二元一次方程组教案.docx

二元一次方程组教案.docx

《二元一次方程组教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二元一次方程组教案.docx（47页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

二元一次方程组教案

第7章二元一次方程组

第1课时

课题：

7．1二元一次方程组和它的解

学习目标:

1．认识并理解二元一次方程及二元一次方程组的意义。

2．理解二元一次方程组的解的含义，会检验一对数值是否是某个二元一次方程

组的解。

3．在经历解决实际问题的过程中，初步体会多个未知量之间互相依赖和影响。

体会二元一次方程组是反映现实世界多个量之间相互关系的一种有效的数学模型，

注重渗透数学建模的思想。

教学重点、难点

重点：

了解二元一次方程组及二元一次方程组的解的基本概念。

难点：

理解二元一次方程组的解以及用二元一次方程或二元一次方程组来刻画

实际问题。

方法设计

本节课通过一个与学生关系密切的趣味性问题来引入二元一次方程组，意在让

学生经历一个实际背景，以激发他们的学习兴趣，引导学生通过自己的分析、探索并

认识二元一次方程组的意义，初步体会用二元一次方程或方程组来刻画实际问题中

的数量关系。

教学中，可由一元一次方程的概念，类比得出二元一次方程组的概念。

由实际问题的不同解法，归纳、总结出二元一次方程组的解，并学会检验一对数值是

否是某个方程组的解。

最后通过练习来巩固所学的知识。

教学过程

一、情境导入：

问题：

暑假里，《新闻晚报》组织了“我们的世界杯”足球邀请赛。

勇士队在第一轮比赛中共赛9场，得17分。

比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。

勇士队在这一轮中只负了2场，那么这个队胜了几场?

又平了几场呢?

（这个问题既可用算术方法来解，也可用列一元一次方程来解，可让学生通过自己的分析，运用已有的知识解决这个问题，一方面培养学生分析问题、解决问题的能力，同时，收到温故知新的效果；另一方面，让学生体会用一元一次方程来刻划实际问题中的数量关系，并渗透数学建模的思想。

）

解：

设这个队胜了x场，根据题意得：

3x+（7-x）=17x=57-x=2答（略）

思考；易知，在这个问题中有二个未知数，能不能分别设为x和y呢？

这时又得到怎样的方程？

（x+y=7和3x+y=17）

二、知识导学：

1、二元一次方程和二元一次方程组的概念。

提问：

由上面问题得到的两个方程：

x+y=7和3x+y=17，有什么共同的特点？

由学生思考、讨论并和一元一次方程的概念作比较，得出二元一次方程的概念：

方程中含有两个未知数，并且含有未知数项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程。

把这两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

如：

（二元一次方程的概念，可用类比的方法，由学生思考、讨论得出，通过类比，形成知识迁移，从而提高学生归纳总结能力。

二元一次方程组的概念由教师结合实例说明。

）

2、二元一次方程组的解。

由导入可知，不管用什么方法，都可求得勇士队胜5场，平2场。

即x=5,y=2。

这里的x=5与y=2既满足第一个方程x+y=7，又满足第二个方程3x+y=17，我们就说，x=5与y=2是二元一次方程组

的解，记作

一般地，使二元一次方程组中的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解。

三、实践与应用：

实践1：

根据下列语句，分别设适当的未知数，列出二元一次方程或二元一次方程组：

（1）甲数的

比乙数的4倍多8；

（2）摩托车的时速是货车的

，它们的时速之和是200千米/小时；

（3）某校现有校舍20000平方米，计划拆除部分旧校舍，改建新校舍，使校舍总面积增加30%，若建造新校舍的面积是被拆除旧校舍面积的4倍，那么应拆除多少旧校舍，建造多少新校舍？

（让学生初步体会用二元一次方程或二元一次方程组来表示实际问题中的数量关系，说明二元一次方程（组）是反映现实世界多个量之间相等关系的一种有效的数学模型。

）

实践2：

方程组

的解为（）

A．

B。

C。

D。

实践3：

如果

是方程组

的解，求a-b的值。

四、反馈训练：

1、下列各式中：

（1）3x-y=2;

（2）

;（3）y-z=5;（4）xy=-7;

（5）4x-3y;（6）

;（7）x+y-z=5;（8）5x+3=x-4y.

