点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.
（1）求证：
AE＝DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？
如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（3）当
t为何值时，△DEF为直角三角形？
请说明理由
解：
（1）在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，∴DF＝2t，又∵AE＝2t，∴AE＝DF.
（2）能．理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF.
又∵AE＝DF，∴四边形AEFD为平行四边形．
当AE＝AD时，四边形AEFD是菱形，即60－4t＝2t.解得t＝10s，
∴当t＝10s时，四边形AEFD为菱形．
（3）①当∠DEF＝90°时，由
（2）知EF∥AD，∴∠ADE＝∠DEF＝90°.∵∠A＝60°，
∴∠AED＝300.∴AD=t,又AD＝60－4t，即60－4t＝t，解得t＝12s.
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②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形．在Rt△AED中，∠A＝60°，则∠ADE＝30°.
∴AD＝2AE，即60－4t＝4t，解得t＝15/2s.
③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．
综上所述，当t＝15/2s或t＝12s时，△DEF为直角三角形．
5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的
速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t.
（1）连接EF，
当EF经过AC边的中点D时，
（1）求证：
△ADE≌△CDF；：
（2）当t为______s时，四边形ACFE是菱形；
试题分析：
由题意得：
AE=t，CF=2t-6．
若四边形ACFE是菱形，则有CF=AE=AC=6，则t=2t-6
，解得t=6．
所以，当t=6时，四边形ACFE是平行四边形；
6、在菱形ABCD中，∠B=60°，点E在射线BC上运动，∠EAF=60°，点F在射线CD上
（1）
当点E在线段BC上时（如图1），
（1）求证：
EC+CF=AB；
（2）当点E在BC的延长线上时（如图
2），
线段EC、CF、AB有怎样的相等关系？
写出你的猜想，不需证明
（1）证明：
连接AC，如下图所示：
在菱形ABCD中，∠B=60°，∠EAF=60°，△ABC和△ACD为等边三角形，
∴，∴△AEC≌△AFD（ASA），∴EC+CF=DF+CF=CD=AB．
（2）解：
线段EC、CF、AB的关系为：
CF-CE=AB．
解析分析：
（1）已知∠B=60°，不难求出∠ABC，∠DAC的度数为60°，从而进一步求得△ABC，
△ACD为正三角形，从而证明△AEC≌△AFD，图1得出EC+CF=AB、
（2）图2先证明△ADF≌△ACE，DF=CE，CF=CD+DF=CE+BC，得出CF-CE=AB．
7、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．
（1）求证：
四边形AMDN是平行四边形；
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（2）填空：
①当AM的值为______时，四边形AMDN是矩
形；
②当AM的值为______时，四边形AMDN是菱形．
（1）证明：
∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM，∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，
又∵点E是AD边的中点，∴DE=AE，∴△NDE≌△MAE，∴ND=MA，
∴四边形AMDN是平行四边形；
（2）①当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：
1
∵AM=1=AD，∴∠ADM=30°∵∠DAM=60°，∴∠AMD=90°，∴平行四边形AMDN是矩形；
2
②当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形．理由如下：
∵AM=2，∴AM=AD=2，∴△AMD是等边三角形，∴AM=DM，∴平行四边形AMDN是菱形，
8、如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于
点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）探究：
线段OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？
若是，请证明，若不是，则说明理由．
解：
（1）OE=OF．理由如下：
∵CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE=∠BCE，
又∵MN∥BC，∴∠NEC=∠ECB，∴∠NEC=∠ACE，∴OE=OC，∵OF是∠BCA的外角平分线，∴∠OCF=∠FCD，又∵MN∥BC，∴∠OFC=∠ECD，∴∠OFC=∠COF，∴OF=OC，∴OE=OF；
（2）当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．理由如下：
∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，又∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO=CO，∴AO=CO=EO=FO，∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，∴四边形AECF是矩形．已知MN∥BC，当∠ACB=90°，则∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形；
（3）不可能．理由如下：
如图，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECF=1∠ACB+1∠ACD=1（∠ACB+∠ACD）=90°，
222
若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，
但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形．
故答案为不可能．
9、如图，已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）
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分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．
（1）BD的长是______；
（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是______
10、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为______．
如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD≤OE+DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
1
此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=AB=1。
2
DE=，∴OD的最大值为：
。
故选A。
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11、如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中
点．
（1）求证：
四边形PMEN是平行四边形；
（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；
（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？
若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．
12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm／s。
（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形吗？
说明理由；
（2）点E，F在AC上运动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形是否可能为矩形？
如能，求出此时的运动时间t的值，如不能，请说明理由。
解：
（1）是。
理由：
在平行四边形ABCD中，则OD=OB，OA=OC，
∵A、C两点移动的速度相同，即AE=CF，∴OE=OF，∴四边形DEBF是平行四边形。
（2）当运动时间t=4或28时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形。
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