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研读教材
研读教材、生成精彩
——“真分数和假分数”教学片断
有了昨天的经验教训，今天上课前，我认真地钻研了教材和教学用书。
例2教学片段：
师：
例2里一共有几个圆？
生：
3个。
师：
看一看题目，把什么看做单位“1”？
学生：
把圆看做单位1.
师：
缺乏数学的严谨，仔细读题，把几个圆看做单位“1”？
生重读题目：
把一个圆看做单位“1”。
（师板书：
把1个圆看做单位“1”。
）
师：
对，这3个圆其实是3幅独立的图。
在这3幅图里，都是把一个圆平均分成几份？
生：
4份。
师：
1/4表示这样的几份？
生：
1份。
师：
3/4里有几个1/4？
生：
3个。
师：
4/4呢？
生：
4个！
师：
好，请同学们在书上涂色表示这3个分数。
（请一名学生板演）
（由于教师带领学生认真地研读了教材，构建了认识的台阶，所以，学生非常轻松地说出了4/4有4个1/4。
）
师：
一个圆里最多能表示几个1/4？
生：
4个！
师：
那我要是想表示5个1/4，怎么办呢？
生思考，讨论，然后一生举手回答：
“用两个圆。
”
师：
“一个圆够不够呀？
”
生：
“不够，因为一个圆最多只能表示4个1/4。
”
师：
嗯，想办法把书上例2下面的5个1/4涂色。
（继续请学生板演。
）
（教师巡视，发现学生全部涂色正确，但分数书写有不同，大部分学生写的分数是5/4，少部分学生写成了4/5。
）
师：
老师发现，大家涂色都是正确的，但是写分数的时候有两种不同的主张：
5/4和4/5，（师板书两个分数。
）到底是哪一个呢？
大多数学生：
5/4！
师：
为什么？
你们能用理由说服他们吗？
生1：
因为是把一个圆平均分成4份的，所以分母就是4，而表示这样的5份，分子应该是5。
师小结：
对！
这道题是把一个圆看做单位“1”，分母是几，应该看把单位“1”平均分成的份数，分子表示有这样的几份，所以应该是5/4。
（通过学生的辩论，加深了学生的理解，去除了真分数先入为主的个体经验，让他们认识到分数的分子不仅可能比分母小，也可能和分母相等或比分母大。
）
例3教学片段：
师：
请同学们自学例3，自己涂色。
（请学生板演）
（教师巡回指导，发现只有1个学生有错误，指导之后，学生立刻就明白了。
）
师：
按照你自己的意愿，想办法把例1和例2里的7个分数分成2类。
（书上的要求是：
比较例2和例3中每个分数分子和分母的大小，可以把这些分数分成几类？
先分一分，再在小组里交流。
我觉得按照这样的分类方法，并不能让学生理解真分数和假分数分类的本质，所以进行了改变。
）
生2：
分成两类，1/4、3/4、4/4、2/5是一类，叫真分数；5/4、10/5、13/5是另一类，叫假分数。
（一听就是预习过了，但是又没有理解透彻。
教师板书按学生回答进行板书，推迟评价。
）
生3：
我这样分：
1/4、3/4、5/4、4/4是一类，它们都是把单位“1”平均分成4份，2/5、10/5、13/5都是把单位“1”平均分成5份。
师：
嗯，这样的分类和大家不一样呢，有自己的想法。
（没有想到学生会这样分，呵呵。
）
生4：
我把它们分成真分数和假分数两类，分子比分母小的1/4、3/4、2/5是一类，分子比分母大的分数5/4、10/5、13/5分一类，就是不知道那个4/4该怎么办。
师：
让我们一起来看黑板上的图，1/4、3/4、5/4这三幅图，都是用了几个圆？
生：
一个。
师：
对，这几个分数表示的份数有没有把一个圆涂满？
生：
没有。
师：
也就是这些分数都没有1大。
我们把这样比1小的分数叫做真分数。
那4/4是不是真分数呢？
生疑惑地摇摇头：
不是。
师：
大家看到，4/4的这幅图把一个圆全部涂色了，没有空白的地方，说明它肯定不比1小，所以就不是真分数。
大家再来观察表示5/4、10/5、13/5这三个分数的图，你有什么发现？
