山东省济南市历下区学年九年级上学期期末数学试题及答案.docx
《山东省济南市历下区学年九年级上学期期末数学试题及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《山东省济南市历下区学年九年级上学期期末数学试题及答案.docx（53页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
山东省济南市历下区学年九年级上学期期末数学试题及答案
山东省济南市历下区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．如果
，那么
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列几何体中，其三视图的三个视图完全相同的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．抛物线
的顶点坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，A，B，C是⊙O上的三点，若
，则
的度数是（ ）
A．40°B．35°C．30°D．25°
5．如图，河坝横断面迎水坡
的坡比为
，坝高
为4m，则
的长度为（ ）
A．8mB．
mC．
mD．
m
6．如果
的半径为6，线段
的长为3，则点
与
的位置关系是（ ）
A．点
在
上B．点
在
内C．点
在
外D．无法确定
7．关于反比例函数
的图象性质，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点
B．图象位于第一、三象限
C．当
时，
随
的增大而增大D．图象关于原点成中心对称
8．如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（ ）
A．①和②B．①和③C．②和③D．②和④
9．已知抛物线
，
是常数，且
，下列选项中可能是它大致图像的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DPA为30°，A与P两点的距离为10千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，则天舟二号从A处到B处的距离AB的长为（ ）（参考数据：
，
）
A．2.0千米B．1.5千米C．2.5千米D．3.5千米
11．有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2
，AD=4，上面有一个以AD为直径的半圆（如图1），E为边AB上一点，将纸片沿DE折叠，A点恰好落在BC上，此时半圆还露在外面的部分（如图2，阴影部分）的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．新定义：
若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数
（
为常数）在
的图像上存在两个二倍点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．如图，在
中，
，
，
，则
______．
14．为了估计水塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2.5%左右，则鱼塘中估计有鱼______条．
15．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OA=4，则这个正六边形的边长为______．
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为_________．
17．如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数
与
的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为______．
18．在菱形
中，
，
，
，
相交于点
．将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形
的顶点
处，绕点
左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边
，
相交于点
，
，连接
与
相交于点
．旋转过程中，当点
为边
的四等分点时（
），
______．
三、解答题
19．计算：
20．如图，在
中，
、
在边
、
上，
，
，
，
，求
的长度．
21．如图，某飞机于空中
处探测到目标
，此时飞行高度
m，从飞机上看地平面指挥台
的俯角
．求飞机
与指挥台
的距离．【参考数据：
，
，
】．
22．20届年级组董老师为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：
如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．
（1）若小蕊同学转动一次A盘，求出她转出红色的概率；
（2）若小津同学同时转动A盘和B盘，请通过列表或者树状图的方式，求出她赢得游戏的概率．
23．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D=2∠CAD．
（1）求∠D的度数；
（2）若CD=1，求BD的长．
24．如图，用一段长36米的篱笆，围成一个矩形花圃，花圃的一边靠墙（墙足够长），设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．
（1）求
与
之间的函数关系式，并写出自变量
的取值范围；
（2）当
为何值时，
有最大值？
并求出最大值．
25．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（3，0），四边形OABC为平行四边形，反比例函数y=
（x＞0）的图象经过点C，与边AB交于点D，若OC=2
，tan∠AOC=1．
（1）求反比例函数解析式；
（2）点P（a，0）是x轴上一动点，求|PC-PD|最大时a的值；
（3）连接CA，在反比例函数图象上是否存在点M，平面内是否存在点N，使得四边形CAMN为矩形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图1，在
中，
，
，
，点
为斜边
上一点，过点
作射线
，分别交
、
于点
，
．
（1）问题产生
若
为
中点，当
，
时，
______；
（2）问题延伸
在
（1）的情况下，将若
绕着点
旋转到图2的位置，
的值是否会发生改变？
如果不变，请证明；如果改变，请说明理由；
（3）问题解决
如图3，连接
，若
与
相似，求
的值．
27．如图，在平面直角坐标系
中，抛物线
与
轴交于
，
两点（
在
的右侧），与
轴交于点
，已知
，
，连接
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点
为
下方抛物线上一动点，连接
、
，当
时，求点
的坐标；
（3）如图2，点
为线段
上一点，求
的最小值．
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
根据已知条件设x=3k，y=2k，再代入求出答案即可．
【详解】
解：
∵
，
∴设x=3k，y=2k，
则
，
故选：
A．
【点睛】
本题主要考查了比例的性质，正确用一个未知数k表示出x，y的值是解题关键．
