等边三角形专题最新含详细讲解析.docx
《等边三角形专题最新含详细讲解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《等边三角形专题最新含详细讲解析.docx（23页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
等边三角形专题最新含详细讲解析
《等边三角形》专题
2.（2017第9题）如图，将
绕点
顺时针旋转
得
，点
的对应点
恰好落在
延长线上，连接
.下列结论一定正确的是（）
A．
B．
C.
D．
3.（2017第11题）如图，在
中，
，
是
的两条中线，
是
上一个动点，则下列线段的长度等于
最小值的是（）
A．
B．
C.
D．
17.（2017第12题）已知等边
的边长为
，
是
上的动点，过
作
于点
，过
作
于点
，过
作
于点
.当
与
重合时，
的长是（）
A．
B．
C.
D．
10.（2008·中考）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于一点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：
①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的有________（把你认为正确的序号都填上）．
16、（2009·义乌中考）如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD
BC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE。
（1）求△ABC的面积S；
（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明。
《等边三角形》练习题
1．（2012•）如图，已知：
∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．
6
B．
12
C．
32
D．
64
2．（2012•凉山州）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（ ）
A．
180°
B．
220°
C．
240°
D．
300°
3．（2012•）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（ ）
A．
2
B．
2
C．
D．
3
4．（2011•）边长为4的正三角形的高为（ ）
A．
2
B．
4
C．
D．
2
5．（2010•随州）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
不能确定
6．（2009•）如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为（ ）
A．
60°
B．
45°
C．
40°
D．
30°
7．（2007•）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，BE、CE分别交AD于G、H，设△CDH、△GHE的面积分别为S1、S2，则（ ）
A．
3S1=2S2
B．
2S1=3S2
C．
2S1=S2
D．
S1=2S2
8．（2007•）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
4cm2
B．
2cm2
C．
3cm2
D．
3cm2
9．（2006•）如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：
①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中，正确结论的个数是（ ）
A．
3个
B．
2个
C．
1个
D．
0个
10．（2006•）如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行（A，C端点除外），设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是（ ）
A．
d＞h
B．
d＜h
C．
d=h
D．
无法确定
11．（2007•）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（ ）
A．
30海里
B．
40海里
C．
50海里
D．
60海里
12．（2006•）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（ ）
A．
25°
B．
30°
C．
45°
D．
60°
13．（2011•）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= _________ 度．
14．（2008•日照）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：
①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60度．恒成立的结论有 _________ ．（把你认为正确的序号都填上）
15．（2005•）如图，将边长为4的等边△ABC，沿x轴向左平移2个单位后，得到△A′B′C′，则点A′的坐标为 _________ ．
16．（2004•）如图，正三角形A1B1C1的边长为1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，△A2B2C2的三条中线又组成△A3B3C3，…，如此类推，得到△AnBnCn．则：
（1）△A3B3C3的边长a3= _________ ；
（2）△AnBnCn的边长an= _________ （其中n为正整数）．
17．（2006•嘉峪关）△ABC为等边三角形，
