微分几何第四版习题答案解析梅向明.docx
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微分几何第四版习题答案解析梅向明
1曲面的概念
1.求正螺面rr={ucosv,usinv,bv}的坐标曲线.
r
解u-曲线为r={ucosvo,usinvo,bv°}={0,0,bv°}+u{cosvo,sinv°,0},
为曲线的直母线；v-曲线为r={uocosv,uosinv,bv}为圆柱螺线.
2.证明双曲抛物面r={a（u+v）,b（u-v）,2uv}的坐标曲线就是它的直母线
证u-曲线为r={a（u+v0）,b（u-v0）,2uv0}={av0,bv0,O}+u{a,b,2v0}
表示过点｛avo,bVo,O｝以｛a,b,2Vo｝为方向向量的直线;
v-
曲线为r={a（u0+v）,b（u0-v）,2u0v}={au
0,bu0,0}+v{a,-b,2u°}
表示过点（au。
，bu°,0）以｛a,-b,2u。
｝为方向向量的直线。
法线方程为
sin,acos
sin,asin
acos}，
}上任
r={
:
意点的切平面
acossin
至和法线方程
acoscos
asin
sin
acos
cos
yacos
sin
zasin
asin
cos
asin
sin
acos
0
acos
sin
acos
cos
0
sin+zsin
-a=0
cos
y
acossin
z
asin
3.求球面r={acos
解r={asincos
x
任意点的切平面方程为
sin
0}
xacos
cossin
即xcoscos+ycos
cos
cos
2
4.求椭圆柱面务
a
2
工
b2
1在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此
曲面只有一个切平面
2
解椭圆柱面笃
a
2
y_
1的参数方程为x=cos,y=asin,z=t,
r{asin
bcos,0},
rt｛0,0,1｝。
所以切平面方程为:
xacos
asin
0
ybsin
bcos
0
0，即xbcos+yasin—ab=0
此方程与t无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值
对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。
3
5.证明曲面r{u,v,—}的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常
UV
数。
3
{0,1,二}。
切平面方程为:
uv
§2曲面的第一基本形式
1.
求双曲抛物面r={a（u+v）,b
（u-v）,2uv
}的第一基本形式
解
ru{a,b,2v},rv{a,b,2u},E
22.2
ruab
4v,
Fru
rva2b24uv,Gg2a2b
22
4u,
•I=
（a2b24v2）du22（a2b2
4uv）dudv
（a2b24u2）dv2
4.设曲面的第一基本形式为I=du2（u2a2）dv2，求它上面两条曲线u+v=0,u-v=0的交角。
分析由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。
解由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量E1，Fv0，Gu2a2,
曲线u+v=0与u-v=0的交点为u=0,v=0,交点处的第一类基本量为E1，
Fv0，Ga2。
曲线u+v=0的方向为du=-dv,u-v=0的方向为Su=
Sv,设两曲线的夹角为，则有
2
EduuGdvu1a
cos=-。
VEdu2Gdv2jEu2Gv21a
5.求曲面z=axy上坐标曲线x=x0,y=y0的交角.
解曲面的向量表示为r={x,y,axy},坐标曲线x=x0的向量表示为
r={x°,y,ax°y}，其切向量ry={0，1，ax。
}；坐标曲线y=y°的向量表示为r={x,
y°,axy°}，其切向量.={1，0，ay°}，设两曲线x=x0与y=y°的夹角为，则
2
有cos
6.
解
=rxryax0yo
1rx||ry1.1a2x（21a2y（2
求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.
对于u-曲线dv=0,设其正交轨线的方向为Su:
Sv，则有
EduSu+F（duSv+dvSu）+GdvSv=0,将dv=0代入并消去du得u-曲线的正交轨线的微分方程为ESu+FSv=0.
同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为FSu+GSv=0.
7.在曲面上一点，含du,dv的二次方程Pdu2+2Qdudv+Rdv2=0,确定两个切方向（du:
dv）和（Su:
Sv），证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ+
GP=0.
证明因为du,dv不同时为零，假定dv0,则所给二次方程可写成为P（虫）2+
dv
8.证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为Edu2=Gdv2.
证用分别用5、、d表示沿u—曲线，v—曲线及其二等分角线的微分符号,
展开并化简得E（EG-F2）du2=G（EG-F2）dv2,而EG-F2>0,消去EG-F2得坐标曲线
的二等分角线的微分方程为Edu2=Gdv2.