2．D
【解析】
【分析】
找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可．
【详解】
解：
A、圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，错误；
B、圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误；
C、三棱锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误；
D、球的三视图完全相同，都是圆，正确；
故选D．
【点睛】
考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．
3．A
【解析】
【分析】
根据抛物线顶点式，直接求解即可．
【详解】
解：
抛物线
，
该抛物线的顶点坐标为
，
故选：
A
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．B
【解析】
【分析】
根据圆周角定理即可求解．
【详解】
∵
，
∴
=
故选B．
【点睛】
此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆周角定理的性质．
5．B
【解析】
【分析】
根据坡比的概念求出AC即可．
【详解】
根据题意可知
，
∴
，
解得：
m，
故选B．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用
坡度坡比问题，掌握坡比的概念是解题的关键．
6．B
【解析】
【分析】
要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为d，圆的半径r，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】
∵OP=3，r=6，则OP＜r，
∴点P在圆内．
故选B．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系．解题的关键是首先确定点与圆心的距离，然后与圆的半径进行比较，进而得出结论．
7．C
【解析】
【分析】
根据反比例函数图象上点的坐标特征对A进行判断；根据反比例函数的性质对B、C、D进行判断．
【详解】
A、把x=-1代入y=
得y=-2，则点（1，2）在y=
的图象上，所以A选项的说法正确；
B、k=2＞0，则双曲线y=
的两支分别位于第一、第三象限，所以B选项的说法正确；
C、当
时，
随
的增大而减小，所以C选项的说法错误；
D、图象关于原点成中心对称，所以D选项的说法正确．
故选：
C．
【点睛】
此题考查反比例函数的性质，解题关键在于掌握反比例函数y=
（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
8．A
【解析】
【分析】
分别算出四个三角形的边长，然后根据相似三角形的判定定理判断即可．
【详解】
解：
①三角形的三边的长度为：
2，2
，2
；
②三角形的三边的长度为：
，2，
；
③三角形的三边的长度为：
，3，
；
④三角形的三边的长度为：
，
，3；
∵
，
∴相似三角形的是①和②，
故选：
A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
9．D
【解析】
【分析】
根据抛物线对称轴位置和a，b的关系以及利用图象开口方向与a的关系，得出图象开口向下，对称轴经过x轴正半轴，利用图象与y轴交点和c的符号，进而得出答案．
【详解】
解：
∵抛物线
，a是常数且a＜0，
∴图象开口向下，a−2＜0，
∴图象与y轴交于负半轴，
∵a＜0，b＝2，
∴抛物线对称轴在y轴右侧．
故选：
D．
【点睛】
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确把握图象对称轴位置与a，b的关系是解题关键．
10．D
【解析】
【分析】
由含30°角的直角三角形的性质得AD=5（千米），再由锐角三角函数定义求出PD、BD的长，即可得出答案．
【详解】
解：
在Rt△APD中，∠DPA=30°，AP=10千米，∠ADP=90°，cos∠DPA=cos30°=
，
∴AD=
AP=
×10=5（千米），PD=AP•cos30°=10×
=5
（千米），
在Rt△BPD中，tan∠DPB=tan45°=
，
∴BD=PD•tan45°=5
×1=5
（千米），
∴AB=BD-AD=5
-5≈8.5-5=3.5（千米），
故选：
D．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．
11．A
【解析】
【分析】
根据折叠和直角三角形的边角关系可求出∠DAC=45°，进而求出阴影部分所在的圆心角的度数为90°，根据S阴影部分=S扇形DOF-S△ODF进行计算即可．
【详解】
解：
设阴影部分所在的圆心为O，AD与半圆弧交于点F，如图，连接OF，
由折叠的性质知：
AD=BC=4，CD=2
，
∴AC=
2
=CD，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴∠DAC=45°，
∵OD∥BC，
∴∠ODF=45°，
∴OD=OF=2，
∴∠ODF=∠OFD=45°，
∴∠DOF=180°-45°-45°=90°，
∴S阴影部分=S扇形DOF-S△ODF
=π-2．
故选：
A．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，勾股定理，扇形、三角形面积计算，掌握扇形和三角形面积计算方法是正确计算的前提，求出相应的圆心角度数和半径是正确计算的关键．
12．B
【解析】
【分析】
由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线y=2x上，由-2＜x＜4可得二倍点所在线段AB的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．
【详解】
解：
由题意可得二倍点所在直线为y=2x，
将x=-2代入y=2x得y=-4，
将x=4代入y=2x得y=8，
设A（-2，-4），B（4，8），如图，
联立方程x2-x+c=2x，
当Δ＞0时，抛物线与直线y=2x有两个交点，
即9-4c＞0，
解得c＜
，
此时，直线x=-2和直线x=4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点，
把x=-2代入y=x2-x+c得y=6+c，
把x=4代入y=x2-x+c得y=12+c，
∴
，
解得c＞-4，
∴-4＜c＜
满足题意．
故选：
B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．
13．
【解析】
【分析】
根据锐角三角函数的定义计算sinB即可．
【详解】
解：
∵在
中，
，
，
，
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查了正弦的定义，掌握正弦的定义是解题的关键．正弦值是在直角三角形中，对边的长比上斜边的长的值．
14．2000
【解析】
【分析】
由题意已知鱼塘中有记号的鱼所占的比例，用样本中的鱼除以鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
【详解】
解：
50÷2.5%=2000.