D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且
AE=CD=BF，则△DEF为 _________ 三角形．
18．（1999•）如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出 _________ 个．
19．如图所示，P是等边三角形ABC一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，得到△CBP′，若PB=3，则PP′= _________ ．
20．（2009•）如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE．
（1）求△ABC的面积S；
（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明．
21．（2009•）如图，△ABC为正三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为一边作正三角形CDE，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由．
22．（2008•）附加题，学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：
如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：
∠BQM=60度．
（1）请你完成这道思考题；
（2）做完
（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：
①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？
③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？
…
请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：
① _________ ；② _________ ；③ _________ ．并对②，③的判断，选择一个给出证明．
23．（2007•）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．
（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）当三角尺在
（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，
（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．
24．（2004•）已知：
如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P．
（1）求证：
DP=PE；
（2）若D为AC的中点，求BP的长．
25．（2002•）已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．“若点P在一边BC上（如图1），此时h3=0，可得结论h1+h2+h3=h”请直接应用上述信息解决下列问题：
（1）当点P在△ABC（如图2），
（2）点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？
若成立，请给予证明；若不成立，h1、h2、h3与h之间的关系如何？
请写出你的猜想，不需证明．
26．（2000•）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．
（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB；
（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．
27．（2010•）如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．
（1）求证：
AE=BD；
（2）求证：
MN∥AB．
28．（2005•）如图，已知AD和BC交于点O，且△OAB和△OCD均为等边三角形，以OD和OB为边作平行四边形ODEB，连接AC、AE和CE，CE和AD相交于点F．
求证：
△ACE为等边三角形．
29．已知：
如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
（1）求证：
AD=BE；
（2）求∠DOE的度数；
（3）求证：
△MNC是等边三角形．
30．如图，等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，Q为BC延长线上一点，CQ：
BC=1：
2，过P作PE⊥AC于E，连PQ交AC边于D，求DE的长？
《全等三角形》练习参考答案与试题解析
1．C 2．C 3．C 4．D5.B6.A7.A9.B10.C11.B12.B13．∠E= 15 度．14． ①②③⑤ ．
15．.16．a3=；△AnBnCn的边长an= （或21﹣n）
17． 等边 三角形．18． 2 个．19PP′= 3 ．
20．
解：
（1）在正△ABC中，AD=4×，（2分）
∴S=BC×AD=×4×2=4．（3分）
（2）AC、DE的位置关系：
AC⊥DE．（1分）
在△CDF中，∵∠CDE=90°﹣∠ADE=30°，（2分）
∴∠CFD=180°﹣∠C﹣∠CDE=180°﹣60°﹣30°=90°．
∴AC⊥DE．（3分）
（注：
其它方法酌情给分）．
21．
解：
AE∥BC．理由如下：
∵△ABC与△CDE为正三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
∴△BCD≌△ACE，
∴∠B=∠EAC，
∵∠B=∠ACB，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BC．
