中考复习中考数学复习方案设计教案.docx
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中考复习中考数学复习方案设计教案
方案设计
我对方案设计这一中考专题谈谈我的认识，有不妥之处，请各位同行给予指正。
一、方案设计专题诠释
方案设计型问题,是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，确定出最佳方案的一类数学问题。
随着新课程改革的不断深入,一些新颖、灵活、密切联系实际的方案设计问题正越来越受到中考命题人员的喜爱，这些问题主要考查学生动手操作能力和创新能力，这也是新课程所要求的核心内容之一。
二、解题策略
方案设计型问题涉及生产生活的方方面面，如:
测量、购物、生产配料、汽车调配、图形拼接等.所用到的数学知识有方程、相似、全等、不等式、函数、解直角三角形、概率和统计等知识.这类问题的应用性非常突出，题目一般较长，做题之前要认真读题,理解题意，选择和构造合适的数学模型，通过数学求解，最终解决问题。
解答此类问题必须具有扎实的基础知识和灵活运用知识的能力,另外，解题时还要注重综合运用转化思想、数形结合的思想、方程函数思想及分类讨论等各种数学思想.
三、中考题型
题型一：
由基本几何问题的结论作方案，解决实际问题
2013、2014、2015年德州中考试题都出现过此种题型，所用到的数学知识主要有相似、全等、圆、投影、解直角三角形等。
此类题型的特点：
23．（10分）（2013•德州）
（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形,并证明：
BE=CD；（尺规作图，不写做法,保留作图痕迹）；
（2）如图2,已知△
ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？
简单说明理由；
（3）运用
（1）、
（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题:
如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°,∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．
分析:
（1）分别以A、B为圆心,AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，BD,同理连接AE，CE，如图所示,由三角形ABD与三角形ACE都是等边三角形，
得到三对边相等，两个角相等，都为60度，利用等式的性质得到夹角相等,利用SAS得到三角形ABD与三角形ACE全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证;
（2）BE=CD，理由与
（1）同理；
（3）根据
（1）、
（2）的经验，过A作等腰直角三角形ABD，连接CD,由AB=AD=100,利用勾股定理求出BD的长,由题意得到三角形DBC为直角三角形，利用勾股定理求出CD的长,即为BE的长．
解答:
解：
（1）完成图形，如图所示：
证明：
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB，
∵在△CAD和△EAB中,
，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE=CD；
（2）BE=CD,理由同
（1），
∵四边形ABFD和ACGE均为正方形,
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠CAD=∠EAB，
∵在△CAD和△EAB中,
，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE=CD；
（3）由
（1）、
（2）的解题经验可知，过A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°,
则AD=AB=100米，∠ABD=45°，
∴BD=100
米，
连接CD，则由
（2）可得BE=CD,
∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，BC=100米,BD=100
米，
根据勾股定理得:
CD=
=100
米，
则BE=CD=100
米．
点评:
此题考查了四边形综合题,涉及的知识有:
全等三角形的判定与性质，等边三角形，等腰直角三角形，以及正方形的性质,勾股定理,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
23．（10分）（2014山东德州）问题背景：
如图1：
在四边形ABCD中，AB＝AD,∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E、F分别是BC、CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF＝BE＋DF ；
探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中,AB＝AD,∠B＋∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝
∠BAD,上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用:
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离？
考点：
全等三角形的判定与性质．
分析：
问题背景：
根据全等三角形对应边相等解答；
探索延伸：
延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，根据同角的补角相等求出∠B＝∠ADG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等,根据全等三角形对应边相等可得AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，再求出∠EAF＝∠GAF，然后利用“边角边”证明△AEF和△GAF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF＝GF，然后求解即可;
实际应用：
连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后求出∠EAF＝
∠AOB，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可．
解答：
解：