生5：
我发现它们都不止用一个圆来表示的。
师：
对，这些分数的大小都比1来得大，我们把这些数称为假分数。
那4/4呢？
它涂满了一个圆，正好等于1，人们规定把这样的分数也归为假分数，所以，大于1或者等于1的分数都称为假分数。
请同学们观察一下：
真分数的分子和分母相比，有什么特点？
生观察回答：
真分数的分子都比分母小。
师：
对，分子比分母小的分数就叫真分数。
那假分数的分子和分母相比又有什么特点呢？
生6：
假分数的分子有时比分母大，有时和分母相等。
师：
那什么叫假分数呢？
生7：
分子比分母大的分数和分子和和分母相等的分数，叫做假分数。
师：
嗯，概括得非常好，与书本上的概念相差无几了。
同学们已经理解了真分数和假分数的意思了，你们能举出几个真分数的例子吗？
生：
能。
生8：
1/2。
生9：
3/5。
生10：
99/100。
师：
能举得完吗？
生：
不能。
（师板书：
……）
师：
再举几个假分数的例子。
生11：
10/9。
生12：
20/5。
生13：
10000/1000。
师：
有多少个？
生：
无数个。
（师对应板书：
……）
（真分数和假分数的概念教学没有遵从书上的方法比较分数的分子和分母的大小，进行分类，而是从本质来进行分类，不知是否合适。
举例时注重说明真分数和假分数的个数，为下面的判断做了很好的铺垫。
）
补充判断内容的高潮：
师：
请大家观察思考一下：
假分数一定比真分数大，对吗？
（板书：
假分数一定比真分数大。
）
生第一反应：
不对，不一定全部。
师：
举例说说看。
教室一阵沉默。
生14：
1/2和1/1。
师：
举个例子，把一块月饼平均分成两份，1/2就是半块月饼。
而1/1就是这块月饼就是1份，取了一整个月饼。
（教师边说边画）是不是说明1/2比1/1小呢？
生沉默，继续思考。
偶尔有声音：
1/2和……，一边说就一边否定了自己。
最后一致得到答案：
假分数都比真分数大。
师：
我知道大家还有疑惑，谁能说说为什么所有的假分数都比真分数大呢？
生15：
因为假分数至少分子和分母相等，也就是至少等于1，还有的假分数都比1大。
而所有的真分数都比1小，所以假分数就都大于真分数了。
师：
“至少”这个词用得真好，确实，所有的真分数都比1小，而假分数至少等于1，所以所有的假分数都大于真分数。
师：
如果用直线上的点来表示真分数和假分数，让我们来思考一下，真分数和假分数分别在直线的什么位置？
（教师出示标注着0和1的数轴）
学生纷纷思考：
真分数在1的右边、真分数在1的前边、真分数在1的左边、真分数在0和1之间……
教师总结提升：
真分数和0相比，谁大？
生：
真分数大，它不是什么也没有。
师：
真分数和1相比，有1大吗？
生：
没有。
师：
那表示真分数的点应该在直线的哪里？
生明白：
应该在0和1之间。
（学生对这个部分理解不透彻，教师以扶为主，扶放结合。
）
师：
那根据假分数的大小，假分数应该在什么位置呢？
生：
在1的右边。
师：
假分数有没有等于1的？
生：
有。
师：
所以表示假分数的点应该从哪里开始？
生：
从1开始。
师：
对，1右边所有的点和1这个点都可以表示假分数。
蓝天同学看了图以后：
那假分数的个数一定比真分数多！
师：
咦！
我们再来判断一下这句话：
假分数一定比真分数多，对吗？
（板书：
假分数一定比真分数多。
）
学生又纷纷思考，吴钰男马上有了答案：
因为真分数有无数个，假分数也有无数个，所以没有谁多谁少，而是不能比较！
其他同学纷纷附和：
对，应该是不能比较，所以这句话是错的。
师补充：
对，这就像咱们以前学的射线和直线，它们的长度都是无限长的，虽然射线是向一端无限延长，而直线可以向两端无限延长，但是它们的长度是不能说谁长谁短的一样。
生纷纷点头。
师：
看来，数学课上，我们不仅需要热烈的讨论，还需要安静的深入思考，只有这样，才能把数学学得更透彻！
