答案 充要
6.与三角函数的交汇
例6 在△ABC中,“A>
”是“sinA>
”的__________条件.
解析 在△ABC中,当A>
且A∈
时,sinA<
,故“A>
”不是“sinA>
”的充分条件.但当sinA>
时,A>
一定成立,所以“A>
”是“sinA>
”的必要不充分条件.
答案 必要不充分
7.与立体几何的交汇
例7 已知E,F,G,H是空间四个点,命题甲:
E,F,G,H四点不共面,命题乙:
直线EF和GH不相交,则甲是乙成立的____________条件.
解析 由空间点的位置关系知,E,F,G,H四点不共面,则直线EF和GH不相交,反之,未必成立,故甲是乙成立的充分不必要条件.
答案 充分不必要
5 命题和充要条件错误剖析
1.考虑不周出错
例1 判断命题的真假:
函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点,则a=-1.
错解 因为函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点,所以Δ=22-4×(-1)×a=0,即a=-1.所以该命题是真命题.
剖析 出现上述错解的主要原因是由于没考虑到函数f(x)的最高次项系数含字母参数a,应对字母参数是否为零进行讨论.
正解 当a=0时,函数f(x)为一次函数,此时函数只有一个零点;当a≠0时,函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点,所以Δ=22-4×(-1)×a=0,即a=-1.所以,函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点,则a=-1或a=0.故原命题为假命题.
2.否命题否定错误
例2 写出命题“若m2+n2+a2+b2=0,则实数m、n、a、b全为零”的否命题.
错解 否命题为:
若m2+n2+a2+b2=0,则实数m、n、a、b全不为零.
剖析 否命题是将原命题的条件和结论分别否定.错解是条件没有否定,而结论否定为“不全为零”,却错误地写为“全不为零”.
正解 该命题的否命题为:
“若m2+n2+a2+b2≠0,则实数m、n、a、b不全为零”.
3.判断充要条件时出错
例3
(1)设x∈R,则x>2成立的必要条件有________.(填上所有正确的序号)
①x>1;②x<1;③x>3;④x<3;⑤x>0.
错解 因为x>3⇒x>2,所以x>2的一个必要条件为x>3.
答案 ③
剖析 错解的主要原因是没弄清“a是b的必要条件”和“a的必要条件是b”的真正含义,前者等价于b⇒a;后者等价于“b是a的必要条件”,即a⇒b.
正解 因为x>2⇒x>1,所以x>2的一个必要条件为x>1.同理x>2⇒x>0,所以x>2的一个必要条件为x>0.
答案 ①⑤
(2)命题p:
“向量a与向量b的夹角θ为锐角”是命题q:
“a·b>0”的__________条件.
错解 若向量a与向量b的夹角θ为锐角,
则cosθ=
>0,即a·b>0;反之也成立,所以p是q的充要条件.
答案 充要
剖析 判断两个命题是否可以相互推导时,要注意特殊情况的判断,以防判断出现错误.
正解 若向量a与向量b夹角θ为锐角,则cosθ=
>0⇒a·b>0;而当a·b>0时,θ=0°也成立,但此时a与b夹角不为锐角.故p是q的充分不必要条件.
答案 充分不必要
6 例析逻辑用语中的常见误区
误区1 所有不等式、集合运算式都不是命题
例1 判断下列语句是不是命题,若是命题,判断其真假:
(1)x+2>0;
(2)x2+2>0;
(3)A∩B=A∪B; (4)A⊆A∪B.
错解
(1)、
(2)、(3)、(4)都不是命题.
剖析
(1)中含有未知数x,且x不确定,所以x+2的值也不确定,故无法判断x+2>0是否成立,不能判断其真假,故
(1)不是命题;
(2)x虽为未知数,但x2≥0,所以x2+2≥2,故可判断x2+2>0成立,故
(2)为真命题.
(3)若A=B,则A∩B=A∪B=A=B;
若AB,则A∩B=AA∪B=B.
由于A,B的关系未知,所以不能判断其真假,故(3)不是命题.
(4)A为A∪B的子集,故A⊆A∪B成立,故(4)为真命题.
正解
(2)、(4)是命题,且都为真命题.
误区2 原命题为真,其否命题必为假
例2 判断下列命题的否命题的真假:
(1)若a=0,则ab=0;
(2)若a2>b2,则a>b.
错解
(1)因为原命题为真命题,故其否命题是假命题;
(2)因为原命题为假命题,故其否命题为真命题.
剖析 否命题的真假与原命题的真假没有关系,否命题的真假不能根据原命题的真假来判断,应先写出命题的否命题,再判断.
正解
(1)否命题:
若a≠0,则ab≠0,是假命题;
(2)否命题:
若a2≤b2,则a≤b,是假命题.
误区3 用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论
例3
(1)已知p:
方程(x-11)(x-2)=0的根是x=11;q:
方程(x-11)(x-2)=0的根是x=2,试写出p∨q.
(2)p:
四条边相等的四边形是正方形;q:
四个角相等的四边形是正方形,试写出p∧q.
错解
(1)p∨q:
方程(x-11)(x-2)=0的根是x=11或x=2.
(2)p∧q:
四条边相等且四个角相等的四边形是正方形.