问题背景：
EF＝BE＋DF；
探索延伸:
EF＝BE＋DF仍然成立．
证明如下:
如图,延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，
∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG,
在△ABE和△ADG中，
，∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝
∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF,
在△AEF和△GAF中,
，∴△AEF≌△GAF（SAS）,∴EF＝FG,
∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF；
实际应用：
如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，
∵∠AOB＝30°＋90°＋（90°－70°）＝140°,∠EOF＝70°，∴∠EAF＝
∠AOB，
又∵OA＝OB，∠OAC＋∠OBC＝（90°－30°）＋（70°＋50°）＝180°,∴符合探索延伸中的条件，
∴结论EF＝AE＋BF成立，即EF＝1.5×（60＋80）＝210海里．
答：
此时两舰艇之间的距离是210海里．
点评：
本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂问题背景的求解思路,作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键,也是本题的难点．
23．（10分）（2015•德州）
（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：
AD•BC=AP•BP．
（2）探究
如图2，在四边形ABCD中,点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？
说明理由．
（3）应用
请利用
（1）
（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5,点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．
考点:
相似形综合题；切线的性质．
分析：
（1）如图1，由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC,即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题;
（2）如图2，由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=3,根据勾股定理可得DE=4,由题可得DC=DE=4,则有BC=5﹣4=1．易证∠DPC=∠A=∠B．根据AD•BC=AP•BP，就可求出t的值．
解答：
解：
（1）如图1，
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∠BPC+∠APD=90°，
∴∠ADP=∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴
=
，
∴AD•BC=AP•BP；
（2）结论AD•BC=AP•BP仍然成立．
理由：
如图2，
∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP，
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP．
∵∠DPC=∠A=∠B=θ，
∴∠BPC=∠ADP,
∴△ADP∽△BPC，
∴
=
，
∴AD•BC=AP•BP；
（3）如图3，
过点D作DE⊥AB于点E．
∵AD=BD=5，AB=6，
∴AE=BE=3．
由勾股定理可得DE=4．
∵以点D为圆心，DC为半径的圆与AB相切，
∴DC=DE=4，
∴BC=5﹣4=1．
又∵AD=BD，
∴∠A=∠B,
∴∠DPC=∠A=∠B．
由
（1）、
（2）的经验可知AD•BC=AP•BP,
∴5×1=t（6﹣t），
解得:
t1=1，t2=5,
∴t的值为1秒或5秒．
点评：
本题是对K型相似模型的探究和应用，考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等角的余角相等、三角形外角的性质、解一元二次方程等知识，以及运用已有经验解决问题的能力，渗透了特殊到一般的思想．
规律
解决问题策略
作好知识的迁移
综合运用所学知识
题型二：
利用函数进行方案设计
解题思路：
先由题目提供的背景材料或图表信息确定函数表达式，再利用函数的性质获得解决问题的具体方法。
解决此类问题的难点是如何正确确定函数表达式,关键是如何通过不等式确定函数自变量的取值范围。
22．（本题满分10分）（2012•德州）
现从A，B向甲、乙两地运送蔬菜，A，B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A到甲地运费50元/吨,到乙地30元/吨；从B地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨．
（1）设A地到甲地运送蔬菜
吨,请完成下表:
运往甲地（单位：
吨）
运往乙地（单位：
吨）
A
x
B
（2）设总运费为W元，请写出W与
的函数关系式．
（3）怎样调运蔬菜才能使运费最少？
考点：
一次函数的应用。
分析：
（1）根据题意A，B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，可得解．
（2）根据从A到甲地运费50元/吨,到乙地30元/吨；从B地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨可列出总费用,从而可得出答案．
（3）首先求出x的取值范围，再利用w与x之间的函数关系式,求出函数最值即可．
解答：
解：
（1）如图所示：
运往甲地（单位：
吨）
运往乙地（单位：
吨）
A
x
14﹣x
B
15﹣x
x﹣1
W=50x+30（14﹣x）+60（15﹣x）+45（x﹣1），
整理得,W=5x+1275．
（3）∵A，B到两地运送的蔬菜为非负数，
∴
，
解不等式组，得：
1≤x≤14，
在W=5x+1275中,W随x增大而增大，
∴当x最小为1时，W有最小值1280元．
点评:
本题考查了利用一次函数的有关知识解答实际应用题，一次函数是常用的解答实际问题的数学模型，是中考的常见题型，同学们应重点掌握．