（学生的思考带来了课堂的精彩生成。
两个判断相得益彰，深化了学生对真分数和假分数的理解。
）
潺潺小语：
看来，认真地钻研教材才是备课的根本，“拿来主义”并不合适，外来的东西只有在钻研教材的基础之上，才能为课堂增光添彩。
还真要感谢某位不知名的老师的批评呢，所以才有如此认真的记录。
所以，批评的声音虽然不悦耳，却永远利于行。
1
潺潺|回复于2009-03-1420:
39:
13|引用
呵呵，大概协同老师不做菜吧？
试试不放调味品的菜，或者只放稍许盐的汤，洋溢的是食物原本的香味哦！
潺潺有研究美食呢，哈哈！
协同教育|回复于2009-03-1408:
04:
11|引用
除了水果，有不放调味品的菜吗？
协同教育|回复于2009-03-1323:
04:
21|引用
1、情境创设不应等同于生活情境创设，而应是符合数学学情的更富有数学味的情境创设。
符合数学学情的更富有数学味的情境与生活的情境，本来就是不同的意思。
教师用图示直接讲解“分子大于或等于分母的分数是假分数。
它包含两种情况：
一类是分子能被分母整除的，其可化为整数；一类是分子不能被分母整除的，则可用带分数表示。
也就是说，带分数是一种特殊分数。
”学生学习可能不困难。
这是符合数学学情的更富有数学味的情境吗？
我想强调的是一种教学思想：
尽可能让学生知道知识（基本概念）产生的本源。
分月饼可以是分数这一概念产生的一个原始情境。
这是符合数学学情的更富有数学味的生活情境吗？
为了取走不到一个完整的月饼，把一个月饼分成若干份，是真分，产生的分数是真的。
如果是为了拿走一个以上的月饼，至少有一个月饼是不需要分的，只有最后一个零头需要分，因此，用分数来表示一个以上的那些不需要真分（假分）的月饼的分数，就是假分数。
所谓带分数，完整的月饼整数带零头月饼分数，就是带分数。
以上的“生活”情境中的数学现象抽象出的概念，用数学语言表达，我想，这就是数学味，品尝出原始情境中的数学味是最美味的！
去情境化的数学味可能很浓，但不鲜美。
如果美味不是厨师调出来的，是自己配制出来的，那更美，美味无穷！
预习，老师提供镶嵌数学的生活情境，就有这种可能。
2、不要把预习看得重于一切。
不是所有的教学内容都需要预习，有时有必要对教学内容保留神秘感，简单的教学内容也不需要预习，我只在较难的教学内容才要求学生集体预习，否则自便。
这样可以提高学生对知识的兴趣。
冯桂群：
有时候则不需要预习，不预习使学生对所学内容有一种新鲜感，有一种探究的欲望和热情，有助于培养学生思维的敏捷性，提高学习的效率。
——教三角形边的特性时，学生们预习后上课时表现得很得意、很浮躁，认为自己已经学懂得了。
于是我通过“写算式”、“变说法”、“试猜想”让学生的学习走向丰满与深刻，教学效果较好（见我3月4日的博客）。
协同教育：
预习会失去新鲜感的观点协同教育不认同，那是预习指导或课堂组织的问题，是老师的问题而不是预习的问题，协同教育认为这是如何指导预习的问题。
如果按协同教育的“三性”要求出预习题，1、用两种以上的方法证明“三角形两条边长度的和大于第三边”，2、“三角形两条边长度的和大于第三边”这个定理有什么意义。
预习题教师要精心设计，开放性、多元性、可讨论性是设计原则。
预习题，华师大教授称之为“自学指导书”，具有“教案”（协同教育称为“课案”）的功能。
课堂教学的过程，以学生的学习活动为主导，就是以学生的预习产生的问题为主导。
语文教材有个二八定律，80%学生自己能读懂，20%有难度，教师要把握准20%。
数学与语文不完全相同，但有一些教材学生是可以看懂的，让学生预习是看教材是可以的。
但预习不仅仅是看教材。
预习要让学生根据教材的提示，自己去寻找生活中的那一类真实情景（问题），学生的寻找是自主的学习活动，是个性化的任务。
冯桂群：
对于小学低中年级而言，学生的学习能力和自控能力较差，如果没有家长的有力配合，预习习惯的培养会较难，还容易形成两极分化的现象。
