算法分析与设计实验二.docx

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算法分析与设计实验二

实验二、动态规划算法的应用

班级：

计072

学号：

3070911052

姓名：

赵凯

一、实验目的与实验内容

1、掌握动态规划算法的基本设计思想与原则。

2、最长公共子序列、0-1背包，找零钱

二、实验要求

1．用C++/C完成算法设计和程序设计并上机调试通过。

2．撰写实验报告，提供实验结果和数据。

3．分析算法，要求给出具体的算法分析结果，包括时间复杂度和空间复杂度，并简要给出算法设计小结和心得。

三、程序实现

最长公共子序列：

对字符串X和Y，首先构建子问题最有值的递归关系。

用c[i][j]记录序列Xi和Yj的最长公共子序列的长度。

其中Xi={x1,x2,…,xi};Yj={y1,y2,…,yj}.当i=0或j=0时，空序列就是Xi和Yj的最长公共子序列。

故此时c[i][j]=0.其他情况下，由最优子结构性质可建立递归关系如下：

0i=0,j=0

c[i][j]=c[i-1][j-1]+1i,j>0;xi=yj

max{c[i][j-1],c[i-1][j]}i,j>0;xi=yj

0-1背包问题：

设所给0-1背包问题的子问题

max∑nk=ivkxk

∑nk=ivkxk<=j

xk∈{0.1},i<=k<=n

的最优值为m（i,j）,即m（i,j）是背包容量为j，可选择物品为i，i+1，…，n时0-1背包问题的最优值。

由0-1背包问题的最优子结构性质，可以建立计算m（i,j）的递归式如下：

m（i,j）=max{m（i+1,j）,m（i+1,j-wi）+vi}j>=wi

m（i+1,j）0<=j

vnj>=wn

m（n,j）=00<=j

找零钱：

在这次实验中，由于听错实验的最后一个题目，所以找零钱的这个实验我是完全参照0-1背包问题的。

时间复杂度：

最长公共子序列：

计算最优值c[i][j]的算法设计中，双层循环外规模为m，内规模为n，所以计算它的时间复杂度为0（mn）.

0-1背包与找零钱：

由他的递归表达式可得时间复杂度为0（nc）.

四、心得体会

通过此次实验，我的最深感触就是对算法的思想一定要理解，不然只是徒劳。

刚开始做实验时，我什么也没看，直接拿着题目就凝思苦想，然而没有头绪。

在把课本上的东西看了之后，通过仔细查看动态规划的思想，我明白了如何规划问题，如何解决问题。

关键还是要做到心里有底，然后才能胸有成竹，

五、源程序清单。

最长公共子序列：

#include

usingnamespacestd;

voidLCSLength（intm,intn,charx[],chary[],intc[][8],intb[][8]）//求最优值

{

inti,j;

for（i=1;i<=m;i++）c[i][0]=0;

for（i=1;i<=n;i++）c[0][i]=0;

for（i=1;i<=m;i++）

for（j=1;j<=n;j++）

{

if（x[i]==y[j]）

{

c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;

b[i][j]=1;

}

elseif（c[i-1][j]>=c[i][j-1]）

{

c[i][j]=c[i-1][j];

b[i][j]=2;

}

else{

c[i][j]=c[i][j-1];

b[i][j]=3;

}

}

}

voidLCS（inti,intj,charx[],intb[][8]）//求最优解

{

if（i==0||j==0）return;

if（b[i][j]==1）{

LCS（i-1,j-1,x,b）;

cout<

}

elseif（b[i][j]==2）LCS（i-1,j,x,b）;

elseLCS（i,j-1,x,b）;

}

intmain（）

{

charx[8];

chary[7];

intc[8][8]={0};

intb[8][8]={0};

cout<<"inputstringx"<

for（inti=0;i<9;i++）

cin>>x[i];

cout<

cout<<"inputstringy"<

for（intj=0;j<8;j++）

cin>>y[j];

cout<

LCSLength（7,6,x,y,c,b）;

cout<<"thebestvalue:

"<

for（i=0;i<=7;i++）

{

for（intj=0;j<=6;j++）

cout<

cout<

}

cout<<"最长公共子序列:

"<

LCS（7,6,x,b）;

cout<

return0;

}

0-1背包问题：

#include

usingnamespacestd;

voidtback（intm[][11],intt[],intc,intn,intx[]）;

voidknapsack（intv[],intw[],intc,intn,intm[][11]）//最优值的求解过程

{

intjmax=（w[n]-1）>c?