3
=a[22ln（12）]o
3
10.求球面r={acossin,acossin,asin}的面积。
解r={asincos,asinsin,acos},r={acossin,acoscos,0}
E=r2=a2,F=rr=0,G=r2=a2cos2.球面的面积为：
2a2sin|24a2.
~2
2
S=2dacos2d2a22cosd
20~2
和旋转曲面r={tcos,tsin
11.证明螺面r={ucosv,usinv,u+v}
1）（^dudv）2
1u
分析根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射=arctgu
+v,t=..u21,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点
有相同的参数，然后证明在新的参数下，两曲面具有相同的第一基本形式•
证明螺面的第一基本形式为l=2du2+2dudv+（u2+1）dv2,旋转曲面的第一
基本形式为I=
t2
:
（12）dt2t2d,在旋转曲面上作一参数变换=arctgu+v,
t1
t=、u21,
则其第一基本形式为：
§3曲面的第二基本形式
1.计算悬链面r={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式.
解ru={sinhucosv,sinhusinv,1},rv={-coshusinv,coshucosv,0}
ruu={coshucosv,coshusinv,0},ruv={-sinhusinv,sinhucosv,0},
rvv={-coshucosv,-coshusinv,0},Eru=coshu,Frurv=0,Grv=coshu.
所以I=cosh2udu2+cosh2udv2.
coshucosv,coshusinv,sinhusinv},
n=—Jr—^_{
VEGF2cosh2u
L=_coshu—1,m=0,N=_coshu—=1.
tsinh21
sinh21
所以II=-du2+dv2
2.计算抛物面在原点的
2x35x；4X1X22x；第一基本形式，第二基本形式.
解曲面的向量表示为r
{2,討22x1x2X；},
、{1,0,5x12x2}（0,0）{1,0,0},rx2{0,1,2x12x2}（°,°）{0,1,0},g{0,0,5},
G2{0,0,2},rX2X2{0,0,2},E=1,F=0,G=1丄=5,M=2,N=2,
2222
1=dx1dx2,II=5dx14dx1dx22dx2.
3.证明对于正螺面r={ucosv,usinv,bv},-g解ru{cosv,sinv,0},rv{usinv,ucosv,b},ruu={0,0,0},
2
ruv={-uucosv,cosv,0},rw={-ucosv,-usinv,0},E1,F450,
Gr：
u2b2,L=0,M=b,N=0.所以有EN-2FM+GL=0.
u2b2
1
4.求出抛物面z-（ax2by2）在（0,0）点沿方向（dx:
dy）的法曲率.
解「X{1,O,ax}（o,o）{1,0,0},ry{0乙by}（o,°）{0,1,0},口{0,0,a},*{0,0,0}
ryy{0,0,b},E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:
dy的法曲率knadX2彎dxdy
5.已知平面到单位球面（S）的中心距离为d（0解设平面与（S）的交线为（C）,则（C）的半径为,1d2,即（C）的曲率为
1d2,所以
1
ki二,又（C）的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于
1d2
（C）的法曲率为kn
本量成比例。
证明因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为
球面半径
R的倒数1/R。
即在球面上，对于任何曲纹坐标（u,v），沿任意方向du:
dv
类基本量成比例。
7•求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线。
证明对于正螺面r={ucosv,usinv,bv}，
ru{cosv,sinv,0},rv{usinv,ucosv,b}，ruu={0,0,0}，rvv={-ucosv,-usinv,0}
L=詈響=0'N=注=0.所以u族曲线和v族曲线都是渐近线。
而u
族曲线是直线，v族曲线是螺旋线。
8.求曲面zxy2的渐近线.
2222
2xy,Gry14xy.
解曲面的向量表示为r{xyxy2},.{1,0,y2},ry{0,1,2xy},*{0,0,0},
rxy{0,0,2y},ryy{0,0,2x},Erx214y4,Frxg
渐近线的微分方程为Ldx22Mdxdy
Ndy2,即4ydxdy2xdy20,一族为dy=0,即
yC1,C1为常数.另一族为2ydx=-xdy,即Inx2yc?
或x2yc,c为常数..
9.证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线
10.
证在每一条曲线（C）的主法线曲面上，沿（C）的切平面是由（C）的切向量与（C）的主法向量所确定的平面，与曲线（C）的密切平面重合，所以每一条曲线（C）在它的主法线曲面上是渐近线.
所以曲线在它的主法线曲面上是渐近线.
11.证明在曲面z=f（x）+g（y）上曲线族x=常数，y=常数构成共轭网.
