y）,其中:
（y）待定•代入另一等式得对-仁
（t,1）2（1,t）2
（0,0）
©0）2xydxx（y）dy「（°,。
）2xydxx（y）dy.
F面由此等式求（y）.
方法一：
易求得原函数
2xydxx2（y）dy二ydx2x2dy（y）dy
2y2y
=d（xy）do（s）ds=dxyj（s）ds.
于是由①式得
2y*
（xy+j0®（s）ds】
（t,i）
（0,0）
2y平
=（xy+貯（s）ds；
（i,t）
（0,0）
t21
因此
Q（x,yHx22y-1.
2t
0」（s）ds二t亠I；（s）ds,亦即t二t亠I；（s）ds・
求导得
2t=1•:
（t）,即：
（t）=2t—1.
方法二：
取特殊的积分路径：
对①式左端与右端积分分别取积分路径如下列图所示
于是得
t2"（y）dy•
o1t
t0」（y）dy=t0」（y）dy,亦即
其余与方法一相同七、（此题总分值8分）
【解析】⑴反证法•假设Tc・（a,b）,使g（c）=O.那么由罗尔定理，-I「仁二（a,c）与（c,b）,使g「i）=g「2）=0;从而由罗尔定理,"三（1「2）（a,b）,g（^0.这与
g（x）=0矛盾•
（2）证明此题的关键问题是：
“对谁使用罗尔定理？
〞换言之，“谁的导数等于零？
〞
这应该从所要证明的结果来考察•由证明的结果可以看出此题即证f（x）g（x）一f（x）g（x）
在（a,b）存在零点•
方法一：
注意到f（x）g（x）—f（x）g（x）二f（x）g（x）_f（x）g（x）,
考察f（x）g（x）-f（x）g（x）的原函数,令
「（x）二f（x）g（x）-f（x）g（x）,
=：
（x）在[a,b]可导，：
:
（a）=F:
（b）=0.由罗尔定理，f（a,b）,使,「）=0.即有
f（）g（）-f（）g（）=0,亦即
f（）f（）g（厂g（）
方法二：
假设不能像前面那样观察到f（x）g（x）-f（x）g（x）的原函数，我们也可以用积分来
讨论这个问题：
f（x）g（x）-f（x）g（x）=（?
）二If（x）g（x）-f（x）g（x）Idx二？
.
[f（x）g（x）-f（x）g（x）Idx=f（x）dg（x）-g（x）df（x）
-||f（x）g（x^g（x）f（x）dx—]f（x）g（x）-f（x）g（x）dx
二f（x）g（x）-f（x）g（x）（取C=0）.
令:
（x）二f（x）g（x）-f（x）g（x）,其余与方法一相同.
八、（此题总分值7分）
【解析】设对应于‘2二‘3=1的特征向量为=（Xi,X2,X3）T,因为A为实对称矩阵，且实对
称矩阵的不同特征值所对应的特征向量相互正交,故T^0,即X2•x3=0.
解之得2=（1,0,0）T,3=（0,1,—1）T.
于是有A（1,2,3）=（-11,22,'33）,
所以A=（11,'22,■33）（1,2,3）-
p
1
0、
p
1
0、
_L
「1
0
0'
-1
0
1
1
0
1
=
0
0
-1
-1
0
J
0
<0
-1
°」
九、（此题总分值6分）
【解析】方法一：
根据AAT=E有
|AE^|AAAT|=|A（EAT）|=|A||EA|=|A||AE|,
移项得（1-|A|）|A•E|=0.
因为A：
0,故1-|A|0.所以|AE|=0.
方法二：
因为（a+e）at|=|aat+at|=忙+£|=E+A,
所以|A+E||A=E+A,
即（1一|A|）|AE^0.
因为A<0,故1-|A|0.所以|AE^0.
十、填空题（此题共2小题，每题3分,总分值6分.）
（1）【解析】由题设,因为是独立重复实验,所以X服从n=10,p二的二项分布
由二项分布的数学期望和方差计算公式，有
E（X）二np=4,D（X）二np（1-p）=2.4,
根据方差性质有E（X2）=D（X），[E（X）]2=18.4.
（2）【解析】令A二{X:
:
:
0},B二{Y:
:
:
0},那么
P{max（X,Y）—0}=1—P{max（X,Y）：
：
0}=1-P{X：
：
0,Y：
：
0}.
P{max（X,Y）_0}=1_口_P（AB）］二P（AB）=P（A）p（B）—P（AB）
4435
=—+————
7777.
卜一、（此题总分值6分）
【解析】方法1:
用分布函数法先求Y的分布函数FY（y）.
当y^1时，FY（y）=0；
当y1时，FY（y）二P{Y乞y}二P（eX乞y）二P〈X乞1n/
y
lnyxxlny
“0edx=-e0
所以由连续型随机变量的概率密度是分布函数的微分，得
fY（y）=FY®={+
0,
y1,
y叮.
lnydlny1.
或者直接将.0「dx对y求导数得-.0e"厂y
方法2：
用单调函数公式直接求丫的概率密度
由于y二ex在0,•:
:
内单调，其反函数X二h（y）=lny在1,•:
:
内可导且其导数为
1
xy0,那么所求概率密度函数为
y
1Inyi1
f,、Jh'（y,fx（h（y））,yA1,I-e,y〉1,I—,y〉1,
fY（y）=f才y={y
9心.Qy"Qy"
【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：
假设F（t）二'（t）f（x）dx,:
（t）,■-（t）均一阶可导，那么
（t）
F（t）二-（t）f（t）l「；J（t）H：
（t）l.
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