我想，五、六年级的情况会好一些的。
协同教育：
低年级的学生，更容易调动学习积极性，对弱生的预习指导只会缩小两极分化。
绿水逶迤老师已有实践证明。
冯桂群：
笨鸟先飞，勤能补拙！
对接受能力较弱的后进生来说，能坚持天天预习，肯定会有长足的进步！
“预习即预先思考”。
协同教育所说的针对教学重难点出预习题的想法很好。
正如协同教育所言，如果再次教学这一内容，我除了让学生事先准备小棒并试摆三角形外，还会出这样2个预习题：
1、用不同方法验证“三角形两边的和大于第三边”；2、什么样的三条线段就不能围成一个三角形？
——谢谢协同教育给予了我细致而睿智的点拔！
3、教材解读才是最根本的，只有教师把教材研透读深，然后再研究学生的学情，才能真正让孩子学得透彻和明白。
如果教师自己都没有搞懂，或者对教材的难点没有较好的突破设计，只关心学生哪些地方懂了，哪些地方没有懂，那么教学效果一定不能得到提高。
这一点，我是有教训的，请参看前几天的南博日志“深度备课，我有多远的距离”。
如果学生预习了，带来了自己的许多不一定准确（不是正确）的见解，这堂课如何上？
逼老师学为主导了。
也逼老师要提供业务水平，不仅仅是钻研教材。
4、有关平移与旋转的教学，去年我们通州曾经搞过一个赛课，就是这个课题，同课异构，当时我们学校余晓炎老师用了一个警察抓小偷的情境导入，在方格纸上，警察如何移动才能够抓到小偷？
收到较好的教学效果。
具体环节记不清了，需要查听课笔记。
警察抓小偷的情境，是符合数学学情的更富有数学味的情境吗？
潺潺|回复于2009-03-1321:
06:
33|引用
协同教育、栖路：
1、对不起，清晨的回复有些急促，表达有个错误“分成的总份数才是分母。
——是吗？
5/4，两个月饼总份数是8。
”应该是单位“1”平均分的份数才是分母。
2、现在的教材里已经取消了“带分数”的概念，从概念上来说，带分数是特殊的假分数，也就是分子比分母大，而分子不是分母的倍数时，这样的分数是带分数。
为了避免学生产生概念上的混淆，也为了更加简约概念教学，我认为教材的此项处理是非常合适的。
另外带分数的计算也十分地繁杂，取消带分数的教学后，学生的计算负担减轻了许多。
学生只要知道当假分数的分子是分母的倍数时，假分数可以化成整数，当假分数的分子不是分母的倍数时，假分数不能化成整数就可以了。
3、“品尝出原始情境中的数学味是最美味的！
去情境化的数学味可能很浓，但不鲜美。
”原始情境中的数学味是美的，但不能绝对化，如果所有的数学知识都从生活情境获得，显然学生的获得是有限和肤浅的。
数学，有其自身的抽象性特点。
对于小学生，适当的情境创设是必须的，但也不完全等同于生活情境。
4、“如果美味不是厨师调出来的，是自己配制出来的，那更美，美味无穷！
”呵呵，我更倾向与食物本来的味道，而不是调味品的味道，调味品只能千篇一律，而食物原本的清香却无可匹敌，高妙的厨师，烹饪佳肴时不放调味品。
数学教学，我更倾向于让孩子发现数学本原的魅力，而不是用各种各样的手段。
这样的实践并没有很久，我对数学的魅力也是渐渐认识，所以，也是一知半解，摸着石头过河。
5、“如果学生预习了，带来了自己的许多不一定准确（不是正确）的见解，这堂课如何上？
逼老师学为主导了。
”
学为主导的课堂是真正以学生为中心的课堂，是尊重学生、尊重生命的课堂，立意高远。
但学为主导并非只有“预习”才能奏效。
学为主导有许多种不同的实现途径，比如真诚地面对课堂的及时生成，根据学生作业质量确定教学尺度等等。
另外，学为主导也有一个弊端，就是课堂效率低下，虽然“效率”是工业时代的用语，但是却成为今天教育的热词，这不能不说是教育的悲哀，面对“有效教学”的领导提纲，我们有时有必要“师生双主”，以期给孩子一个美好的未来。
感谢协同教育和栖路的讨论，希望有更多的人共同探讨教育的话题！
123456|回复于2009-03-1310:
39:
30|引用
认真学习了!