故答案为：
2000.
【点睛】
本题考查统计中用样本估计总体的思想，熟练掌握并利用样本总量除以所求量占样本的比例即可估计总量．
15．4
【解析】
【分析】
连接OB，如图，根据正六边形的性质得到∠AOB=60°，则△OAB为等边三角形，所以AB=OA=4．
【详解】
解：
连接OB，如图，
∵六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，
∴∠AOB=
=60°，OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴AB=OA=4，
即这个正六边形的边长为4．
故答案为：
4．
【点睛】
本题考查了正多边形与圆：
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆，同时掌握正多边形的有关概念．
16．x1＝-1，x2＝5##x1＝5，x2＝-1
【解析】
【分析】
根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：
设二次函数与x轴的另一交点的横坐标为x
由题意得：
（x+5）÷2=2
解得x=-1
所以方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为：
x1＝-1，x2＝5
故答案为：
x1＝-1，x2＝5
【点睛】
主要考查二次函数与方程之间的转换，熟练运用二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
17．
##
【解析】
【分析】
设A（a，
），a＞0，根据题意，利用函数关系式表示出线段OD，OE，OC，OF，EF，利用三角形的面积公式，即可得答案．
【详解】
解：
设点A的坐标为（a，
），a＞0，则OD=a，OE=
，
∴点B的纵坐标为
，
∴点B的横坐标为-
，
∴OC=
，
∴BE=
，
∵AB∥CD，
∴
，
∴EF=
OE=
，OF=
OE=
，
∴S△BEF=
EF•BE=
×
×
=
，
S△ODF=
OD•OF=
×a×
=
，
∴S阴影=S△BEF+S△ODF=
+
=
．
故答案为：
．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数的图象上点的坐标的特征，矩形的性质，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键．
18．
##0.75
【解析】
【分析】
根据菱形的性质，确定△AOB为直角三角形，然后利用勾股定理求出边AB的长度；证明△ABE≌△ACF，得到AE=AF，再根据已知条件∠EAF=60°，可以判定△AEF是等边三角形；得出∠AEF=60°，证明△CAE∽△CFG，由对应边的比例关系求出CG的长度．
【详解】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，
∴△AOB为直角三角形，且OA＝
AC＝2，OB＝
BD＝
．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB＝
＝
＝2．
∵AB＝BC＝AC＝4，
∴△ABC与△ACD均为等边三角形，
∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝60°，∠ACE＝∠EBA＝∠FCA＝60°，
又∵∠EAF＝∠CAF+∠CAE＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF．
在△ABE与△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE＝CF，AE＝AF，
∴△AEF是等腰三角形，
又∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
∴∠AEF＝60°，
∵BC＝4，E为为边BC的四等分点，且BE＞CE，
∴CE＝1，BE＝3．
∴CF＝BE＝3，
∵∠EAC+∠AEG+∠EGA＝∠GFC+∠FCG+∠CGF＝180°，∠AEG＝∠FCG＝60°，∠EGA＝∠CGF，
∴∠EAC＝∠GFC．
又∵∠ACE＝∠FCG＝60°，
∴△CAE∽△CFG，
∴
＝
，即
＝
，
解得：
CG＝
；
故答案为
．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
19．2
【解析】
【分析】
将特殊角的三角函数值代入求解．
【详解】
解：
原式＝
.
