高中数学新教材必修第一册第二章23 二次函数与一元二次方程不等式南开题库含详解.docx

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高中数学新教材必修第一册第二章23二次函数与一元二次方程不等式南开题库含详解

高中数学新教材必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式（南开题库）

一、选择题（共40小题；共200分）

1.集合，，则

A.B.C.D.

2.设，则""是""的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知函数的图象如右图，则不等式的解为

A.B.

C.D.

4.已知集合，，则

A.B.

C.D.

5.设集合，，则

A.B.C.D.

6.已知集合的子集有个，则实数的取值范围为

A.B.C.D.

7.已知全集且，则等于

A.B.C.D.

8.不等式的解集是

A.B.

C.D.

9.设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点

A.必在圆内B.必在圆上

C.必在圆外D.以上三种情形都有可能

10.“成立”是“成立”的

A.充分必要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

11.已知，，，若，则一定有

A.B.

C.，的大小不定D.以上都不对

12.不等式的解集为

A.B.

C.D.

13.设函数则不等式的解集是

A.B.

C.D.

14.已知函数，则函数的零点个数为

A.B.C.D.

15.已知，，，则，，的大小关系为

A.B.C.D.

16.已知时，不等式恒成立，则的取值范围是

A.B.

C.D.

17.下列四个函数中，在闭区间上单调递增的函数是

A.B.C.D.

18.“”是“函数在区间上为增函数”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

19.不等式的解集为

A.B.

C.D.

20.若不等式对任意的恒成立，则

A.B.，C.，D.

21.已知函数则对任意，，若，下列不等式成立的是

A.B.

C.D.

22.已知函数．若，则

A.，B.，C.，D.，

23.“”是“”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

24.设函数，若，则的值为

A.正数B.负数C.非负数D.正负不能确定

25.已知不等式的解集是，则不等式的解集是

A.B.

C.D.

26.设函数，若恒成立，则实数的取值范围是

A.B.C.D.

27.设为常数，对于，，则的取值范围是

A.B.C.D.

28.已知，若不等式的解集为，则函数的图象为

A.

B.

C.

D.

29.若函数在上为减函数，则实数的取值范围为

A.B.C.D.

30.设．若存在，使，则实数的取值范围是

A.B.

C.D.

31.已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则，，的大小关系为

A.B.C.D.

32.已知函数，为实数，若，则的取值范围是

A.B.C.D.

33.已知，则“”是“函数在上是减函数”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要

34.设定义在上的函数，对于任一给定的正数，定义函数，则称函数为的“界函数”．关于函数的界函数，结论不成立的是

A.B.

C.D.

35.设，，则非是非的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

36.设正数，满足，若不等式有解，则实数的取值范围是

A.B.C.D.

37.已知函数是定义域为的偶函数．当时，若关于的方程有且仅有个不同的实数根，则实数的取值范围是

A.B.

C.D.

38.设，若关于的不等式的解集中的整数恰有个，则

A.B.C.D.

39.已知函数，，若对于任意实数，函数与的值至少有一个为正值，则实数的取值范围是

A.B.C.D.

40.设方程和方程的根分别为和，设函数，则

A.B.

C.D.