证曲面的向量表示为r={x,y,f（x）+g（y）},x=常数,y=常数是两族坐标曲线
rx{1,0,f'},ry{0,1,g'}.L{0,0,f},rXy{0,0,0},二{0,0,g"},
x=吊数，y=吊数
因为ML「ry0,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族
xy止G乍7
构成共轭网。
12.确定螺旋面r={ucosv,usinv,bv}上的曲率线.
解ru{cosv,sinv,0},rv{usinv,ucosv,b}，ruu={0,0,0}
rvv={-ucosv,-usinv,O}
2
ruv={-sinv,cosv,0},Eru1,Frurv0,
r；
u2
F，L=0,M=_u^bf，N=0,曲率线的微分方程为:
dv2
1
0
dudv
0
b
.u2b2
du2
u2b2
0
0,即dv
1
7u2b2du'积分得两族曲率线方程：
ln（u
.u2b2）
G和vln（、u2b2
u）C2.
12.
求双曲面z=axy上的曲率线
22
y,Fax
G
|2x2,L0,M
N=0.
22
ay
dy2
22
1ax
dxdy
222
axy
a
2222axay
dx2
2
ax
=0得（1a2y
22
2）dx2
（1
a2x2）dy2,积分
得两族曲率线为ln（ax1a2x2）
In（ay,1a2y2）c.
13.求曲面r{-|（uv）,b（uv）》}上的曲率线的方程.
2.22
解eabv,F
4
2,22,22
abuvabu
G-
44
L
0,
ab
M=——2,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是
EGF2
（a2b2u2）dv2（a2b2v2）du2,积分得：
ln（u-a2b2u2）ln（v
a2b2v2）c.
14.给出曲面上一曲率线L,设L上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成定角,求证L是一平面曲线.
证法一：
因L是曲率线,所以沿L有dnndr,又沿L有？
n=常数,求微商
得n一n0,而n//dn//dr与正交，所以n0,即-•n=0,则有=0,或
•n=0.
若=0,则L是平面曲线；若・n=0,L又是曲面的渐近线，则沿L,n=0,这时dn=0,n为常向量，而当L是渐近线时，=n，所以为常向量，L是一平面曲线•
证法二：
若n，则因nd?
IIr，所以nII，所以dnII&由伏雷
rrr
内公式知dnI（r）而L是曲率线，所以沿L有dnIr,所以有=0,从而曲线为平面曲线；
若不垂直于n，则有？
n=常数，求微商得-&0,因为L是曲率线，所以沿L有dnIIdr，所以r&0，所以n0，即-•n=0，若=0，则
问题得证；否则•n=0，则因nr0，有nI，dnIIdr|（-）Ir，
矛盾。
15.如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线。
证曲线的密切平面与曲面的切平面成定角，即曲线的副法向量和曲面的法向量成定角，由上题结论知正确。
16.求正螺面的主曲率。
解设正螺面的向量表示为r={ucosv,usinv,bv}.
解ru{cosv,sinv,0},rv{usinv,ucosv,b}，ruu={0,0,0}，
rw={-ucosv,-usinv,0}
2
ruv={-sinv,cosv,0},Eg1，Frurv0，
Grv2U2b2，L=0,M=占，N=。
，代入主曲率公式
所以主曲率为
17.确定抛物面z=a（x2y2）在（0,0）点的主曲率.
解曲面方程即ryy{0,0,2a}，r{x,y,a（x2y2）}，rx{1,0,2ax}ry{0,1,2ay}，rxx{0,0,2a}，L{0,0,0},k{0,0,2a}。
在（0,0）点,E=1,F=0,G=1丄=2a,M=0,
N=2a.所以N-4an+4a2=0，两主曲率分别为1=2a,2=2a.
18.证明在曲面上的给定点处，沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数
证曲面上的给定点处两主曲率分别为
1、
2，任给一方向
及与其正交的方
向+2，则这两方向的法曲率分别为
n（）
2
1cos
・2
2sin
n
（2）1cos2
（2）2sin2（
2）
.2
1sin
2
2cos
，即
n（）n
（2）12为常数。
19.证明若曲面两族渐近线交于定角，则主曲率之比为常数•
证由n1cos22sin2得tg2—,即渐进方向为
2
1arctgj—,2=-arctgj—.又-2+1=21为常数，所以为1为常数，即
丄为常数.
2
20.求证正螺面的平均曲率为零.
证由第3题或第16题可知.
