单级移动倒立摆建模及串联超前校正设计打印版.docx
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单级移动倒立摆建模及串联超前校正设计打印版
目录
摘要2
1单级移动倒立摆的Newton方法建模3
1.1非线性数学模型3
1.1.1被控对象系统建模分析3
2倒立摆系统的串联超前校正装置校正分析5
2.1未校正系统输出动态性能5
2.2系统的串联超前装置校正8
2.2.1参数修正8
2.2.2串联超前校正装置11
2.3校正后系统的稳定性分析11
3校正前系统与校正后系统的比较14
4设计心得体会14
参考文献15
摘要
倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。
对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：
如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。
通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。
同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。
本次课程设计主要考察对课堂理论知识把握的牢固程度和将理论知识、数学建模及软件应用相综合应用的技巧。
通过对给定的物理模型进行分析和求解，进而使用自动控制中所要求的知识，串联超前校正装置，使系统响应符合题目给定的要求。
这次课程设计要求的绘图软件为MATLAB，使用的校正方式为串联超前校正。
关键字：
倒立摆 串联 超前校正 MATLAB
单级移动倒立摆建模及串联超前校正设计
1单级移动倒立摆的Newton方法建模
1.1非线性数学模型
系统建模可以分为两种：
机理建模和实验建模。
实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。
这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。
机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。
对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。
但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。
在此次的课程设计中我采用其中的Newton方法建立单级移动一级倒立摆系统的数学模型。
1.1.1被控对象系统建模分析
在忽略了空气阻力和各种摩擦力后，可将倒立摆系统抽象成小车和均质杆组成的系统如下图1小车系统总体分析图。
.
设输入作用力为u，输出为摆角θ。
图1小车总系统分析
小车质量M=1；
摆杆质量m=0.1；
小车摩擦系数b=0；
摆杆转动轴心到杆质心的长度l=1；
摆杆惯量I=0.03；
加在小车上的力F；
小车位置x；
摆杆与垂直向上方向的夹角（逆时针为正）Φ；
摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑摆杆初始位置为竖直向下，顺时针为正）θ。
图2是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直分析的分量。
图2系统分隔分析图
应用Newton方法来建立系统的动力学方程过程如下：
分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：
由摆杆水平方向所受的合力，可以得到以下方程：
合并可得：
为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：
合并得到力矩平衡方程如下：
方程中
，当
与1（单位是弧度）相比很小时，可以进行近似处理：
、
、
，用
来代替被控对象的输入力F，线性化两个运动
方程（即将上述等式带入②和③）如下：
对方程组
进行拉普拉斯变换，得到：
注意：
推导传递函数时假设初始条件为0。
由于输出为角度
，求解方程组
的第二个方程，可以得到：
把上式带入方程组
的第二个方程，得到输入到输出-摆杆角度的传递函数：
其中
根据题目所给的条件得出原函数的传递函数为
2倒立摆系统的串联超前校正装置校正分析
2.1未校正系统输出动态性能
用MATLAB做出单位阶跃响应曲线如下图4
MATLAB程序如下
num=[-1]%描述系统传递函数分子的多项式系数矩阵
den=[1,0,-11]%描述系统传递函数分母的多项式系数矩阵
step（num,den）%描述单位阶跃输入信号
gridon%描述网络标度线
xlabel（‘t’）,ylabel（‘c（t）’）
title（‘单位阶跃响应’）
图4单位阶跃响应曲线
用MATLAB做出传递函数的根轨迹图图5,MATLAB程序如下
num=[-1]%描述系统传递函数分子的多项式系数矩阵
den=[10-11]%描述系统传递函数分母的多项式系数矩阵
rlocus（num,den）%计算出系统根轨迹
图5根轨迹
用MATLAB做伯德图图6，MATLAB程序如下
num=[-1]%描述系统传递函数分子的多项式系数矩阵
den=[10-11]%描述系统传递函数分母的多项式系数矩阵
G=tf（num,den）
bode（G）%绘制系统的伯德图
图6伯德图
图5、图6分别为系统未校正前的闭环根轨迹和波特图，由这两张图也可看出系统处于非稳定状态。
2.2系统的串联超前装置校正
2.2.1参数修正
超前校正就是在前向通道中串联传递函数为
，a>1的校正装置，其中参
数a、T为可调，如下图，从超前校正的零、极点可以位于s平面负实轴上的任意位置，从而产生不同的校正效果。