属于二元一次方程的个数有（）

A．1个B。

2个C。

3个D。

4个

2、已知方程3x+y=2,当x=2时，y=_____;当y=-1时，x=_____.

3、已知x=1,y=-3满足方程5x-ky=3,则k=_______.

4、写出满足方程2x-3y=17的三个不同解。

除了这三个解外，还有没有其它的解？

一般地，一个二元一次方程通常有多少个解？

5、已知有三对数值：

，哪一对是下列方程组的解？

①

②

6、已知

是方程组

的解，求

的值。

7、一批零件有1500个，如果甲先做4天后，乙加入合作，再做8天正好完成；如果乙先做5天后，甲加入合作，再做7天也恰好完成。

设甲、乙两人每天分别加工零件x、y个，请根据题意列出方程组。

五、课堂小结：

1、与一元一次方程类比，理解二元一次方程的概念。

2、结合具体问题理解二元一次方程组的解，检验一对数值是否是某个方程组的解，必须将其代入方程组后能使方程组中的每个方程的两边相等。

3、体会用二元一次方程或二元一次方程组来刻划实际问题中的数量关系。

六、课后作业：

1、课本P.26习题7.1第1、2题

2、《创新教育课时目标实验手册》P.29A组、B组（作思考题）

3、完成《同步训练与拓展》P.30相应练习题。

七、课后反思：

第2课时

课题：

7．2二元一次方程组的解法

（1）

学习目标:

1．会用代入消元法解含有未知数系数为1的二元一次方程组。

2．通过探求二元一次方程组的解法，经历把“二元”化“一元”的过程，从而初步体会消元的思想，以及把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的化归思想。

3．在数学学习活动中获得成功的体验，培养学习的自信心。

教学重点、难点

重点：

用代入消元法解含有未知数系数为1的二元一次方程组。

难点：

将一个方程适当变形，用一个未知数表示另一个未知数，进而代入另一个方程实现正确消元。

教学方法设计

从实际问题与例题出发，让学生通过探索，逐步发现和掌握二元一次方程组的解法，理解代入法的基本思路，即将一个方程适当变形，用一个未知数表示另一个未知数，进而代入另一个方程，实现消元。

教学中应让学生充分地自主探索，通过观察、比较、思考、归纳来发现二元一次方程组的解法，体会化“二元”为“一元”，化“复杂”为“简单”，化“未知”为“已知”的化归思想。

教学过程

一、问题探知：

问题：

某种时装的价格是某种皮装价格的1.5倍，买5件皮装比2件时装贵700元。

求每件时装和皮装的价格？

你能用列方程的方法来解吗？

能不能列方程组？

解：

设每件皮装的价格为x元，时装的价格为y元。

根据题意，得：

，思考：

怎样求这个方程组的解？

（让学生独立思考，通过观察、比较、归纳来尝试分析，再进行小组交流，初步得出解法，教师要注意激发学生积极参与数学学习活动，提高求知欲望。

同时也引导出本课内容：

用代入消元法解二元一次方程）

二、知识导学

1、代入消元法。

归纳总结：

将二元一次方程组其中一个方程中的未知数用另一个未知数的代数式来表示，然后将它代入另一个方程消去一个未知数，转化为一个一元一次方程，从而求出二元一次方程的解。

这样解二元一次方程组的方法叫做“代入消元法”。

试一试：

解二元一次方程组：

　　　　　①　②

解　由①得　　　y＝7－x.　　　　③

将③代入②，得3x＋7－x＝17，

即　　x＝5.

将x＝5代入③，得y＝2.

