椭圆.docx

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椭圆

定义

椭圆是一种圆锥曲线（也有人叫圆锥截线的），现在高中教材上有两种定义：

1、平面上到两点距离之和为定值的点的集合（该定值大于两点间距离）（这两个定点也称为椭圆的焦点，焦点之间的距离叫做焦距）；

2、平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点不在定直线上，该常数为小于1的正数）（该定点为椭圆的焦点，该直线称为椭圆的准线）。

这两个定义是等价的

标准方程

高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程为：

x^2/a^2+y^2/b^2=1

其中a>0，b>0。

a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们分别叫椭圆的长半轴和短半轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*（a^2-b^2）^0.5，准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c

椭圆的面积是πab。

椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：

x=acosθ，y=bsinθ

公式

椭圆的面积公式:

  S=π（圆周率）×a×b（其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长）.

椭圆的周长公式:

  C＝2Bπ（圆周率）／A×根号下（2A的平方－2B的平方）（其中A，B分别是椭圆的长半轴和短半轴）

相关性质

由于平面截圆锥（或圆柱）得到的图形有可能是椭圆，所以它属于一种圆锥截线。

例如：

有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）：

将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。

设两点为F1、F2

对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2

则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2

由定义1知：

截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点

用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆

椭圆有一些光学性质：

椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其外表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）

历史

关于圆锥截线的某些历史：

圆锥截线的发现和研究起始于古希腊。

Euclid,Archimedes,Apollonius,Pappus等几何学大师都热衷于圆锥截线的研究，而且都有专著论述其几何性质，其中以Apollonius所著的八册《圆锥截线论》集其大成，可以说是古希腊几何学一个登峰造极的精擘之作。

当时对于这种既简朴又完美的曲线的研究，乃是纯粹从几何学的观点，研讨和圆密切相关的这种曲线；它们的几何乃是圆的几何的自然推广，在当年这是一种纯理念的探索，并不寄望也无从预期它们会真的在大自然的基本结构中扮演著重要的角色。

此事一直到十六、十七世纪之交，Kepler行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运\行的轨道，乃是一种以太阳为其一焦点的椭圆。

Kepler三定律乃是近代科学开天劈地的重大突破，它不但开创了天文学的新纪元，而且也是牛顿万有引力定律的根源所在。

由此可见，圆锥截线不单单是几何学家所爱好的精简事物，它们也是大自然的基本规律中所自然选用的精要之一。

椭圆

©版权2002年，吉姆Loy

椭圆（被留下）是a二次曲线.那意味着我们能生产一通过切一个锥体用飞机。

它是有点儿一个被铺平的圈子，或圈子是一规则椭圆。

实际上，当您看一个圈子从某一奇怪的角度，您实际上看椭圆。

并且有单程看在任何椭圆，以便它看似圈子。

在右边我们看见著名方式使用串和铅笔画椭圆。

串的末端是附有固定点叫焦点（非凡=焦点）椭圆。

铅笔的点是由串克制的，并且画椭圆。

我有在椭圆之下显示串的长度。

通常我们使用一个圈串，因此我们可能顺利地画整个椭圆。

二线红线在同样图称半主要轴（a）和半较小轴（b）。

椭圆（它的形状措施的怪癖）是e=sqrt（a-b^2/a^2），sqrt（）的地方是方根作用和b^2是b摆正。

在左边传统方式定义一个椭圆，作为一条二次曲线。

它是距离的套点从点（焦点）和线（准线）在一个恒定的比例（为椭圆在图，比例是3/4）。

比例1给一条抛物线，并且大于1给一条双曲线。

有几个方式画椭圆。

一个等式（在分析几何）是x^2/a^2+y^2/b^2=1（x^2意味被摆正的x）的地方。

如果a和b是均等，椭圆是圈子。

椭圆的区域是A=piab。

您可以猜测有简单的惯例为椭圆的圆周，但您是错误的。

弧长度可以接近用一定数量的方式，到所有期望准确性。

为例子，积分提供一种相当明显的方式。

老方式使用省略积分式，不可能一般确切地解决，并且必须接近。

实际上更旧的数学备忘录包含了桌省略积分式。

圆周的好略计是（在哪里sqrt（）是方根作用）：

pisqrt（2（a^2+b^2））

如果您的浏览器支持Java，这有些动画介入椭圆：

∙椭圆#1

∙椭圆#2

∙椭圆#3

∙椭圆#4

∙椭圆#5

∙椭圆#6

∙椭圆#7

∙二次曲线

并且，看见星形线.

