高考资料夹高中数学完整讲义随机变量及其分布列版块二几类典型的随机分布3学生版.docx
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高考资料夹高中数学完整讲义随机变量及其分布列版块二几类典型的随机分布3学生版
知识内容
1．离散型随机变量及其分布列
⑴离散型随机变量
如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量
来表示，并且
是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量
叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母
表示．
如果随机变量
的所有可能的取值都能一一列举出来，则称
为离散型随机变量．
⑵离散型随机变量的分布列
将离散型随机变量
所有可能的取值
与该取值对应的概率
列表表示：
…
…
…
…
我们称这个表为离散型随机变量
的概率分布，或称为离散型随机变量
的分布列．
2．几类典型的随机分布
⑴两点分布
如果随机变量
的分布列为
其中
，
，则称离散型随机变量
服从参数为
的二点分布．
二点分布举例：
某次抽查活动中，一件产品合格记为
，不合格记为
，已知产品的合格率为
，随机变量
为任意抽取一件产品得到的结果，则
的分布列满足二点分布．
两点分布又称
分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布．
⑵超几何分布
一般地，设有总数为
件的两类物品，其中一类有
件，从所有物品中任取
件
，这
件中所含这类物品件数
是一个离散型随机变量，它取值为
时的概率为
，
为
和
中较小的一个
．
我们称离散型随机变量
的这种形式的概率分布为超几何分布，也称
服从参数为
，
，
的超几何分布．在超几何分布中，只要知道
，
和
，就可以根据公式求出
取不同值时的概率
，从而列出
的分布列．
⑶二项分布
1．独立重复试验
如果每次试验，只考虑有两个可能的结果
及
，并且事件
发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做
次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为
次独立重复试验．
次独立重复试验中，事件
恰好发生
次的概率为
．
2．二项分布
若将事件
发生的次数设为
，事件
不发生的概率为
，那么在
次独立重复试验中，事件
恰好发生
次的概率是
，其中
．于是得到
的分布列
…
…
…
…
由于表中的第二行恰好是二项展开式
各对应项的值，所以称这样的散型随机变量
服从参数为
，
的二项分布，
记作
．
二项分布的均值与方差：
若离散型随机变量
服从参数为
和
的二项分布，则
，
．
⑷正态分布
1．概率密度曲线：
样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，
直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量
，则这条曲线称为
的概率密度曲线．
曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是
，而随机变量
落在指定的两个数
之间的概率就是对应的曲边梯形的面积．
2．正态分布
⑴定义：
如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．
服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．
正态变量概率密度曲线的函数表达式为
，
，其中
，
是参数，且
，
．
式中的参数
和
分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为
、标准差为
的正态分布通常记作
．
正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．
⑵标准正态分布：
我们把数学期望为
，标准差为
的正态分布叫做标准正态分布．
⑶重要结论：
①正态变量在区间
，
，
内，取值的概率分别是
，
，
．
②正态变量在
内的取值的概率为
，在区间
之外的取值的概率是
，故正态变量的取值几乎都在距
三倍标准差之内，这就是正态分布的
原则．
⑷若
，
为其概率密度函数，则称
为概率分布函数，特别的，
，称
为标准正态分布函数．
．
标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．
分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．
3．离散型随机变量的期望与方差
1．离散型随机变量的数学期望
定义：
一般地，设一个离散型随机变量
所有可能的取的值是
，
，…，
，这些值对应的概率是
，
，…，
，则
，叫做这个离散型随机变量
的均值或数学期望（简称期望）．
离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．
2．离散型随机变量的方差
一般地，设一个离散型随机变量
所有可能取的值是
，
，…，
，这些值对应的概率是
，
，…，
，则
叫做这个离散型随机变量
的方差．
离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．
的算术平方根
叫做离散型随机变量
的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．
3．
为随机变量，
为常数，则
；
4．典型分布的期望与方差：
⑴二点分布：
在一次二点分布试验中，离散型随机变量
的期望取值为
，在
次二点分布试验中，离散型随机变量
的期望取值为
．
⑵二项分布：
若离散型随机变量
服从参数为
和
的二项分布，则
，
．
⑶超几何分布：
若离散型随机变量
服从参数为
的超几何分布，
则
，
．
4．事件的独立性
如果事件
是否发生对事件
发生的概率没有影响，即
，
这时，我们称两个事件
，
相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．
如果事件
，
，…，
相互独立，那么这
个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即
，并且上式中任意多个事件
换成其对立事件后等式仍成立．
5．条件概率
