第五讲二阶容斥原理.docx

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第五讲二阶容斥原理

第五节二阶容斥原理

【知识要点】

在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：

先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理．

解答这类应用题的关键是：

确定分类标准，画出示意图，找出重复部分，搞清楚重复了几次，及题中问题是什么．

【典型例题】

[#]例1．同学们排成一队做游戏，小鱼的位置从前往后数是第6个，

从后往前数是第10个，你知道有多少个小朋友在做游戏吗？

[#]例2．詹老师班的学生全都多才多艺，人人都至少会弹钢琴、唱

歌中一门才艺表演，其中会弹钢琴的有30人，会唱歌的有50人，

两样都会的有25人，詹老师班上一共有多少名学生？

[#]例3．边长为3厘米的正方形与边长为5厘米的正方形放在

桌面上，如图，它们所盖住的面积有多大？

[#]例4．一张纸片面积为7平方厘米的圆形纸片、一张边长为

厘米2的正方形纸片，把这两张纸片放在桌面上，覆盖的面积

为8平方厘米，问两张纸片重合部分的面积是多少平方厘米？

[#]例5．小皮蛋当过一次导游，他带领着的旅行团参观了深圳的

青青世界，在这个旅行团中，会中文的有24人，会英文的有18

人，两种都会的有12人，两样都不会的有5人，你知道小皮蛋

带领的这个旅行团共有多少人吗？

例6．在国际学校的一个班中有36人，其中会英语的有24人，

会法语的有18人，两样都会的有14人，两样都不会的有多少人？

例7．一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会

下国际象棋的52人，这两种棋都不会下的有12人．问这两种

都会下的有多少人？

小试锋芒

姓名：

成绩：

[#]1．鸿鸿排队唱歌，她站的这一排，从左往右数，她是第8个，

从右往左数，她是第5个，问这一排共有多少个人？

[#]2．邦德第二届圣诞嘉年华要开幕了，芹菜老师班的学生当然

是积极参加，他们组成了欢歌笑语队，进行体操表演时，正好

排成了6行，队长乐乐站在第一行，从左数，他是第5个，从

右数，他是第3个，欢歌笑语队一共有多少位芹菜老师的兵？

[#]3．一张正方形的纸片面积是50平方厘米，一张圆形的纸片

面积是40平方厘米．两张纸片覆盖在桌面上的面积是60平方

厘米，则这两张纸片重合部分的面积是多少？

4．Bond学校M4B17班一共有学生21人，班主任林老师在自

习课上问：

“谁做完英语作业？

请举手！

”有15人举手．又问：

“谁做完数学作业？

请举手！

”有20人举手．最后问：

“谁英语、

数学作业都没有做完？

”没有人举手．你知道林老师班英语和

数学作业都做完的一共有多少人吗？

5．四年级三班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，

既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人．这两队都没有参加的有

10人．请计算这个班共有多少人？

6．50个学生参加期末考试，英语得100分的18人，数学得

100分的27人，两门学科都得100分的8人．两门学科都没得

满分的有多少人？

7．运动队50名同学中，喜欢打乒乓球的有28人，喜欢打羽

毛球的有16人，两项活动都不喜欢的有12人．两项活动都喜

欢的有多少人？

8．在线段AB上取两个点C、D，已知AB=25，AD=19，

CB=17，求CD长．

9．1—20中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个？

[*]10.1—50中不是3的倍数或5的倍数的数共有多少个？

[*]11．40名学生面向老师站成一行，老师先让大家从左到右

按1，2，3，…依次报数，再让报数是3的倍数的同学向后转，

接着又让报数是5的倍数同学向后转，问此时还有多少名同学

面向老师？

[*]12．百花小学举办学生书法展览．学校的橱窗里展出了每个

年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不

是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级

参展的书法作品共有多少幅？

大显身手

姓名：

成绩：

[#]1．把边长为5厘米和边长为2厘米的两张正方形纸片放在

桌面上，覆盖的面积为27平方厘米，问两张纸片重合部分的

面积是多少平方厘米？

[#]2．Q宠宝贝排队做操，从前向后数，Q宝喵喵是第7个，

从后向前数，喵喵是第14个．这一队一共有多少位Q宠宝贝？

[#]3．某班级学生家中至少有彩色电视机和电冰箱中一种，其中

32人的家中有彩色电视机，40人家中有电冰箱，彩色电视机和

电冰箱都有的为24人．这个班学生有多少人？

[#]4．园岭小学三年级参加作文和数学竞赛，参加作文竞赛的有

26人，参加数学竞赛的有50人，既参加作文竞赛，又参加数学

竞赛的有15人，两种竞赛都不参加的有70人．三年级共有学生

多少？

5．四

（2）班有学生46人，其中会打篮球的有18人，会踢足球

的有14人，两样都会的有6人，两样都不会的有多少人？

6．有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75

人懂英语，83人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？

7．1—30中是3的倍数或5的倍数的数共有多少个？

[*]8．科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作

品，其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、

二年级参展的作品共有32件．其他年级参展的作品共有多少件？