概率论分赌注问题.docx

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概率论分赌注问题

概率论分赌注问题

分赌注问题

小论文报告

问题来源：

分赌注问题是统计学历史上最著名的问题。

1654年,职业赌徒德·梅累向法国数学家帕斯卡（B.Pascal,1623-1662）提出一个使他苦恼很久的分赌本问题：

甲、乙两赌徒赌技相同，各出赌注50法郎，每局中无平局。

他们约定，谁先赢三局则得到全部100法郎的赌本。

当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌博。

现问这100法郎如何分才算公平？

（1）文献综述﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1

（2）相关知识﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2

（3）应用实例﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3

（4）总结感受﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒4

（5）文献列表﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒5

（一）文献综述

<<浅谈分赌注问题>>

主要内容：

本文以通俗的语言介绍概率发展史上一个著名的问题—分赌注问题，并讨论它的简单解法，给出简单的实际应用。

应用：

甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，可采用5局3胜制或者7局4胜制进行比赛，问采取哪一种比赛制对甲有利？

这一问题实际上是问采取哪一种赛制，甲获胜的概率更大。

因此，只需在5局3胜制或者7局4胜制中，分别计算甲获胜的概率即可，且这两个概率是分赌注问题的特殊情形。

推出结论：

如果每局甲获胜的概率比输的概率大，则多比赛几局对甲是有利的。

<<分赌注问题的一个推广>>

主要内容：

分赌注问题是个很有名的问题，但一般的分赌注只研究两个人分赌注，如果三个人分赌注该如何呢？

本文在详细讨论了两个人分赌注的前提下，推广到了三个人分赌注的情况。

方法：

二项分布

应用：

甲乙二人扔硬币比赛，约定出现正面得一分，谁先得三分就获胜；如果出现双方都得两分的情况，则视为平局，此后比赛继续下去，谁能比对方多得两分，谁就获胜现比赛进行到甲得两分，乙得一分时感觉成绩不如甲，有退赛的想法，问如果继续比赛下去，乙获胜的概率还有多大？

改进：

在详细讨论了两个人分赌注的前提下，推广到了三个人分赌注的情况。

<<启蒙视野中的概率期望思想>>

主要内容:

尽管由帕斯卡和惠更斯等人所启动的概率论这门学科被称作概率演算,但早期概率学者研究的一个中心问题是期望而不是概率。

早期概率论中对于数学期望的强调是由于这个概念承载了当时常用的/期望0术语的两种不同的定性含义,一是人们对于法律中公平公正的期望,另一种是源于经济学中的公平获利的思考。

这两重含义使得它成为将数学概率与社会科学连接起来的桥梁,并将概率论与理性和道德科学的启蒙观念联系在一起,于是对于期望思想的探讨便成为17、18世纪启蒙思想实践的一部分。

然而至19世纪,随着启蒙运动的结束,这个议题失去了其主要的素材来源,也失去了有效性的判断标准,随之期望作为概率论研究的中心地位也就被其它方面的研究取而代之了。

方法：

历史分析和文献考证。

<<惠更斯的14个概率命题研究>>

主要内容：

系统探讨和分析惠更斯在《论赌博中的计算》中所给出的14个概率命题,以揭示其概率思想。

结果：

惠更斯首次提出数学期望的概念,创立了/惠更斯分析法0,第一次把概率论建立在公理、命题和问题上而构成一个较完整的理论体系,第一次将以往概率论知识系统化、公式化及一般化。

结论惠更斯的概率思想奠定了概率论的基础,且对今日数学创造仍有重要启发意义。

方法：

历史分析和文献考证。

<<惠更斯与概率论的奠基>>

主要内容:

惠更斯是概率论学科的奠基者之一。

其《论赌博中的计算》是第一部概率论著作,该书首次提出数学期望的概念,创立了“惠更斯分析法”,第一次把概率论建立在公理、命题和问题上而构成一个较完整的理论体系。

方法：

历史分析和文献考证。

<<惠更斯的5个概率论问题>>

主要内容及改进：

惠更斯在第一部概率论著作<<论赌博中的计算>>中提出5个概率问题，但均无求解过程。

这5个问题即可看作实际问题，又可看作该书中的命题延伸，这些问题以机会问题为研究对象，把赌博问题的分析提升到一定的理论高度。

这就为概率论的进一步发展奠定了坚实的基础。

本文尝试以惠更斯的方法来解决这些问题，再对比今日所用之法，从中得到若干结论。

方法：

文献考察，历史分析，理论验证

（二）相关知识

1.二项式定理

2.二项分布概率公式P（X=k）=C（n,k）（p^k）*（1-p）^（n-k）,n是试验次数,k是指定事件发生的次数,p是指定事件在一次试验中发生的概率。

3.一人进行某种概率实验，实验可以独立重复进行，每一次实验获胜的概率是p1，失败的概率是p2=1-p1。

则n1次获胜在n2次失败之前的概率是Pn1，n2=

4.甲乙二人进行某种比赛，比赛重复独立进行，每次比赛甲获胜的概率是p1，乙获胜的概率是p2=1-p1。

则甲获胜n1次在乙获胜n2次之前的概率是Pn1,n2=

5.一人进行某种概率实验，实验可以独立重复进行，每一次试验获胜的概率是p1，失败的p2=1-p1。

则n1次获胜在n2次失败之前的概率是Pn1,n2=

6.惠更斯的14个概率命题

公理每个公平博弈的参与人愿意拿出经过计算的公平赌注冒险而不愿拿出更多的数量。

即赌徒愿意押的赌注不大于其获得赌金的数学期望数[2]。

命题1若在赌博中获得赌金a和b的概率相

等,则数学期望值为（a+b）/2。

命题2若在赌博中获得赌金a,b和c的概率相等,则数学期望值为（a+b+c）/3。

命题3若在赌博中分别以概率p和q（p\0,q\0,p+q=1）获得赌金a和b,则数学期望值为

pa+qb。

命题4假设2人一起赌博,离全胜所差局数分别为1,2时,其赌注应如何分?