22．请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：
① 是 ；② 是 ；③ 否 ．并对②，③的判断，选择一个给出证明．
（1）证明：
在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°．
（2）①是；②是；③否．
②的证明：
如图，
在△ACM和△BAN中，
，
∴△ACM≌△BAN，
∴∠AMC=∠BNA，
∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°﹣60°=120°，
∴∠BQM=60°．
③的证明：
如图，
在Rt△ABM和Rt△BCN中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△BCN，
∴∠AMB=∠BNC．
又∠NBM+∠BNC=90°，
∴∠QBM+∠QMB=90°，
∴∠BQM=90°，即∠BQM≠60°．
23
解：
（1）BF=CG；
证明：
在△ABF和△ACG中
∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC
∴△ABF≌△ACG（AAS）
∴BF=CG；
（2）DE+DF=CG；
证明：
过点D作DH⊥CG于点H（如图2）
∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG
∴四边形EDHG为矩形
∴DE=HG，DH∥BG
∴∠GBC=∠HDC
∵AB=AC
∴∠FCD=∠GBC=∠HDC
又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC
∴△FDC≌△HCD（AAS）
∴DF=CH
∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG；
（3）仍然成立．
证明：
过点D作DH⊥CG于点H（如图3）
∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG
∴四边形EDHG为矩形，
∴DE=HG，DH∥BG，
∴∠GBC=∠HDC，
∵AB=AC，
∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，
又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，
∴△FDC≌△HCD（AAS）
∴DF=CH，
∴GH+CH=DE+DF=CG，
即DE+DF=CG．
24．
（1）证明：
过点D作DF∥AB，交BC于F．
∵△ABC为正三角形，
∴∠CDF=∠A=60°．
∴△CDF为正三角形．
∴DF=CD．
又BE=CD，
∴BE=DF．
又DF∥AB，
∴∠PEB=∠PDF．
∵在△DFP和△EBP中，
∵，
∴△DFP≌△EBP（AAS）．
∴DP=PE．
（2）解：
由
（1）得△DFP≌△EBP，可得FP=BP．
∵D为AC中点，DF∥AB，
∴BF=BC=a．
∴BP=BF=a．
25．
解：
（1）当点P在△ABC时，结论h1+h2+h3=h仍然成立．
理由如下：
过点P作BC的平行线，交AB于G，交AC于H，交AM于N，则可得结论h1+h2=AN．
∵四边形MNPF是矩形，
∴PF=MN，即h3=MN．
∴h1+h2+h3=AN+MN=AM=h，
即h1+h2+h3=h．
（2）当点P在△ABC外时，结论h1+h2+h3=h不成立．此时，它们的关系是h1+h2﹣h3=h．
理由如下：
过点P作BC的平行线，与AB、AC、AM分别相交于G、H、N，则可得结论h1+h2=AN．
∵四边形MNPF是矩形，
∴PF=MN，即h3=MN．
∴h1+h2﹣h3=AN﹣MN=AM=h，
即h1+h2﹣h3=h．
26．
解：
（1）当CD2=AC•DB时，△ACP∽△PDB，
∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD=∠PDC=60°，
∴∠ACP=∠PDB=120°，
若CD2=AC•DB，由PC=PD=CD可得：
PC•PD=AC•DB，
即=，
则根据相似三角形的判定定理得△ACP∽△PDB
（2）当△ACP∽△PDB时，∠APC=∠PBD
∵∠PDB=120°
∴∠DPB+∠DBP=60°
∴∠APC+∠BPD=60°
∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°
即可得∠APB的度数为120°．
27．
证明：
（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，
∵∠DCA=∠ECB=60°，
∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，
在△ACE与△DCB中，
∵，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=BD；
（2）∵由
（1）得，△ACE≌△DCB，
∴∠CAM=∠CDN，
∵∠ACD=∠ECB=60°，而A、C、B三点共线，
∴∠DCN=60°，
在△ACM与△DCN中，
∵，
∴△ACM≌△DCN，
∴MC=NC，
∵∠MCN=60°，
∴△MCN为等边三角形，
∴∠NMC=∠DCN=60°，
∴∠NMC=∠DCA，
∴MN∥AB．
28．
证明：
∵△OAB和△OCD为等边三角形，
∴CD=OD，OB=AB，∠ADC=∠ABO=60°．
∵四边形ODEB是平行四边形，
∴OD=BE，OB=DE，∠CBE=∠EDO．
∴CD=BE，AB=DE，∠ABE=∠CDE．
∴△ABE≌△EDC．
∴AE=CE，∠AEB=∠ECD．
∵BE∥AD，
∴∠AEB=∠EAD．
∴∠EAD=∠ECD．
在△AFE和△CFD中
又∵∠AFE=∠CFD，
∴∠AEC=∠ADC=60°．