所以　　　

（方程组的两个方程中，没有一个是直接由一个未知数表示另一个未知数的形式，这里可通过学生独立思考，小组合作讨论得出解法，即选择其中一个方程，将这个方程中的一个未知数用另一个未知数来表示感谢，从而转化为导入二元一次方程组的形式。

）

2、再试一试：

以上将方程①中的y用x的代数式来表示，能将x用y的代数式来表示后代入②来解吗？

能将方程②通过变形后代入①来解吗？

（通过再试一试，使学生发现解二元一次方程组可抓住其中未知数系数为1的二元一次方程，将其中的一个未知数用另外一个未知数的代数式来表示感谢，再代入另外一个方程消元转化为一元一次方程来解。

再一次突出了化“未知”为“已知”的化归思想。

）

3、请你概括一下上面解法的思路，并想想，怎样解方程组：

三、实践与应用：

解下列二元一次方程组：

1.

　　　　　　　2.

3.

　　　　　　4.

四、课堂小结：

1、解二元一次方程组的基本思想，是将二元一次方程组的其中一个方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式来表示，通过“代入”另一个方程消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解，即化“二元”为“一元”的消元方法来解。

2、用代入法解二元一次方程组的基本思路：

先抓住其中未知数系数为1的那个二元一次方程，将它用另一个未知数的代数式来表示，再代入另一个方程消元转化为一元一次方程来解。

3、在解决有关数学问题时，我们常常采用化“未知”为“已知”的转化的思想方法。

五、达标检测：

1、用含有x的代数式表示y:

（1）2x+y=1

（2）y-3x+1=0

2、解方程组：

（1）

（2）

（3）

六、课后作业：

完成《创新教育课时目标实验手册》相应的练习题。

七、课后反思：

第3课时

课题：

7．2二元一次方程组的解法

（2）

学习目标：

1．会运用代入法解未知数系数都不是1的二元一次方程组。

2．经历自主探索和合作交流的过程，形成积极的学习态度和情感。

3．进一步体会解二元一次方程组的思想是消元，进一步渗透把“未知”转化为

“已知”，把复杂问题转化为简单问题的化归思想。

教学重点、难点

重点：

学会选择较为合理、简单的表示方法将方程组中一个方程适当变形，用一

个未知数来表示另一个未知数，进而代入另一个方程实现消元，从而求出方程组的解。

难点：

使所选择的未知数的系数尽可能使变形后的方程比较简单，且代人后化简

较容易，能灵活运用此方法。

方法设计

在学生初步接触代人法解二元一次方程组的基础上，采用自主探索和小组讨论

的方式，让学生自己探索得到一般形式的二元一次方程组的解法。

然后通过例题教

学和习题训练加深学生对代人消元法的理解，使学生能更熟练地恰当选择方程进行

适当变形，实现消元，从而求出方程组的解。

教学中应注重让学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，避免单纯地模仿和记忆，领悟解法中所体现的消元、化归等数学思想方法。

教学过程

一、问题导入

1，解下列方程组：

（1）

（2）

（上述题目由学生独立完成，让学生回忆代入法解题的基本思路，为下面代入法的深入学习作好准备。

）

2．解方程组：

　①②

分析与思考：

（1）这两个方程中未知数的系数都不是1，怎么办?

（2）怎样解这个方程组?

（给学生充分的思考时间，鼓励学生自主探索和合作交流，让学生自主发现，尝试求解，体会化“未知”为“已知”的数学化归思想。

激发学生学习的积极性和主动

性，培养学生与他人合作交流的能力，增强学生的竞争意识。

）

二、合作探究：

问题1：

解方程组：

　①②

分析　能不能将其中一个方程适当变形，用一个未知数来表示另一个未知数

呢？

解　由①，得

　　③

将③代入②，得

解得　　y＝-0.8.

将y＝-0.8代入③，得

x＝1.2.

所以　　

试一试：

能否通过先消去y，得到关于x的一元一次方程来解呢?

（在得出解法后，请学生尝试消去另一个元来求解，让他们亲身体会消元的选择

解方程过程繁易的影响，形成应恰当选择方程，适当变形，实现消元的意识。

）

问题2：

说明下列方程组可消哪个元，为什么?

怎么消?