补遗：

我接受了电子邮件问我们是否知道长度的长轴、长轴的一个末端的位置和位置一个其他点，会定义了仅有的一个椭圆。

很好，这四这样椭圆和它obious无限地有许多这样椭圆。

它采取五点确定a二次曲线（我不知道谁证明了那最初）。

多数这些是椭圆和双曲线。

几具体圆锥形部分可以确定与少量点（圈子要求三点）。

但多数要求全部五点，或者其他情况。

在解析几何经常我们转动椭圆（和可能移动它），或者转动的坐标系（是同一件事），为了简化等式。

回到我的数学页

（1）：

画长轴AB，短轴CD，AB和CD互垂平分于O点。

（2）：

连接AC。

（3）：

以O为圆心，OA为半径作圆弧交OC延长线于E点。

（4）：

以C为圆心，CE为半径作圆弧与AC交于F点。

（5）：

作AF的垂直平分线交CD延长线于G点，交AB于H点。

（6）：

截取H，G对于O点的对称点H’，G’。

（7）：

H，H’为长轴圆心，G，G’为短轴原心。

回答者：

pcypcy-举人五级6-609:

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提问者对于答案的评价：

谢谢pcypcy呵呵

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现实的画法是：

以ab-（ab-1.732cd）的线段两端为定

椭圆的画法

（一）

功能：

用不同的方法制作椭圆。

一、到两定点的距离和等于定长。

（下载该课件1下载该课件2）

打开几何画板，选择“显示”->“参数选择”，在自动选择标签栏中“P点”前的方框中画对号，然后确定。

选取“线段”工具，在绘图板中作一线段AB（线段AB的长度为椭圆的长轴长2a）。

用“点”工具在线段上任取一点C，按住shift键先后选中A，C点，选择“变换”->“标记向量"A->C"”。

再用“点”工具再用点工具任取一点D，选中点D，选择“变换”->“平移”，选中“M按标记的向量”（如图1），然后确定，会得到点D'。

图1点的平移对话框

按住shift键，先后选中点D和D'，选择“作图”->“以圆心和圆周上的点画圆”，选中点D'，按Ctrl+H键将其隐藏。

按住shift键，先后选中B，C点，选择“变换”->“标记向量"B->C"”。

用点工具另作一点E，使其与D点的距离小于线段AB的长（线段DE的长为2c），选中点E，选择“变换”->“平移”，选中“M按标记的向量”，然后确定，会得到点E'。

按住shift键，先后选中点E和E'，选择“作图”->“以圆心和圆周上的点画圆”，选中点E'，按Ctrl+H键将其隐藏。

按住shift键，选中两个圆的圆周，选择“作图”->“交点”（或按Ctrl+I键），作出交点F和G。

以下可以分两个方向进行：

1.按住shift键，先后选中点F和点C，选择“作图”->“轨迹”，作出椭圆的上半部分；同理先后选中点G和点C，作出椭圆的下半部分（如图2）。

图2椭圆

完成，存盘退出。

2.按住shift键，先后选中点F，选择“显示”->“追踪点”，同样选中点G和点C，选择“显示”->“追踪点”。

按住shift键，先后选中点C和线段AB，选择“编辑”->“操作类按钮”->“动画”，弹出“匹配路径”对话框，选择“双向”、“沿着线段j”、“慢慢地”，按“动画”按钮完成设置。

这时，绘图板上会出现一个“动画”按钮，双击“动画”按钮，就会自动画出椭圆。

完成，存盘退出。

几何画板简介

三角形中线、角平分线和高线的画法

帕斯卡定理的几何演示

椭圆的画法

（一）

椭圆的画法

（二）

椭圆的画法（三）

椭圆的画法（四）

椭圆的画法（五）

三角形外接圆记录的生成

循环的使用

几种简单方法制作的图像变化效果

复杂动画的制作

图像的飞入

二、同心圆法。

（下载该课件3下载该课件4）

选择“文件”->“新绘图”，选择“图表”->“建立坐标轴”，用“圆”工具作两圆心为原点的同心圆（外圆半径长就是最终椭圆的长半轴长a，内圆半径长就是最终椭圆的短半轴长b），选中点B和圆周上的点C和D，按Ctrl+H键隐藏。

选择“显示”->“线型”->“虚线”，在外圆圆周上任取一点E，按住shift键，同时选中点A和点E，按Ctrl+L作出线段AE，同时选中线段AE和内圆圆周，按Ctrl+I键作出交点F。