c:

（w[n]-1）;

for（intj=0;j<=jmax;j++）

m[n][j]=0;

for（j=w[n];j<=c;j++）

m[n][j]=v[n];

for（inti=n-1;i>=0;i--）

{

jmax=（w[i]-1>c）?

c:

（w[i]-1）;

for（j=0;j<=jmax;j++）

m[i][j]=m[i+1][j];

for（j=w[i];j<=c;j++）

m[i][j]=m[i+1][j]>（m[i+1][j-w[i]]+v[i]）?

m[i+1][j]:

（m[i+1][j-w[i]]+v[i]）;

}

m[1][c]=m[2][c];

if（c>=w[1]）

{m[1][c]=m[1][c]>（m[2][c-w[1]]+v[1]）?

m[1][c]:

（m[2][c-w[1]]+v[1]）;

}

intmain（）

{

inti,j,n=5,c,x[6],count=0;

intv[6];

intw[6];

cout<<"inputarryv:

";

for（i=0;i<6;i++）

{x[i]=i;

cin>>v[i];

}

cout<<"arryvis:

"<

for（i=0;i<6;i++）

cout<

cout<<"inputarryw:

";

for（i=0;i<6;i++）

cin>>w[i];

cout<<"arrywis:

"<

for（i=0;i<6;i++）

cout<

intm[7][11]={0};

cout<<"inputvolum:

"<

cin>>c;

knapsack（v,w,c,n,m）;

for（i=1;i<=n;i++）

{

for（j=1;j<=c;j++）

cout<

cout<

}

tback（m,w,c,n,x）;

cout<<"theresultis:

";

for（i=0;i

{

if（x[i]）

{cout<

count++;

}

}

cout<

cout<<"latestnumber="<

return0;

}

voidtback（intm[][11],intw[],intc,intn,intx[]）//最优解得求解过程

{

for（inti=0;i

{

if（m[i][c]==m[i+1][c]）

x[i]=0;

else

{

x[i]=1;

c-=w[i];

}

x[n]=（m[n][c]）?

1:

0;

}

}

找零钱：

#include

usingnamespacestd;

voidtback（intm[][11],intt[],intc,intn,intx[]）;

voidknapsack（intv[],intw[],intc,intn,intm[][11]）//最优值

{

intu=（w[n]-1）>c?

c:

（w[n]-1）;

for（intj=0;j<=u;j++）

m[n][j]=0;

for（j=w[n];j<=c;j++）

m[n][j]=v[n];

for（inti=n-1;i>=0;i--）

{

u=（w[i]-1>c）?

c:

（w[i]-1）;

for（j=0;j<=u;j++）

m[i][j]=m[i+1][j];

for（j=w[i];j<=c;j++）

m[i][j]=m[i+1][j]>（m[i+1][j-w[i]]+v[i]）?

m[i+1][j]:

（m[i+1][j-w[i]]+v[i]）;

}

m[1][c]=m[2][c];

if（c>=w[1]）

m[1][c]=m[1][c]>（m[2][c-w[1]]+v[1]）?

m[1][c]:

（m[2][c-w[1]]+v[1]）;

}

intmain（）

{

inti,j,n,c,x[6]={0},count=0;

intt[6];

intco[6];

cout<<"inputthevalueofthecoin:

";//输入硬币的面值

for（i=0;i<6;i++）

cin>>t[i];

cout<<"everycoinvalueis:

"<

for（i=0;i<6;i++）

cout<

cout<<"inputnumberofeverycoin:

";//输入对应面值硬币的个数

for（i=0;i<6;i++）

cin>>co[i];

cout<<"thenumberofeverycoinis:

"<

for（i=0;i<6;i++）

cout<

intm[7][11]={0};

n=5;

cout<<"inputthemoneyyouwanttochargewith:

";输入要找的钱数

cin>>c;

knapsack（co,t,c,n,m）;

for（i=1;i<=n;i++）

{

for（j=1;j<=c;j++）

cout<

cout<

}

tback（m,t,c,n,x）;

cout<<"theresultis:

";

for（i=0;i

{

if（x[i]）

{cout<

count++;

}

}

cout<

cout<<"latestnumber="<

return0;

}

voidtback（intm[][11],intt[],intc,intn,intx[]）//最优解

{

for（inti=0;i

{

if（m[i][c]==m[i+1][c]）

x[i]=0;

else

{

x[i]=1;

c-=t[i];

}

x[n]=（m[n][c]）?

1:

0;

}

}