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟记几个特殊角的三角函数值．
20．
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例可得
，代入数值即可求得
，根据
即可求解．
【详解】
∵
，
∴
，即
，
∴
，
∴
．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
21．飞机
与指挥台
的距离约为2000米
【解析】
【分析】
根据
，
，代入数值直接求解即可．
【详解】
在
中，∵
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
答：
飞机
与指挥台
的距离约为2000米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，掌握正弦的定义是解题的关键．
22．
（1）
；
（2）
．
【解析】
【分析】
（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果，由表格求得她赢的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
解：
（1）∵A盘被分成面积相等的3个扇形，分别是红、黄、蓝，
∴小蕊转出红色的概率是
；
（2）∵B盘中蓝色扇形区域所占的圆角是120°，
∴蓝色区域占整体的
，
∴红色区域占整体的
，
根据题意列表如下：
红
红
蓝
红
（红，红）
（红，红）
（红，蓝）
黄
（黄，红）
（黄，红）
（黄，蓝）
蓝
（蓝，红）
（蓝，红）
（蓝，蓝）
由表可知，共有9种等可能结果，其中她赢得游戏的有3种等可能结果，
则她赢得游戏的概率是
．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
23．
（1）45°；
（2）
．
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形性质和三角形外角性质求出∠COD=2∠A，求出∠D=∠COD，根据切线性质求出∠OCD=90°，即可求出答案；
（2）求出OC=CD=2，根据勾股定理求出BD即可．
【详解】
（1）∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COD=∠A+∠ACO=2∠A，
∵∠D=2∠A，
∴∠D=∠COD，
∵PD切⊙O于C，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=∠COD=45°；
（2）∵∠D=∠COD，CD=1，
∴OC=OB=CD=1，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
∴BD=OD-OB=
．
24．
（1）S=-2x2+36x（0＜x＜18）；
（2）当x=9米时，S有最大值，最大值为162平方米．
【解析】
【分析】
（1）设AB边的长为x米，则BC=36-2x，然后利用矩形的面积公式列出函数关系式即可；
（2）利用二次函数的性质求最大值即可．
（1）
解：
∵AB边的长为x米，
∴BC边的长为（36-2x）米，
由题意，得S=AB•BC=x（36-2x）=-2x2+36x，
x>0，36-2x>0，
即0＜x＜18，
∴S与x之间的函数关系式为S=-2x2+36x（0＜x＜18）；
（2）
解：
S=-2x2+36x=-2（x-9）2+162，
∵a=-2＜0，
∴当x=9米时，S有最大值，最大值为162平方米．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．
25．
（1）
（2）|PC−PD|最大时a的值为6
（3）存在，点M的坐标为（
，
）
【解析】
【分析】
（1）先确定出OE=CE=2，即可得出点C坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）先求出OC解析式，由平行四边形的性质可得BC=OA=3，BC∥OA，AB∥OC，利用待定系数法可求AB解析式，求出点D的坐标，再根据三角形关系可得出当点P，C，D三点共线时，|PC-PD|最大，求出直线CD的解析式，令y=0即可求解；
（3）若四边形CAMN为矩形，则△CAM是直角三角形且AC为一条直角边，根据直角顶点需要分两种情况，画出图形分别求解即可．
（1）
解：
如图1，过点C作CE⊥x轴于E，
∴∠CEO=90°，
∵tan∠AOC=1，
∴∠COA=45°，
∴∠OCE=45°，
∵OC=2
，
∴OE=CE=2，
∴C（2，2），
∵点C在反比例函数图象上，
∴k=2×2=4，
∴反比例函数解析式为y=
；
（2）
解：
∵点C（2，2），点O（0，0），
∴OC解析式为：
y=x，
∵四边形OABC是平行四边形，点A坐标为（3，0），
∴BC=OA=3，BC∥OA，AB∥OC，
∴点B（5，2），
∴设AB解析式为：
y=x+b，
∴2=5+b，
∴b=-3，
∴AB解析式为：
y=x-3，
联立方程组可得：
，
∴
或
（舍去），
∴点D（4，1）；
在△PCD中，|PC-PD|＜CD，则当点P，C，D三点共线时，|PC-PD|=CD，此时，|PC-PD|取得最大值，
由
（1）知C（2，2），D（4，1），设直线CD的解析式为：
y=mx+n，
∴
，解得
，
∴直线CD的解析式为：
y=
x+3，
令y=0，即
x+3=0，得x=6，
∴|PC-PD|最大时a的值为6；
（3）
（3）存在，理由如下：
若四边形CAMN为矩形，则△CAM是直角三角形，
则①当点A为直角顶点时，如图2，过点A作AC的垂线与y=
交于点M，分别过点C，M作x
升级会员 