二、填空题（共40小题；共200分）

41.设集合，，则 ．

42.已知的单调区间为．

43.关于的不等式的解集为，且，则 ．

44.已知集合，集合，若，则实数 ．

45.已知集合，，若，，则实数等于 ．

46.已知集合，集合，则 ．

47.若不等式的解集是，则的值为 ．

48.不等式的解集为，则不等式的解集为 ．

49.定义，已知函数，其中，，若，则实数的范围为 ；若的最小值为，则 ．

50.已知函数，若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是 ．

51.设，，，，，均为非零实数，不等式和的解集为和，那么是的 条件．

52.已知函数，若存在实数，对任意，都有，则的最大值是 ．

53.已知函数满足，当时总有，若，则实数的取值范围是 ．

54.若函数定义域为，则的取值范围是 ．

55.已知函数，函数，那么函数的零点个数为 ．

56.函数，关于的方程至少有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 ．

57.若等差数列满足，，则当 时，的前项和最大．

58.若不等式的解集为，则 ．

59.已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为 ．

60.设函数若，则函数的零点个数有 ．

61.若函数是奇函数，则满足的的取值范围是 ．

62.已知函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是 ．

63.若不等式在区间上有解，则实数的取值范围是 ．

64.若关于的不等式的解集是，则 ．

65.已知，，，，是互不相同的正数，且，则的取值范围是 ．

66.不等式对任意及任意恒成立，则实数的取值范围是 ．

67.已知，，若同时满足条件：

①，或；②时，，则的取值范围是 ．

68.已知，函数．若对任意，恒成立，则的取值范围是 ．

69.已知函数，．若方程恰有个互异的实数根，则实数的取值范围为 ．

70.已知，函数．若关于的方程恰有个互异的实数解，则的取值范围是 ．

71.已知函数若，则实数的取值范围是 ．

72.若关于的不等式的解集中的整数恰有个，则实数的取值范围是 ．

73.若不等式的解集为，则实数的取值范围是 ．

74.若正实数，满足，则的最大值为 ．

75.已知函数，对于任意实数，总存在实数，当时，有恒成立，则的取值范围为 ．

76.已知函数，如果，使．且，都有成立．又若关于的不等式的解集为，则实数的值为 ．

77.已知函数与，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围是 ．

78.对一切实数，二次函数的值均为非负实数，则的最大值是 ．

79.如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是函数的一个“均值点”．如是上的“平均值函数”，就是它的“均值点”．现有函数是上的“平均值函数”，则实数的取值范围是 ．

80.若在区间上有最大值，则的值为 ．

三、解答题（共20小题；共260分）

81.一全服装厂生产风衣，月销售量（件）与售价（元/件）之间的关系为，生产件的成本（元）．

（1）当该厂月产量多大时，月利润不少于元?

（2）当月产量为多少时，可获得最大利润?

最大利润是多少?

82.已知不等式．

（1）当时，解不等式；

（2）当时，解不等式．

83.利用函数的性质（如单调性与奇偶性）来解不等式是我们常用方法，通过下列题组体会此方法的适用范围及应注意什么问题?

（1）已知函数，则不等式的解集为 ．

（2）已知定义在上的奇函数在时满足，且在恒成立，则实数的最大值是 ．

（3）已知函数，则不等式的解集是 ．

84.已知．

（1）解关于的不等式；

（2）当不等式的解集为时，求实数，的值．

85.已知函数，满足，．

（1）求函数的解析式；

（2）当时，求函数的最大值和最小值．

（3）若函数的两个零点分别在区间和内，求的取值范围．

86.已知不等式的解集为．

（1）求实数，的值；

（2）解不等式．

87.命题：

关于的不等式的解集是空集，命题：

已知二次函数满足，且当时，最大值是，若命题“且”为假，“或”为真，求实数的取值范围．

88.

（1）作函数的图象；

（2）作函数的图象．

89.设函数．

（1）若对于一切实数，恒成立，求的取值范围；

（2）对于，恒成立，求的取值范围．

90.已知集合，．

（1）当时，求；

（2）求使的实数的取值范围．

91.已知函数，满足，

（1）求函数的解析式；

（2）当时，求函数的最大值和最小值．

（3）若函数的两个零点分别在区间和内，求的取值范围．

92.已知集合，．

（1）当时，求；

（2）求使的实数的取值范围．

93.已知函数（，为实数，，）．

（1）若函数的图象过点且方程有且只有一个根，求的表达式；

（2）在

（1）的条件下，当时，是单调函数，求实数的取值范围．

94.设函数的定义域为，集合．

（1）若，求；

（2）若集合中恰有一个整数，求实数的取值范围．

95.设二次函数，函数的两个零点为，（）．

（1）若，，求不等式的解集；

（2）若，且，比较与的大小．

96.一个服装厂生产风衣，月销售量（件）与售价（元件）之间的关系为，生产件的成本元．

（1）该厂月产量多大时，月利润不少于元?

（2）当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少?