（1）

（2）

（3）

（本题可请学生口头回答，并请其他同学评判解法是否合理、简洁，这样可培养

生认真观察、细心体会、不断总结的好习惯。

）

问题3．已知关于x、y的二元一次方程组

的解为

求a、b的值。

分析：

根据二元一次方程组的解的概念，

代人原方程组，能使两个等式均

成立，这样就得到了关于a、b的二元一次方程组。

解：

由题意知

①②

由①得3b＝8—5a③

把③代人②得5a—（8—5a）＝2，10a＝2十8，a＝1

把a＝1代入③得3b＝8—5，b=1

即

提问：

你有没有注意到本题的解法与前面解法的不同点?

你能不能用类似的方法先消去b然后再求a呢?

试一试。

（本题可在由学生独立思考的基础上，通过相互交流讨论得出解题方法。

关键

是弄清方程组解的意义。

）

三、实践与应用

1．把下列各方程变形为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式：

（1）4x－y＝-1；　　　　

（2）5x－10y＋15＝0.

2．解下列方程组:

（1）

（2）

（3）

　　　　　（4）

四、课堂小结

1．代人法解题的一般步骤。

2，代人法解二元一次方程组的关键是选择哪一个方程变形，消什么元。

谈谈自

己的体会。

（让学生进行小结，师生进行补充。

）

五、达标检测：

解下列方程组。

（1）

（2）

（3）

（4）

六、课后作业：

1、解方程组：

（1）

（2）

2、完成《同步训练与拓展》中相关练习题。

七、课后反思：

第4课时

课题：

7.2二元一次方程组的解法（3）

学习目标

1．会用加减法求未知数系数相等或互为相反数的二元一次方程组的解。

2．通过探求二元一次方程组的解法，经历用加减法把“二元”化为“一元”的过

程，体会消元的思想，以及把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的化归思想。

3．初步学会从数学的角度提出问题、理解问题、解决问题，发展应用意识。

教学重点、难点

重点：

用加减法解二元一次方程组。

难点：

两上方程组相减消元时对被减的方程各项符号要做变号处理是难点。

方法设计

本节课的引入设置了一个具体的问题情境，通过问题的解决，使学生从中体会到

代入法的不足，并发现、探索得出加减消元法这一新的消元方式。

然后通过例题的分

析和习题的训练，使学生更好地掌握加减法。

通过本节课的教学，学生不仅能够理解

和掌握基本的数学知识与技能，对其中所体现的消元、化归等基本思想也应该有更深

的领悟。

教学过程

一、问题探知：

两个完全相同的塑料杯中盛有相同重量的水，现将第一个杯中的若干重量的水倒入第二个杯中，称得第一个杯子重30克，第二个杯子重70克（塑料杯本身的重量忽略不计），问原来杯中各盛有多少克水?

从第一个杯中倒了多少克水到第二个杯中?

如果将原来杯中盛有的水设为x克，从第一个杯中倒入第二个杯中的水设为y

克，你能解决上述给出的问题吗?

（学生可能会列方程组

，然后用代入法解题。

）

你有更简捷的思考方法吗?

2x＝30十70或2y＝70—30．

（不管有多少克水进行转移，也不管原来杯中有多少克水，两杯水的总重量总为

2x克，第二个杯子总会比第一个杯子重2y克。

）

上面的等式，能由最初方程组中的两个方程变形而来吗?

①十②得x—y十x十y＝30十70，则有2x＝30十70

②—①得（x+y）—（x—y）＝70—30，则有2y＝70—30

由此，你能得上述方程组的新解法了吗?

（让学生思考、总结。

）

（加减消元法的引出放置到具体的问题情境中，通过问题的解决，不但使学生掌

握了用加减消元法解二元一次方程组，更赋予加减消元以实际意义，便于学生理解加

减消元法。

）

二、知识导学：

问题1：

请用新的解法解方程组

①②

解法一：

①+②得（5a十3b）+（5a—3b）＝8十2

10a＝10∴a=1

将a＝1代入①得5×1十3b＝8∴b＝1

∴

解法二：

①—②得，（5a+3b）—（5a—3b）＝8—2

6b＝6∴b＝1

将b＝1代人①得5a十3×1=8∴a=1

∴

问题2：

解方程组：

①②

分析：

仔细观察这个方程组，可以发现：

未知数x的系数相同，都是3，有何想法?