超前校正的基本原理就是利用超前相角补偿系统的滞后相角，改善系统的动态性能，如增加相位裕度，提高系统稳定性等。
在串联超前装置
后，该开环传递函数为
，所以特征方程为
，利用劳斯判据判断其稳定性
图7劳斯表
可以发现当原系统加入了超前校正装置之后，系统仍然z为不稳定，数据多串联一些校正应该可以使系统稳定，但是这样较为繁琐，而且目前的知识也达不到。
所以，根据我的判定是题目的参数有偏差，所以我修改了数据改变了小车质量M和摆杆的质量m，设M=0.05，m=0.01
求得新的原传递函数为
图8simulink仿真图
用MATLAB做出单位阶跃响应曲线，如下图9单位阶跃响应曲线
MATLAB程序如下
num=[15]%描述系统传递函数分子的多项式系数矩阵
den=[1,0,-9]%描述系统传递函数分母的多项式系数矩阵
step（num,den）%描述单位阶跃输入信号
gridon%描述网络标度线
xlabel（‘t’）,ylabel（‘c（t）’）
图9单位阶跃响应曲线
用MATLAB做出根轨迹图10，MATLAB程序如下
n=[15]%描述系统传递函数分子的多项式系数矩阵
d=[10-9]%描述系统传递函数分母的多项式系数矩阵
rlocus（n,d）%计算出系统根轨迹
图10根轨迹图
用MATLAB做出伯德图如图11，MATLAB程序如下
G=tf（15,[10-9]）;margin（G）%绘制系统的伯德图
图11伯德图
2.2.2串联超前校正装置
串联超前校正装置
同时用劳斯判据来判定新的校正后的传递函数
图12劳斯表
可得，新的传递函数可以通过改变变量的方法使其在串联超前校正装置后稳定
即当a和T两个变量取以上范围的时候，可以使系统稳定。
为了符合设计要中所需要达到的参数范围，我进行了小范围的假设和调节设a=2的时候，同时使G`（s）的形式更加接近于典型的二阶系统，又因为
，可以先进行几何化简
2.3校正后系统的稳定性分析
图13simulink仿真
用MATLAB做出新的单位阶跃响应曲线如下图14
MATLAB程序如下
num=[256]%描述系统传递函数分子的多项式系数矩阵
den=[1,8,64]%描述系统传递函数分母的多项式系数矩阵
step（num,den）%描述单位阶跃输入信号
gridon%描述网络标度线
xlabel（‘t’）,ylabel（‘c（t）’）
title（‘单位阶跃响应’）
图14
由系统校正后单位阶跃响应曲线（设在t=1s时输入单位阶跃信号）可得，达到设计要求
用MATLAB做出校正后传递函数的根轨迹图如下图15，MATLAB程序如下
n=[256]%描述系统传递函数分子的多项式系数矩阵
d=[1864]%描述系统传递函数分母的多项式系数矩阵
rlocus（n,d）%计算出系统根轨迹
图15
用MATLAB做出伯德图如下图16，MATLAB程序如下
G=tf（256,[1864]）;margin（G）%绘制系统的伯德图
图16
分别为系统校正后的闭环根轨迹和波特图，由这两张图可看出系统已处于稳定状态。
3校正前系统与校正后系统的比较
通过在前向通道串联超前校正装置，得到了一个稳定的倒立摆系统，超前校正装置的串入，使得系统的动态过程的超调量下降由原来的不稳定时的无穷到校正后的
同时调节时间缩短至0.5s以下，前通道串联超前校正装置校正成功，满足设计所限制范围内。
同时引入超前校正装置对原系统的稳态精度没有影响。
4设计心得体会
通过查找资料我知道了倒立摆系统作为一个控制装置，结构简单、价格低廉，便于模拟和数字实现多种不同的控制方法，作为一个被控对象，它是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的快速系统，只有采用行之有效的控制策略，才能使其稳定。
倒立摆系统可以用多种理论和方法来实现其稳定控制。
我的设计是用串联超前装置，起初认为很简单，但是当我建立新的校正后的系统是，利用劳斯判据得出新系统仍然为不稳定，于是就修改了参数，改参数的过程是一个非常困难的过程，但是有MATLAB的帮助，通过发现问题，解决问题的过程中，让我对软件MATLAB的掌握以及对系统校正有了更加深刻的认识。
通过本次课程设计，加深了我对课本理论认识与理解，特别是系统单脉冲响应稳定性分析，系统各项动态性能指标，稳态误差，伯德图以及系统根轨迹等相关知识的理解。
设计时借助MATLAB软件进行控制系统分析，进一步熟悉了MATLAB语言及其应用，在设计完成时又加强了对WORD软件的运用和了解。
另外，我在网上和图书馆查到很多相关的资料，在查阅了不少的资料后，开始设计就有很强的逻辑性，可以让我开始设计时更加得心应手。
在自己的努力的时候，请教导师和同学也是必不可少的，导师会引导我把握住设计的中心思路，避免犯不必要的错误。
同学们的新观点也给了我不少灵感
总之，通过此次课程设计，为我今后的毕业设计打下了扎实的基础，让我明白自主学习的过程是很重要的。
虽然过程比较艰难，但是结果往往是甜蜜的。
让我领悟到做任何事“韧”字当头，我的这次设计就是在修改参数时费了很多的时间，如果我没有坚持下来的，也不会完成这次设计。
最后，感谢老师平时的谆谆教诲，让我在这次课设中能很好地完成任务。
参考文献
[1]胡寿松.自动控制原理（第五版）.北京：
科学出版社，2007
[2]王万良.自动控制原理.北京：
高等教育出版社，2008
[3]王晓元，廖红，赵黎，刘想宁.大学物理学（上）.武汉：
武汉理工大学出版社
2008
[4]夏玮.MATLAB控制系统仿真与实例详解.北京：
人民邮电出版社，2008
[5]周品，赵新芬.MATLAB数学建模与仿真.北京：
国防工业出版社
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