剖析
(1)
(2)两题中p,q都是假命题,所以“p∨q”,“p∧q”也都应是假命题.而上述解答中写出的两命题却都是真命题.错误原因:
(1)只联结了两个命题的结论;
(2)只联结了两个命题的条件.
正解
(1)p∨q:
方程(x-11)(x-2)=0的根是x=11或方程(x-11)(x-2)=0的根是x=2.
(2)p∧q:
四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形.
误区4 对含有一个量词的命题否定不完全
例4 已知命题p:
存在一个实数x,使得x2-x-2<0,写出綈p.
错解一 綈p:
存在一个实数x,使得x2-x-2≥0.
错解二 綈p:
对任意的实数x,都有x2-x-2<0.
剖析 该命题是存在性命题,其否定是全称命题,但错解一中得到的綈p仍是存在性命题,显然只对结论进行了否定,而没有对存在量词进行否定;错解二中只对存在量词进行了否定,而没有对结论进行否定.
正解 綈p:
对任意的实数x,都有x2-x-2≥0.
误区5 忽略了隐含的量词
例5 写出下列命题的否定:
(1)p:
若2x>4,则x>2;
(2)p:
可以被5整除的数末位是0;
(3)p:
能被8整除的数也能被4整除.
错解
(1)綈p:
若2x>4,则x≤2.
(2)綈p:
可以被5整除的数末位不是0.
(3)綈p:
能被8整除的数不能被4整除.
剖析 由于有些全称命题或存在性命题隐含了量词,从而导致未变化量词而直接否定结论出现错误.
正解
(1)綈p:
存在x,使得若2x>4,则x≤2.
(2)綈p:
存在可以被5整除的数末位不是0.
(3)綈p:
存在能被8整除的数不能被4整除.
7 解“逻辑”问题的三意识
1.转化意识
由于互为逆否的两个命题同真假,因此,当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时,可以转化为逆否命题的真假来判断或证明.
例1 证明:
若a2-b2+2a-4b-3≠0,则a-b≠1.
分析 本题直接证明原命题是真命题,显然不太容易,可考虑转化为证明它的逆否命题是真命题.
证明 命题“若a2-b2+2a-4b-3≠0,则a-b≠1”的逆否命题是“a-b=1,则a2-b2+2a-4b-3=0”.由a-b=1,得a2-b2+2a-4b-3=(a+b)(a-b)+2(a-b)-2b-3=a-b-1=0.
∵原命题的逆否命题是真命题,
∴原命题也是真命题.
故若a2-b2+2a-4b-3≠0,则a-b≠1.
例2 已知p:
x2-8x-20>0,q:
x2-2x+1-a2>0,若p是q的充分不必要条件,求正实数a的取值范围.
分析 将充分、必要条件转化为集合之间的关系,进而转化为集合运算问题.
解 解不等式x2-8x-20>0,
得p:
A={x|x>10或x<-2};
解不等式x2-2x+1-a2>0,
得q:
B={x|x>1+a或x<1-a,a>0}.
依题意p⇒q,但q⇏p,说明AB.
于是有
或
解得0所以正实数a的取值范围是(0,3].
2.简化意识
判断命题真假的关键:
一是识别命题的构成形式;二是分别将各命题简化,对等价的简化命题进行判断.
例3 已知命题p:
函数y=log0.5(x2+2x+a)的值域为R,命题q:
函数y=-(5-2a)x是R上的减函数.若p或q为真命题,p且q为假命题,则实数a的取值范围是________.
分析 先将命题p,q等价转化,再根据题意构建关于a的关系式,从而得到a的取值范围.
解析 函数y=log0.5(x2+2x+a)的值域为R,即y=x2+2x+a的值域是(0,+∞),即在方程x2+2x+a=0中,Δ=4-4a≥0⇔a≤1,即p真⇔a≤1;
函数y=-(5-2a)x是减函数⇔5-2a>1⇔a<2,
即q真⇔a<2.
由p或q为真命题,p且q为假命题知,命题p,q中必有一真一假.若p真q假,则无解;若p假q真,则1故满足题意的实数a的取值范围是(1,2).
答案 (1,2)
点评 若命题“p或q”“p且q”中含有参数,求解时,可以先等价转化命题p,q,直至求出这两个命题为真时参数的取值范围,再依据“p或q”“p且q”的真假情况确定参数的取值范围.
3.反例意识
在“逻辑”中,经常要对一个命题的真假(尤其是假)作出判断,若直接从正面判断一个命题是假命题不易进行,这时可以通过举出恰当的反例来说明,这是一个简单有效的办法.
例4 设A,B为两个集合,则下列四个命题中真命题的序号是________.
①A⊈B⇔对任意x∈A,都有x∉B;
②A⊈B⇔A∩B=∅;
③A⊈B⇔B⊈A;
④A⊈B⇔存在x∈A,使得x∉B.
分析 画出表示A⊈B的Venn图进行判断.
解析 画出Venn图,如图1所示,则A⊈B⇔存在x∈A,使得x∈B,故①②是假命题,④是真命题.
A⊈B⇒B⊈A不成立的反例如图2所示.同理可得B⃘A⇒A⃘B不成立.故③是假命题.
综上知,真命题的序号是④.
答案 ④