数学竞赛平面几何讲座三角形的五心.docx

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数学竞赛平面几何讲座三角形的五心

数学竞赛平面几何讲座：

三角形的五心

第五讲三角形的五心

三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心

一、外心

三角形外接圆的圆心，简称外心与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理

例1．过等腰△AB底边B上一点P引P∥A交AB于；引PN∥BA交A于N作点P关于N的对称点P′试证：

P′点在△AB外接圆上

分析：

由已知可得P′=P=B，NP′=NP

=N，故点是△P′BP的外心，点

N是△P′P的外心有

∠BP′P=∠BP=∠BA，

∠PP′=∠PN=∠BA

∴∠BP′=∠BP′P+∠P′P=∠BA

从而，P′点与A，B，共圆、即P′在△AB外接圆上

由于P′P平分∠BP′，显然还有

P′B:

P′=BP:

P

例2．在△AB的边AB，B，A上分别取点P，Q，S证明以△APS，△BQP，△SQ的外心为顶点的三角形与△AB相似

分析：

设1，2，3是△APS，△BQP，

△SQ的外心，作出六边形

1P2Q3S后再由外

心性质可知

∠P1S=2∠A，

∠Q2P=2∠B，

∠S3Q=2∠

∴∠P1S+∠Q2P+∠S3Q=360°从而又知∠1P2+

∠2Q3+∠3S1=360°

将△2Q3绕着3点旋转到△S3，易判断△S1≌△2P1，同时可得△123≌△13

∴∠213=∠13=∠21

=（∠21S+∠S1）

=（∠21S+∠P12）

=∠P1S=∠A；

同理有∠123=∠B故△123∽△AB

二、重心

三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心掌握重心将每

条中线都分成定比2:

1及中线长度公式，便于解题

例3．AD，BE，F是△AB的三条中线，P是任意一点证明：

在△PAD，△PBE，△PF中，其中一个面积等于另外两个面积的和

分析：

设G为△AB重心，直线PG与AB

，B相交从A，，D，E，F分别

作该直线的垂线，垂足为A′，′，

D′，E′，F′

易证AA′=2DD′，′=2FF′，2EE′=AA′+′，

∴EE′=DD′+FF′

有S△PGE=S△PGD+S△PGF

两边各扩大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PF

例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似其逆亦真

分析：

将△AB简记为△，由三中线AD，BE，F围成的三角形简记为△′G为重心，连DE到H，使EH=DE，连H，HF，则△′就是△HF

（1）a2，b2，2成等差数列△∽△′

若△AB为正三角形，易证△∽△′

不妨设a≥b≥，有

F=，

BE=，

AD=

将a2+2=2b2，分别代入以上三式，得

F=，BE=，AD=

∴F:

BE:

AD=:

:

=a:

b:

故有△∽△′

（2）△∽△′a2，b2，2成等差数列

当△中a≥b≥时，

△′中F≥BE≥AD

　　　∵△∽△′，

　　　∴＝（）2

据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的”，有=

∴=3a2=4F2=2a2+b2-2

a2+2=2b2

三、垂心

三角形三条高的交战，称为三角形的垂心由三角形的垂心造成的四个等（外接）圆三角形，给我们解题提供了极大的便利

例．设A1A2A3A4为⊙内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为

△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心求证：

H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置

分析：

连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径

为R由△A2A3A4知

=2RA2H1=2Rs∠A3A2A4；

由△A1A3A4得

A1H2=2Rs∠A3A1A4

但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2

易证A2H1∥A1A2，于是，A2H1A1H2，

故得H1H2A2A1设H1A1与H2A2的交点为，故H1H2与A1A2关于点成中心对称

同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于点成中心对称故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上后者的圆心设为Q，Q与也关于成中心对称由，两点，Q点就不难确定了