解：

由①—②得（3x+5y）—（3x—4y）＝5—23

9y＝一18∴y＝一2

把y＝—2代人①得3x十5（一2）＝5∴x=5

问题3：

解方程组：

①②

分析：

用什么方法可以消去一个未知数?

先消去哪一个未知数比较方便?

解：

由①+②得（3x+7y）+（4x—7y）＝9+5

7x=14∴x＝2

将x＝2代入①得，6+7y=9，∴y＝

∴

（先请同学自行解答，再请算得最快最准确的同学回答解题过程并说明理由，教

师板书，通过上述两题，使学生熟练掌握加减法，并能初步体会当方程组中某个未知

数的系数相同时，应用减法消元；当方程组中某个未知数的系数互为相反数时，应用

加法消元。

）

在前两堂课中，我们是通过“代人”消去一个未知数，将方程组化为一元一次方

程来解的。

这种解法叫做代入消元法，简称代入法。

而本节课中，我们通过将两个方

程相加（或相减）消一个未知数，将方程组化为一元一次方程来解的。

这种解法叫做

加减消元法，简称加减法。

（在此归纳、明确解二元一次方程组的两种常用方法——代入法和加减法，一方

面避免先入为主地提出方法，把教学变成按类型套方法的训练，另一方面有利于学生

将知识点理清、理顺、形成体系。

）

三、实践与应用：

解下列方程组:

（1）

（2）

（3）

（4）

四、课堂小结

1．解二元一次方程组常采用两种方法——代人法和加减法。

两种解法的基本

思想都是“消元”，将“二元”转化为“一元”。

2．加减法消元的基本思想是通过“加减”，达到化“二元”为“一元”，即消元的目的。

3．当方程组中某个未知数的系数相同时，应用减法消元。

但应注意减式中的各

项须变号；当方程组中某个未知数的系数互为相反数时，应用加法消元。

（让学生进行小结，教师进行补充。

）

五、达标检测：

用加减法解下列方程组。

（1）

（2）

（3）

（4）

六、课后作业：

1．用加减法解下列方程组：

（1）

（2）

2．完成《创新教育目标实验手册》中本课的练习题。

七、课后反思：

第5课时

课题：

7.2二元一次方程组的解法（4）

学习目标：

1．学会使用方程变形，再用加减消元法解二元一次方程组。

2．经历观察、探索，通过创设条件把陌生问题转化为熟悉问题来解决的过程，感

受数学思考过程的合理性。

3．了解解决问题的一个基本思想：

化归，即将“未知”化为“已知”，将“复杂”转为“简单”。

教学重点、难点：

重点：

用加减消元法解二元一次方程组。

难点：

使方程变形为较恰当的形式，然后加减消元。

方法设计：

本节课的主要任务是使学生学会将一般的二元一次方程组中的两个方程作适当

变形，使之满足“某个字母的系数相等或互为相反数”这个特征，然后再进行“加减消元”。

这一变形过程学生只要稍加练习，很快就能掌握。

然而新课程的理念是让学

生经历获得某一方法或技能的过程，并充分参与这个过程，体验提出问题、分析问题、

解决问题的乐趣。

因此，本节应重视把这个过程还给学生，创设较好的导入情境，找

到方法后再练习巩固。

教学过程：

一、问题探知：

用加减消元法解下列方程组

（1）

（2）

（以上习题学生自行练习，复习用加减法解简单的二元一次方程组，并熟悉这类

方程组的特征，感受加减消元的简便，为新课的学习做好准备。

）

我们可以用代入法来解一般的二元一次方程组，那么是否也可用加减法来解一

般的二元一次方程组呢?