97.已知，命题：

对任意，不等式恒成立；命题：

存在，使得成立．

（1）若为真命题，求的取值范围；

（2）当时，若且为假，或为真，求的取值范围；

（3）若且是的充分不必要条件，求的取值范围．

98.设二次函数满足条件：

①当时，的最大值为，且成立；②二次函数的图象与直线交于，两点，且．

（1）求的解析式；

（2）求最小的实数，使得存在实数，只要当时，就有成立．

99.已知函数．

（1）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围；

（2）当时，解关于的不等式．

100.已知关于的不等式．

（1）当时，解不等式；

（2）当时，解不等式．

答案

第一部分

1.B【解析】因为集合，所以，所以．

2.A

3.C

4.C【解析】由，得，

所以，

由，得，

所以．

5.D

【解析】，，故．

6.C

7.D

8.D

9.A

10.C

11.B

12.D【解析】原不等式化为，即或

解得或，即且．

13.A【解析】，当时，，解得或；当时，，解得．

14.C【解析】，

，

当时，函数有个零点；

当时，函数有个零点，

所以函数的零点个数为．

15.D

【解析】因为，

，

，

所以．

16.C【解析】令，则由已知得函数的图象恒在轴的上方，

即或

解得．

17.B【解析】①在单调递减，故A不正确；

②在闭区间上单调递增，故B正确；

③在无意义，故C不正确；

④在单调递减，故D不正确．

18.A

19.D【解析】原不等式化为，即或解得或，即且．

20.B

21.D【解析】函数的图象如图所示：

且，从而函数是偶函数且在上是增函数．

又，

所以，即．

22.B【解析】因为，即，所以；

又，即，所以，即，所以，故．

23.A【解析】当时，成立，所以充分条件成立；

当时，或，所以必要条件不成立．

24.A

25.A

【解析】由题意知，是方程的根，所以由根与系数的关系得，，解得，，不等式即为，解集为．

26.C

27.B【解析】对于，，

则必有或，

所以．

28.B【解析】由题意知的两根为，．

由根与系数的关系得，，

得，，

所以（经检验知满足题意），

所以，其图象开口向下，顶点为．

29.C【解析】令，，

因为在定义域上为减函数，且复合函数在上为减函数，

所以在上必为增函数，

所以得

即．

30.C

【解析】．

31.D【解析】由为偶函数得，，

所以，解得，

所以．

因为，，

所以，，

又，故．

32.A

33.A【解析】时，函数在上是减函数，

时，，

若函数在上是减函数，

则，解得，

因此“”是“函数在上是减函数”的充分不必要条件．

34.B【解析】因为函数，，

所以，

所以A．，，故A成立；

B．，，故B不成立；

C．，，故C成立；

D．，，故D成立．

35.A

36.C【解析】因为，即，

所以，

因为，

所以，

因为，

所以，

令，则，

设，

因为不等式有解，

所以在上的最大值，

（）当时，，

所以，不符合题意；

（）若，则开口向下，对称轴为，

所以在上单调递减，

所以，不符合题意；

（）若，则开口向上，对称轴为，

（ⅰ）若，即时，在上单调递增，

所以，符合题意；

（ⅱ）若，即时，在上单调递减，

所以，不符合题意；

（ⅲ）若，即时，在上先减后增，

所以或，

所以或，

解得或，又，

所以，

综上，的取值范围是．

37.D【解析】由题意，作出的图象．

在和上递增，在和上递减；

当时，取得极大值；

当时，取得极小值．

设，则符合题意的情况为：

①，，此时；

②，，此时．

综上所述，．

38.C【解析】由原不等式，得．

因为解集中的整数有个，所以此二次不等式对应的函数一定是二次函数，且图象的开口方向向下，即二次项系数小于，即有．

于是由不等式得．

因为，所以，

由此，解集中的整数一定为，所以，即．

于是，且，又，

故，且，解得，

所以的取值范围为．

39.C【解析】当时，

函数的图象为开口向下的抛物线，所以在时，不恒成立．

函数当时，．

所以不满足题意．

当时，，，不满足题意．

当时，

需在时恒成立，

所以令或

即或

解得或．综合得：

．

40.A

第二部分

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

【解析】因为的解集是，

所以，即．于是原不等式可化为，，其解集为，则方程的两根为和．由解得．

48.