20．（8分）（2014山东德州）目前节能灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农村地区推广，为响应号召，某商场计划购进甲,乙两种节能灯共1200只,这两种节能灯的进价、售价如下表：
进价（元/只）
售价（元/只）
甲型
25
30
乙型
45
60
（1）如何进货，进货款恰好为46000元？
（2）如何进货,商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30％，此时利润为多少元？
考点:
一次函数的应用；一元一次方程的应用
分析:
（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1200－x）只,根据两种节能灯的总价为46000元建立方程求出其解即可；
（2）设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯（1200－a）只，商场的获利为y元，由销售问题的数量关系建立y与a的解析式就可以求出结论．
解答:
解：
（1）设商场购进甲型节能灯x只,则购进乙型节能灯（1200－x）只，由题意，得
25x＋45（1200－x）＝46000，解得：
x＝400．∴购进乙型节能灯1200－400＝800只．
答：
购进甲型节能灯400只,购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元；
（2）设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯（1200－a）只，商场的获利为y元，由题意，得y＝（30－25）a＋（60－45）（1200－a），y＝－10a＋18000．
∵商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30％，
∴－10a＋18000≤［25a＋45（1200－a）]×30%，∴a≥450．
∵y＝－10a＋18000，∴k＝－10＜0，∴y随a的增大而减小，∴a＝450时，y最大＝13500元．
∴商场购进甲型节能灯450只，购进乙型节能灯750只时的最大利润为13500元．
点评：
本题考查了单价×数量＝总价的运用,列了一元一次方程解实际问题的运用,一次函数的解析式的运用，解答时求出求出一次函数的解析式是关键．
22．（10分）（2015•德州）某商店以40元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．
（1）根据图象求y与x的函数关系式;
（2）商店想在销售成本不超过3000元的情况下,使销售利润达到2400元，销售单价应定为多少？
考点：
一次函数的应用；一元二次方程的应用．
分析:
（1）根据图象可设y=kx+b，将（40，160），（120，0）代入，得到关于k、b的二元一次方程组,解方程组即可；
（2）根据每千克的利润×销售量=2400元列出方程，解方程求出销售单价，从而计算销售量，进而求出销售成本，与3000元比较即可得出结论．
解答：
解：
（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，
将（40，160），（120，0）代入，
得
，解得
所以y与x的函数关系式为y=﹣2x+240（40≤x≤120）;
（2）由题意得（x﹣40）（﹣2x+240）=2400，
整理得，x2﹣160x+6000=0，
解得x1=60,x2=100．
当x=60时，销售单价为60元，销售量为120千克，则成本价为40×120=4800（元），超过了3000元，不合题意,舍去;
当x=100时，销售单价为100元,销售量为40千克，则成本价为40×40=1600（元）,低于3000元，符合题意．
所以销售单价为100元．
答：
销售单价应定为100元．
点评：
本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，利用待定系数法求出y与x的函数关系式是解题的关键．
题型三:
利用方程（组）或不等式（组）进行方案设计
解题思路：
先找到题目中的等量关系或者不等关系，然后列方程（组）或不等式（组）进行计算，并根据计算结果设计方案，在解答此类问题时，要注意以下三点：
（1）在实际问题中,不等式（组）的正整数解往往起着至关重要的作用；
（2）在选择最优方案的问题中,判断的标准往往是通过计算、比较得到的；
（3）列不等式（组）要抓住关键词，比如至多、至少、不多于、超过等。
（2015•泸州）某小区为了绿化环境,计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵．两次共花费940元（两次购进的A、B两种花草价格均分别相同）．
（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
分析：
（1）设A种花草每棵的价格x元,B种花草每棵的价格y元，根据第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费940元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵，两次共花费675元；列出方程组，即可解答．
（2）设A种花草的数量为m株，则B种花草的数量为（31—m）株,根据B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍,得出m的范围,设总费用为W元,根据总费用=两种花草的费用之和建立函数关系式，由一次函数的性质就可以求出结论．
解：
（1）设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据题意得：
∴A种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元．
（2）设A种花草的数量为m株，则B种花草的数量为（31—m）株，
∵B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍,
∴31—m＜2m，
∵m是正整数，
∴m最小值=11,
设购买树苗总费用为W=20m+5（31—m）=15m+155，
∵k＞0，
∴W随x的减小而减小，
当m=11时，W最小值=15×11+155=320（元）．
答：
购进A种花草的数量为11株、B种20株，费用最省；最省费用是320元．
策略
我们要对各种题型精选例题，把精选的例题作为模板型题目,老师要精讲,让学生融会贯通、举一反三形成自己的素材库，形成自己解题经验，然后再强化训练.
谢谢大家，欢迎给予指导！
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