试一试：

用加减法解方程组

①②

（上题板书于黑板上，让学生思考1—2分钟。

）

没法直接消元怎么办?

听一听。

（听故事找灵感。

）

（教师朗读故事：

《乌鸦找水喝》。

）

内容：

一只乌鸦口渴了，到处找水喝。

飞呀飞，飞呀飞，它终于发现了一个有水的瓶子。

于是迫不及待地把嘴伸进去，结果费尽九牛二虎之力也够不着。

哎呀!

没法

直接喝到水可怎么办?

（慢读，重读）于是它不得不动起了脑筋：

喝不到水是因为水

位太低了，那么只要把水位升高，不就成了吗?

它衔来小石子放到瓶子里，结果水位

渐渐升高，乌鸦喝到水啦!

哇哇!

比一比。

（是谁最聪明。

）

同学们，听完了故事，请你们也学学聪明的乌鸦，一起再来解决这个问题，看谁是第一个喝到水的人?

（不要急于公布答案，等大多数学生思考出方法后，再从第一个举手的学生开始发言，直至得出正确方法。

）

学生发言后教师和学生一起总结：

对于一般的二元一次方程组，可将方程变形

（即在方程两边同时乘以某一个数），使得方程满足“某个字母的系数相等或互为相

反数”这个条件，然后就可以消元了。

（“试一试”——“听一听”——“比一比”在这里实际上是一个提出问题——分析问题——解决问题的过程，但是它在更大程度上调动了学生的积极性。

通过“试

一试”激趣，引发学生兴趣；“听一听”则是利用学生喜闻乐见的故事的形式引导学

生，启发学生思考。

乌鸦喝水问题与待解决问题有可比性，学生在不知不觉中就接受

了化归这一重要思想，获得灵感。

最后“比一比”更是迎合了青少年争强好胜的心

理，学习的积极性更进一步提高，思维活跃开来，问题迎刃而解。

）

二、知识导学：

1、问题提出：

用加减法解方程组：

①②

（此题即导入中的引题，直接以此为例，板演解题过程。

应让学生各抒已见，尝试采用不同的变形方式，以达到加减消元的目的。

）

解法一：

①×5得15x—20y＝50③

②×3得15x十18y＝126④

④—③得38y＝76y＝2

把y＝2代人①得3x一（4×2）＝10x＝6

所以

解法二：

①×3得9x—12y＝30③

②×2得10x十12y＝84④

③十④得19x＝114，x＝6

把x＝6代入②得30十6y＝42y=2

所以

（板书完毕，及时让学生思考解法二中采取①

6，②×4是否可行，与上面的解

法有何不同，并且动手试一试、解一解。

）

（这一环节的设置，一方面让学生熟悉解题格式，另一方面让学生在自已动手操

作及比较中体会对同一个方程组中的方程选取不同变形方式的差异性，从而形成初

步解题经验：

方程变形后，字母系数越简单越好。

）

2．实践与应用：

用加减消元法解下列方程组。

（1）

（2）

（3）

（4）

（四大组分别派一名代表在黑板上各做一题，看谁做得又快又好；其余同学四题全做，小组间再进行比赛，看哪个小组最先全部完成。

最后优胜者（或组）谈谈成功经验。

）

（要能熟练地解方程组，不可忽视练习这一环节。

这里的练习对学生来讲好比初学走路的孩子正式上路前的摸索与尝试，过多的示范无益。

另外，这种引进了竞争机制的练习使单一的解题较为有趣，而且它是学生积累认识，总结经验的关键时刻。

）

三、课堂小结

用加减消元法解方程组，首先观察方程组中两方程中相同字母前的系数，判断：

①如果相同或相反，直接加减消元。

②如果有整数倍关系，变形一个方程，让它两边同乘以这个整数倍。

③如果①、②均不满足，两个方程同时变形，注意：

①所选系数尽可能简单；②两方程两边同时扩大到两系数的最小公倍数。

（课堂小结主要由学生完成，教师作适

当概括、补充。

）

（学生总结体现了新课程以学生为主体的教学方式，它能够