【解析】由题设条件知：

，，，是的两根．又因为且，所以，所以，即所求不等式的解集为．

49.；

【解析】做出函数的图象如图，

要使需，要使的最小值为，需在第一象限的交点纵坐标为，从而得，故有．

50.

【解析】因为，所以

等价于，从而，要使的解集为空集，根据函数的图象，则需与至多有一个交点．

又因为，所以，

解得．

51.既不充分也不必要

52.

【解析】因为存在，对于任意，，即成立，

所以．

53.或

【解析】因为，所以是偶函数．因为当时总有，所以当时，单调递增，当时，单调递减．所以等价于，即，解得或．

54.

【解析】因为函数定义域为，

所以恒成立，即恒成立，

则，解得．

55.

【解析】由题意知．

因为，

．

所以．

在同一平面直角坐标系中分别画出函数，的图象如图所示，

由图象可知，函数只有两个零点．

56.且

【解析】由至少有两个不相等的实数根，得至少有两个不相等的实数根，

设，则等价为与至少有两个不同的交点，

作出函数的图象如图：

，过定点，

当时，的导数，

在处，，

当时，与平行，

此时两个图象只有一个交点，不满足条件．

当时，两个函数有两个不相等的实数根，

当时，两个函数有个不相等的实数根，

当时，当直线经过点时，两个图象有两个交点，此时，即，

当时，两个图象有个交点，

综上要使方程至少有两个不相等的实数根，则且．

57.

【解析】由已知

．

因为，，

所以当时，有最大值．

58.

【解析】因为不等式的解集为，

所以，是方程的两根，则根据根与系数关系可得，，

所以，，

所以．

59.

60.

【解析】由，解得．因为函数的图象与函数的图象有个交点，所以函数有个零点．

61.

62.

【解析】因为二次函数的图象开口向上，

对于任意，都有成立，

所以

即解得．

63.

【解析】由，知方程恒有两个不等实根．

又知两根之积为负，

所以方程必有一正根、一负根．

于是不等式在区间上有解的充要条件是，解得，

故实数的取值范围为．

64.

【解析】因为，是方程的两个根，

所以解得

所以．

65.

【解析】函数的图象如下图所示：

若，，，互不相同，且，

不妨令，

则，，

则，即，

则，

由得，

得或，

同时，，

因为，关于对称，所以，

则，

同时，

因为，

所以当时，，

当时，，

所以，

即．

66.

67.

【解析】①因为对于，当时，；当时，．

又，或，所以在时恒成立．

所以令，所以．

②因为当时，恒成立，

所以存在，使得成立．

所以或

解出．

综上所述，．

68.

69.

【解析】在同一坐标系中画和的图象（如图），

问题转化为与图象恰有四个交点．

当与（或与）相切时，与图象恰有三个交点．

把代入，得，即，

由，得，解得或．

又当时，与仅两个交点，

所以或．

70.

71.

【解析】由的图象可知在上是单调递增函数，由得，即，解得．

72.

【解析】原不等式化为，由及，得，于是不等式的解集是．由于，所以要使解集中的整数恰有个，必须，解得．

73.

74.

【解析】方法一：

令．

则，代入已知等式，得，

整理得．

因为总存在正实数使得等式成立，

所以，

即，

解得．

当时，为正值，

所以的最大值为．

方法二：

由题意知，整理得．

令，，其中，且，

所以，，

所以．

即所求的最大值为．

75.

76.

77.

【解析】若对任意的，都存在，使得，则有函数的值域是函数值域的子集．

，有；

①当时，；有解得；

②当时，；有，解得；

③当时，；有，解得；

④当，；有解得；

综上实数的取值范围是．

78.

【解析】设，则，由题意知，，即，即．

故

当且仅当即时取等号．

79.

【解析】因为函数是上的“平均值函数”，

所以，即关于的方程在内有实数根，即在内有实数根，

若，方程无解，

所以，

所以解得（舍去）或，

所以，即，

所以实数的取值范围是．

80.或

【解析】函数图象的对称轴为直线．

当，即时，是的单调