∴△ACE为等边三角形．
29．
解：
（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
（2）解：
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∵等边三角形DCE，
∴∠CED=∠CDE=60°，
∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED，
=∠ADC+60°+∠BED，
=∠CED+60°，
=60°+60°，
=120°，
∴∠DOE=180°﹣（∠ADE+∠BED）=60°，
答：
∠DOE的度数是60°．
（3）证明：
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AM=AD，BN=BE，
∴AM=BN，
在△ACM和△BCN中
，
∴△ACM≌△BCN，
∴CM=CN，
∠ACM=∠BCN，
又∠ACB=60°，
∴∠ACM+∠MCB=60°，
∴∠BCN+∠MCB=60°，
∴∠MCN=60°，
∴△MNC是等边三角形．
30．
解：
过P点作PF∥BC交AC于F点，
∵等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，CQ：
BC=1：
2，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠A=60°，
∴AP=CQ，
∵PF∥AB，
∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，
∴∠A=∠APF=∠AFP=60°，
∴△APF是等边三角形，
∵PE⊥AC，
∴EF=AF，
∵△APF是等边三角形，AP=CQ，
∴PF=CQ
∵PF∥AB，
∴∠Q=∠FPD，
在△PDF和△QDC中
∵，
∴△PDF≌△QDC，
∴DF=CD，∴DF=CF，
∴DE=EF+DF=AF+CF=AC，
∴ED=5．
双基训练
1.如图14-45，在等边ΔABC中，O是三个角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是。
2.如图14-46，ΔABC是等边三角形，D为BA的中点，DE⊥AC，垂足为点E，EFAB，AE=1，则AD=，ΔEFC的周长=。
3.如图14-47，在等边ΔABC中，AE=CD，BG⊥AD，求证：
BP=2PG。
纵向应用
1.如图14-48，已知等边ΔABC的ABC、ACB的平分线交于O点，若BC上的点E、F分别在OB、OC垂直平分线上，试说明EF与AB的关系，并加以证明。
2.如图14-49，C是线段AB上的一点，ΔACD和ΔBCE是两个等边三角形，点D、E在AB同旁，AE交CD于点G，BD交CE于点H，求证：
GH∥AB。
3.如图14-50，已知ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D使得ΔCDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：
ΔCMN是等边三角形。
4.如图14-51，C是线段AB上一点，分别以BC、AC为边作等边ΔACD和ΔCBE，M为AE的中点，
N为DB的中点，求证：
ΔCMN为等边三角形。
5.如图14-52，在四边形ABCD中，∠A+∠B=1200，AD=BC，以CD为边向形外作等边ΔCDE，连结AE，求证：
ΔABE为等边三角形。
6.如图14-53，已知ΔABC是等边三角形，D为AC上一点，∠1=∠2，BD=CE，求证：
ΔADE是等边三角形。
7.如图14-54，设在四边形ABCD中，∠A+∠B=1200，AD=BC，M、N、P分别是AC、BD、CD的中点。
求证：
ΔMNP是等边三角形。
8.如图14-55，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD,AD=BC,对角线AC、BD交于点O，∠AOB=600，且E、F分别是OD、OA的中点，M是BC的中点，求证：
ΔEFM是等边三角形。
9.如图14-56，在
ABCD中，ΔABE和ΔBCF都是等边三角形，求证：
ΔDEF是等边三角形。
10.如图14-57，已知D为等边ΔABC一点，DA=DC，P点在ΔABC外，且CP=CA，CD平分∠PCB，
求∠P。
横向拓展
1.如图14-58，已知P是等边三角形ABC一点，APB:
CPA=5:
6:
7,求以PA、PB、PC为边长的三角形的三角之比。
2.如图14-59，点O为等边ΔABC一点，∠AOB=1100，∠BOC=1350，试问：
（1）以OA、OB、OC为边，能否构成三角形？
若能，请求出该三角形各角的度数；若不能，请说明理由；
（2）如果∠AOB大小保持不变，那么当∠BOC等于多少度时，以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形？
3.如图14-60，已知ΔABC是边长为1的等边三角形，ΔBDC是顶角∠BDC为1200的等腰三角形，以点D为顶点作一个600角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连结MN，形成一个三角形。
求证：
AMN的周长等于2。
4.如图14-61，在ΔABC中，∠A=600，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点，BE、CF交于点M。
（1）如果AB=AC，求证：
ΔDEF是等边三角形；
（2）如果AB≠AC，试猜想ΔDEF是不是等边三角形？
如果ΔDEF是等边三角形，请加以证明；如果ΔDEF不是等边三角形，请说明理由；
（3）如果CM=4cm，FM=5cm，求BE的长度。
5.如图14-62，已知AO=10，P是射线ON上一动点（即P点可在射线ON上运动），∠AON=600。
（1）OP为多少时，ΔAOP为等边三角形？
（2）OP为多少时，ΔAOP为直角三角形？
升级会员 