协同教育|回复于2009-03-1309:
43:
58|引用
如果学生预习了，带来了自己的许多不一定准确（不是正确）的见解，这堂课如何上？
逼老师学为主导了。
协同教育|回复于2009-03-1309:
40:
11|引用
学生记住或理解“分子大于或等于分母的分数是假分数。
它包含两种情况：
一类是分子能被分母整除的，其可化为整数；一类是分子不能被分母整除的，则可用带分数表示。
也就是说，带分数是一种特殊分数。
”可能不困难。
我想强调的是一种教学思想：
尽可能让学生知道知识（基本概念）产生的本源。
分月饼可以是分数这一概念产生的一个原始情境。
为了取走不到一个完整的月饼，把一个月饼分成若干份，是真分，产生的分数是真的。
如果是为了拿走一个以上的月饼，至少有一个月饼是不需要分的，只有最后一个零头需要分，因此，用分数来表示一个以上的那些不需要真分（假分）的月饼的分数，就是假分数。
所谓带分数，完整的月饼整数带零头月饼分数，就是带分数。
以上的情境中的数学现象抽象出的概念，用数学语言表达，我想，这就是数学味，品尝出原始情境中的数学味是最美味的！
去情境化的数学味可能很浓，但不鲜美。
如果美味不是厨师调出来的，是自己配制出来的，那更美，美味无穷！
预习，老师提供情境，就有这种可能。
栖路|回复于2009-03-1308:
07:
35|引用
班门弄斧了！
概念教学，把握好概念的内涵与外延十分必要。
已所昏昏，学生哪能昭昭？
分子大于或等于分母的分数是假分数。
它包含两种情况：
一类是分子能被分母整除的，其可化为整数；一类是分子不能被分母整除的，则可用带分数表示。
也就是说，带分数是一种特殊分数。
既然有了假分数，又何以牵引出与之等价的带分数呢？
一是沟通分数与整数的内在联系，也就是数系的建构；二是有时便于比较大小与计算。
一家之言，还请斧正！
协同教育|回复于2009-03-1223:
27:
57|引用
“不需要分的分数就是假分数。
”您有混淆带分数的概念。
假分数可以转化成带分数，但是假分数不是带分数，带分数才是有整数部分不需要分的，用图来表示假分数的每个圆都需要分，分成的总份数才是分母。
这是我的想法。
分成的总份数才是分母。
——是吗？
5/4，两个月饼总份数是8。
所有的带分数都是假分数。
所有的假分数都是带分数（分母分子相同也可看作是带分数的话）。
那么，带分数与假分数仅是从不同的角度对同一类数的定义。
潺潺|回复于2009-03-1206:
27:
52|引用
诶，协同老师编的对话好有意思呢。
非常欣赏您的预习题。
但是不同意您关于假分数的一些说法。
“师：
举个例子，两份，1/2就是半块月饼。
而1/1就是这块月饼就是1份，取了一整个月饼。
（教师边说边画）是不是说明1/2比1/1小呢？
”从图中可以看出，同样大的月饼，1/2是它的一半，1/1是整个月饼，也就是说，在单位“1”相同的情况下，1/2比1/1小。
“不需要分的分数就是假分数。
”您有混淆带分数的概念。
假分数可以转化成带分数，但是假分数不是带分数，带分数才是有整数部分不需要分的，用图来表示假分数的每个圆都需要分，分成的总份数才是分母。
这是我的想法。
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