例6．H为△AB的垂心，D，E，F分别是B，A，AB的中心一个以H为圆心的⊙H交直线EF，FD，DE于A1，A2，B1，B2，1，2

求证：

AA1=AA2=BB1=BB2=1=2

分析：

只须证明AA1=BB1=1即可设

B=a，A=b，AB=，△AB外

接圆半径为R，⊙H的半径为r

连HA1，AH交EF于

A=A2+A12=A2+r2-H2

=r2+（A2-H2），①

又A2-H2=（AH1）2-（AH-AH1）2

=AH•AH1-AH2=AH2•AB-AH2

=sA•b-AH2，②

而=2RAH2=4R2s2A,

=2Ra2=4R2sin2A

∴AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2③

由①、②、③有

A=r2+•b-（4R2-a2）

=（a2+b2+2）-4R2+r2

同理，=（a2+b2+2）-4R2+r2，

=（a2+b2+2）-4R2+r2

故有AA1=BB1=1

四、内心

三角形内切圆的圆心，简称为内心对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：

设I为△AB的内心，射线AI交△AB外接圆于A′，则有A′I=A′B=A′换言之，点A′必是△IB之外心（内心的等量关系之逆同样有用）

例7．ABD为圆内接凸四边形，取

△DAB，△AB，△BD，

△DA的内心1，2，3，

4求证：

1234为矩形

（1986，中国数学奥林匹克集训题）

证明见《中等数学》1992；4

例8．已知⊙内接△AB，⊙Q切AB，A于E，F且与⊙内切试证：

EF中点P是△AB之内心

分析：

在第20届I中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条AB=A当AB≠A，怎样证明呢？

如图，显然EF中点P、圆心Q，B中点都在∠BA平分线上易知AQ=

∵Q•AQ=Q•QN，

∴Q=

==

由Rt△EPQ知PQ=

∴P=PQ+Q=+=

∴P=B

利用内心等量关系之逆定理，即知P是△AB这内心

五、旁心

三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于

一点，是旁切圆的圆心，称为旁心旁心常常与内心联系在一起，

旁心还与三角形的半周长关系密切

例9．在直角三角形中，求证：

r+ra+rb+r=2p

式中r，ra，rb，r分别表示内切圆半径及与a，b，相切的旁切圆半径，p表示半周

分析：

设Rt△AB中，为斜边，先证明一个特性：

p（p-）=（p-a）（p-b）

∵p（p-）=（a+b+）•（a+b-）

=[（a+b）2-2]

=ab；

（p-a）（p-b）=（-a+b+）•（a-b+）

=[2-（a-b）2]=ab

∴p（p-）=（p-a）（p-b）①

观察图形，可得

ra=AF-A=p-b，

rb=BG-B=p-a，

r==p

而r=（a+b-）

=p-

∴r+ra+rb+r

=（p-）+（p-b）+（p-a）+p

=4p-（a+b+）=2p

由①及图形易证

例10．是△AB边AB上的任意一点r1，r2，r分别是△A，△B，△AB内切圆的半径，q1，q2，q分别是上述三角形在∠AB内部的旁切圆半径证明：

•=

（I-12）

分析：

对任意△A′B′′，由正弦定理可知

D=A′•

=A′B′••

=A′B′•，

′E=A′B′•

∴

亦即有

•=

==

六、众心共圆

这有两种情况：

（1）同一点却是不同三角形的不同的心；

（2）同一图形出现了同一三角形的几个心

例11．设在圆内接凸六边形ABDFE中，AB=B，D=DE，EF=FA试证：

（1）AD，BE，F三条对角线交于一点；

（2）AB+B+D+DE+EF+FA≥A+BE+F

分析：

连接A，E，EA，由已知可证AD，F，EB是△AE的三条内角平分线，I为△AE的内心从而有ID=D=DE，

IF=EF=FA，

IB=AB=B

再由△BDF，易证BP，DQ，FS是它的三条高，I是它的垂心，利用不等式有：

BI+DI+FI≥2•（IP+IQ+IS）

不难证明IE=2IP，IA=2IQ，I=2IS

∴BI+DI+FI≥IA+IE+I

∴AB+B+D+DE+EF+FA

=2（BI+DI+FI）

≥（IA+IE+I）+（BI+DI+FI）

=AD+BE+F

I就是一点两心

例12．△AB的外心为，AB=A，D是AB中点，E是△AD的重心证明E丄D

分析：

设A为高亦为中线，取A中点

F，E必在DF上且DE:

EF=2:

1设

D交A于G，G必为△AB重心

连GE，F，F交D于易证：

DG:

G=D:

（）D=2:

1

∴DG:

G=DE:

EFGE∥F

∵D丄AB，F∥AB，

∴D丄FD丄GE但G丄DEG又是△DE之垂心

易证E丄D

例13．△AB中∠=30°，是外心，I是内心，边A上的D点与边B上的E点使得AD=BE=AB求证：

I丄DE，I=DE分析：

辅助线如图所示，作∠DA平分线交B于

易证△AID≌△AIB≌△EIB，

∠AID=∠AIB=∠EIB

利用内心张角公式，有

∠AIB=90°+∠=10°，

∴∠DIE=360°-10°×3=4°

∵∠AB=30°+∠DA

=30°+（∠BA-∠BA）

=30°+（∠BA-60°）

=∠BA=∠BAI=∠BEI

∴A∥IE

由等腰△AD可知D丄A，

∴D丄IE，即DF是△DIE的一条高

同理E是△DIE之垂心，I丄DE

由∠DIE=∠ID，易知I=DE

例14．锐角△AB中，，G，H分别是外心、重心、垂心设外心到三边距离和为d外，重心到三边距

离和为d重，垂心到三边距离和为d垂

求证：

1•d垂+2•d外=3•d重

分析：

这里用三角法设△AB外接圆

半径为1，三个内角记为A，B，

易知d外=1+2+3

=sA+sB+s，

∴2d外=2（sA+sB+s）①

∵AH1=sinB•AB=sinB•（2sin）=2sinB•sin，

同样可得BH2•H3

∴3d重=△AB三条高的和

=2•（sinB•sin+sin•sinA+sinA•sinB）②

∴=2，

∴HH1=s•BH=2•sB•s

同样可得HH2，HH3

∴d垂=HH1+HH2+HH3

=2（sB•s+s•sA+sA•sB）③

欲证结论，观察①、②、③，

须证（sB•s+s•sA+sA•sB）+（sA+sB+s）=sinB•sin+sin•sinA+sinA•sinB即可

练习题

1I为△AB之内心，射线AI，B