按住shift键，同时选中点E和纵坐标轴，选择“作图”->“平行线”，作出一直线，再同时选中点F和横坐标轴，选择“作图”->“平行线”，作出另一直线。

同时选中这两条直线，按Ctrl+I键作出交点G（如图3）。

图3作出交点G

以下可以分两个方向进行：

1.选择“显示”->“线型”->“细线”，同时选中交点G和外圆圆周上的点E，选择“作图”->“轨迹”就作出了椭圆（如图4）。

图4同心圆法作出的椭圆

完成，存盘退出。

2.选择“显示”->“线型”->“细线”，选中点G，选择“显示”->“追踪点”。

按住shift键，同时选中外圆圆周上的点E和外圆圆周，选择“编辑”->“操作类按钮”->“动画”，弹出“匹配路径”对话框，选择“单向”、“绕圆c2”、“快速地”，按下“动画”按钮确定。

这时，绘图板上会出现一个“动画”按钮，双击“动画”按钮，就会自动画出椭圆。

完成，存盘退出。

椭圆画法

平面椭圆,在展览会或装修店面等设计上时有所见.

如椭圆桌面`椭圆展示台,椭圆立柱,

椭圆镜面等.一个平面椭圆如图所示:

我们把

a-b叫长轴,把c-d叫短轴,中点则为0.

要画出一个任意长短轴的椭圆形有不少

方法,这里要介绍的是长轴半径,和短轴半径

都指定了的平面椭圆画法,我以下面的例子,来说明

实际的施工过程.

试画个长轴等于1800mm短轴等于600mm的椭圆板:

（一）先算出长轴半径=1800除2=900,再算出短轴半

径等于600除2=300

（二）找一细板条作为画弧线用,长度略超过长轴的

半径约50mm.在板条表面钉上两根细头钉子.如图二

第一根取长轴半径位,即:

900

第二根取短轴半径,即:

300

（三）在工作台边沿平行铺一片三合板供画样用,

先画一中线.

（四）延三合板中线偏右固定一木条

（五）以

（二）的装钉木条延a-0-d边沿紧贴并移动,

如图三:

同时在c点画出该椭圆左四份之一弧线.

（六）把中点木条拆下并固定在中线以左,把装钉之

木条延a-o-b贴紧并移动,同时在c点画出该椭圆右

四份之一弧线,这时,已形成半个椭圆形.

（七）将这半边椭圆印在另一边板上,就可拼成一完

整的椭圆了.

（1）：

画长轴AB，短轴CD，AB和CD互垂平分于O点。

（2）：

连接AC。

（3）：

以O为圆心，OA为半径作圆弧交OC延长线于E点。

（4）：

以C为圆心，CE为半径作圆弧与AC交于F点。

（5）：

作AF的垂直平分线交CD延长线于G点，交AB于H点。

（6）：

截取H，G对于O点的对称点H’，G’。

（7）：

H，H’为长轴圆心，G，G’为短轴原心。

给大家提供一种椭圆的画法

我们在铆工防样时,画椭圆时通常都是用椭圆的近似画法来用圆规画,我给大家提供另一种画椭圆的方法,就是按照椭圆的定义做椭圆，大家都知道，圆的定义是：

到定点的距离为定长的点的轨迹，所以我们画圆时，用的是圆规或者是画规，这完全符合圆的定义；而椭圆的定义是：

到两点的距离为定长的点的轨迹，所以圆有一个圆心，椭圆有两个心，我们可以用一根绳子，绳子的两端固定在要画椭圆的两个心上，绳子的长度就是2倍的长半轴的长度，然后用笔把绳子撑开，做圆周运动，记住绳子要始终保持绷紧状态，这样笔所画出的形状就是椭圆

。

给大家提供一种椭圆的画法

我们在铆工防样时,画椭圆时通常都是用椭圆的近似画法来用圆规画,我给大家提供另一种画椭圆的方法,就是按照椭圆的定义做椭圆，大家都知道，圆的定义是：

到定点的距离为定长的点的轨迹，所以我们画圆时，用的是圆规或者是画规，这完全符合圆的定义；而椭圆的定义是：

到两点的距离为定长的点的轨迹，所以圆有一个圆心，椭圆有两个心，我们可以用一根绳子，绳子的两端固定在要画椭圆的两个心上，绳子的长度就是2倍的长半轴的长度，然后用笔把绳子撑开，做圆周运动，记住绳子要始终保持绷紧状态，这样笔所画出的形状就是椭圆。