对于任何两个事件
和
，在已知事件
发生的条件下，事件
发生的概率叫做条件概率，用符号“
”来表示．把由事件
与
的交（或积），记做
（或
）．
典例分析
二项分布的概率计算
【例1】已知随机变量
服从二项分布，
，则
等于．
【例2】甲乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为
，则甲以
的比分获胜的概率为（）
A．
B．
C．
D．
【例3】某篮球运动员在三分线投球的命中率是
，他投球10次，恰好投进3个球的概率．（用数值表示）
【例4】某人参加一次考试，
道题中解对
道则为及格，已知他的解题正确率为
，
则他能及格的概率为_________（保留到小数点后两位小数）
【例5】接种某疫苗后，出现发热反应的概率为
，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为．（精确到
）
【例6】从一批由9件正品，3件次品组成的产品中，有放回地抽取5次，每次抽一件，求恰好抽到两次次品的概率（结果保留
位有效数字）．
【例7】一台
型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为
，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多有
台机床需要工人照看的概率是（）
A．
B．
C．
D．
【例8】设在4次独立重复试验中，事件
发生的概率相同，若已知事件
至少发生一次的概率等于
，求事件
在一次试验中发生的概率．
【例9】我舰用鱼雷打击来犯的敌舰，至少有
枚鱼雷击中敌舰时，敌舰才被击沉．如果每枚鱼雷的命中率都是
，当我舰上的
个鱼雷发射器同是向敌舰各发射
枚鱼雷后，求敌舰被击沉的概率（结果保留
位有效数字）．
【例10】某厂生产电子元件，其产品的次品率为
，现从一批产品中的任意连续取出2件，求次品数
的概率分布列及至少有一件次品的概率．
【例11】某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是
．若某人获得两个“支持”，则给予
万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予
万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：
⑴该公司的资助总额为零的概率；
⑵该公司的资助总额超过
万元的概率．
【例12】某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是
，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润
元；若顾客采用分期付款，商场获得利润
元．
⑴求
位购买该商品的顾客中至少有
位采用一次性付款的概率；
⑵求
位位顾客每人购买
件该商品，商场获得利润不超过
元的概率．
【例13】某万国家具城进行促销活动，促销方案是：
顾客每消费
元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为
，若中奖，则家具城返还顾客现金
元．某顾客消费了
元，得到3张奖券．
⑴求家具城恰好返还该顾客现金
元的概率；
⑵求家具城至少返还该顾客现金
元的概率．
【例14】某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为
和
，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：
⑴至少有1株成活的概率；
⑵两种大树各成活1株的概率．
【例15】一个口袋中装有
个红球（
且
）和
个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．
⑴试用
表示一次摸奖中奖的概率
；
⑵若
，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；
⑶记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为
．当
取多少时，
最大？
【例16】袋子
和
中装有若干个均匀的红球和白球，从
中摸出一个红球的概率是
，从
中摸出一个红球的概率为
．
⑴从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．
①求恰好摸5次停止的概率；
②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为
，求随机变量
的分布．
⑵若
两个袋子中的球数之比为
，将
中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是
，求
的值．
【例17】设飞机
有两个发动机，飞机
有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，就能够安全飞行，现设各个发动机发生故障的概率
是
的函数
，其中
为发动机启动后所经历的时间，
为正的常数，试讨论飞机
与飞机
哪一个安全？
（这里不考虑其它故障）．
【例18】假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是
，且各发动机互不影响．如果至少
的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行．问对于多大的
而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？
【例19】一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是
．
⑴设
为这名学生在途中遇到红灯的次数，求
的分布列；
⑵设
为这名学生在首次停车前经过的路口数，求
的分布列；
⑶求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
【例20】一个质地不均匀的硬币抛掷
次，正面向上恰为
次的可能性不为
，而且与正面向上恰为
次的概率相同．令既约分数
为硬币在
次抛掷中有
次正面向上的概率，求
．
【例21】某气象站天气预报的准确率为
，计算（结果保留到小数点后面第2位）
⑴5次预报中恰有
次准确的概率；
⑵
次预报中至少有
次准确的概率；
⑶5
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