21.求双曲面z=axy在点x=y=0的平均曲率和高斯曲率
证在点x=y=0,E=1,F=0,G=1,L=0,M=a,N=O,H=竺2FM2NE0,
2（EGF2）
22.证明极小曲面上的点都是双曲点或平点
证法一：
由H=」2=0有1=2=0或1=-20.
2
若1=2=0,则沿任意方向
n（）1cos22sin2=0,即对于任意的
若1=-20,则K=12<0,即LN-M2<0,对应的点为双曲点
证法二：
取曲率网为坐标网，则F=M=0,因为极小曲面有H=0，
所以LG+EN=0,因E>0,G>0,所以LN<0。
若LNM2=0,则L=M=N=0，曲面上的点是平点，若LNM2<0,则曲面上的点是双曲点
23.证明如果曲面的平均曲率为零,则渐近线构成正交网.
证法一：
如果曲面的平均曲率为零，由上题曲面上的点都是双曲点或平点
若为平点，则任意方向为渐近方向，任一曲线为渐近曲线，必存在正交的渐近曲线网
若为双曲点,则曲面上存在渐近曲线网•由19题,渐近方向满足tg2—=1,
证法二：
QH0LG2FMNE0渐近线方程为Ldu22MdudvNdv20
du2duduuNduu2M
所以L（）2MN0，所以，，所以
dvdvdvvLdvvL
EduuF（duvdvu）Gdvvdv肛包-uF（du—u）G]
dvvdvv
=dvv[ENF（理）G]0，所以渐近网为正交网。
LL
1
证法三：
M0QH-（12）0，所以高斯曲率QK120，所以
LNM20，所以曲面上的点是平点或双曲点。
所以曲面上存在两族渐近线。
取
曲面上的两族渐近线为坐标网，则L=N=0，若M=0，曲面上的点是平点，若
M0，则QH0LG2FMNE0，所以MF=0，所以F=0，所以渐近网为正交网。
24.
a2（ba）,并令其绕轴旋转的圆
在xoz平面上去圆周y=0,（xb）2z2
的椭圆点、双曲点、抛物点
2
（bacos）,L=a,M=0,N=cos
LN-M2=acos（b+acos）,由于b>a>0,b+acos>0,所以LN-M2的
符号与cos的符号一致，当0W<2和—<<2时丄N-M2>0,曲面上的点
722
为椭圆点，即圆环面外侧的点为椭圆点；当-2<<+，曲面上的点为双曲点，即圆环面内侧的点为双曲点；当=2或+时，LN-M2=0，为抛物点，即圆环面上、下两纬圆上的点为抛物点。
25.若曲面的第一基本形式表示为I2（u,v）（du2dv2）的形式，则称这个曲
证旋转曲面r{g（t）cos,g（t）sin,f（t）}的第一基本形式为
'2f'2'2f'2
Ig2（t）（—2一dt2d2），做参数变换udt,v=,则在新参数
gg
下，Ig2[t（u）]（du2dv2）,为等温网。
26.两个曲面S1、S2交于一条曲线（C）,而且（C）是S,的一条曲率线，贝U（C）也是S2的一条曲率线的充要条件为S1、S2沿着（C）相交成固定角。
证两个曲面3、S2交于曲线（C）,n1、n2分别为S“S2的法向量，则沿交
线（C）,n1与n2成固定角的充要条件为①•n2=常数，这等价于d（n1•n2）=0,即
dn^i•n2+n-i•dn2=0,而
（C）是Sj的一条曲率线，因此dn“与（C）的切向量
Kds2，或
（—）2K，所以有（）2
ds
28•证明如果曲面上没有抛物点，则它上面的点和球面上的点是
证设给出的曲面（S）:
r=r（u,v）上的点r（u,v）与（u,v）D内的点一一对应,
其球面像上的点为n=n（u,v）,由于nunvk（rurv）,所以|nun
2K,
对应的。
Ik|rurv|=
2
.EGF2
|LNM1，当曲面（S）上没有抛物点时，LN-M20,则nunv
上的点与球面像
说明球面像上的点n（u,v）与区域D内的点一一对应，因此曲面（S）上的点对应。
3.在第一基本形式为I=du2sinh2udv2的曲面上，求方程为u=v的曲线的弧长。
解由条件ds2du2sinh2udv2,沿曲线u=v有du=dv，将其代入ds2得
dsdusinhudv=coshvdv,ds=coshvdv,在曲线u=v上，从v1至Uv2的
v2
弧长为|coshvdv||sinhv2sinhv1|。
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