命题5假设2人一起赌博,离全胜所差局数分别为1,3时,其赌注应如何分?

命题6假设2人一起赌博,离全胜所差局数分别为2,3时,其赌注应如何分?

命题7假设2人一起赌博,离全胜所差局数分别为2,4时,其赌注应如何分?

命题8假设3人一起赌博,离全胜所差局数分别为1,1,2时,其赌注应如何分?

命题9假设若干人一起赌博,给出其离全胜所差局数,其赌注应如何分?

命题10一颗骰子连掷多少次有利于/至少出现一个6点0?

命题11两颗骰子连掷多少次有利于/至少出现一对6点0?

命题12一次掷多少颗骰子有利于/至少出现一对6点0?

命题13甲、乙2人赌博,将两颗骰子掷一次,若其点子和为7则甲赢,为10则乙胜,为其他点则平分赌注。

试求2人分配赌注的比例。

命题14A,B2人轮流掷两颗均匀的骰子,若A先掷出7点,则A胜;若B先掷出6点,则B胜。

B先掷,求A获胜的概率。

（三）应用实例

※惠更斯的5个概率问题

问题1　两人玩掷双骰子游戏。

若A掷出6点则赢,而B掷出7点胜。

A先掷一次后,B掷二次,A再掷二次,如此下去直至一方获胜。

A与B的胜负比是多少？

问题2　一袋中装有4个白球8个黑球,3人蒙住眼睛轮流摸球。

先得白球者获胜,求三人获胜的机会比。

惠更斯在其1665年的笔记中给出问题答案为9∶6∶4。

问题3　有40张牌,每种花色10张。

甲同乙打赌他能抽出花色不同的4张牌,每人投的赌注应是多少?

问题4　一袋中装有4个白球8个黑球,甲同乙打赌他能在摸出的7个球中含有3个白球。

求二人获胜的机会比。

问题5　二人玩掷三颗骰子游戏,甲乙各有12个筹码,若掷出11点,甲给乙一个筹码,而掷出14点,则乙给甲一个筹码,直至两人中有一人输光。

求甲乙获胜的机会比。

※A，B二人赌博，各出注金

元。

每局各人获胜概率都是

，约定：

谁先胜S局，即赢得全部注金

元。

现进行到A胜

局，B胜

局，（

和

都小于

）时赌博因故停止，问此时注金

应如何分配给A和B，才算公平？

解：

注金应按之比分配给A和B，

因 和是A、B在当时状态下的期望值。

至多再赌

局，即能分出胜负。

为A获胜，他在这

局中至少须胜

局。

因此按二项分布，A取胜的概率为

而B取胜的概率为

.

※设盒中有三个大小相同颜色不同的球，分别是红黄蓝。

现甲乙丙三人从中各自取一球，三方各出资50元，约定甲取得红球得一分，乙取得黄球得一分，丙取得蓝球得一分，三人规定谁先得到3分谁就获胜，获胜者得到全部的赌资150元。

现实验进行到甲得2分，乙得2分，丙得1分时停止，问甲乙丙应该如何分配150元资本？

（答案见右侧图片）

※甲乙二人进行某种比赛，比赛重复独立进行，每次比赛甲获胜的概率是p1，乙获胜的概率是p2=1-p1。

则甲获胜n1次在乙获胜n2次之前的概率是Pn1,n2=

（证明见右侧）

（四）总结感受

远自1654年职业赌徒德·梅累向法国数学家帕斯卡提出的一个分赌本问题，无意间成为了开启了概率论时代的敲门砖。

意大利数学家卡尔丹写出的《游戏的机遇学说》，讨论了两人赌博中断，如何分赌本的问题。

16世纪，意大利数学家帕乔利、塔塔利亚等人也讨论过这种问题，直到今天，依然有人在探讨分赌注问题。

“分赌注”的魅力可见一斑。

几篇文献分别以不同的侧重探讨了这一问题，在总结帕斯卡，惠更斯等人的理论成就的基础上，进行了更进一步的论述，有一些实际的应用，亦有一些拓展。

在<<分赌注问题的一个推广>>中，将一般的分赌注只研究两个人分赌注，推广到了三个人分赌注该如何分。

而<<启蒙视野中的概率期望思想>>则探讨了分赌注的期望问题。

分赌注问题源远流长，曾有过各式各样的求解方法。

设你和我打赌，可以是任何赌法，各出50元赌本，先赢6局者拿走100元。

但是赌到5：

3你领先时被迫停止，不能继续。

现在的问题是：

100元中你我各应该分到多少钱？

 •分法1朴素法（5：

3，你62.5元，我37.5元）：

就按比分5：

3分钱。

  •分法2 均胜局法（7：

1，你87.5元，我12.5元）：

应该按取得最终胜利的可能性来分。

我需要连胜3局才赢，你只需要在我连胜3局之前胜1局就赢。

假设胜1局的可能性都是1/2，则我赢的可能性是（1/2）3＝1/8，你赢的可能性是7/8。

  •分法3 最大似然法（485：

27，你94.73元，我5.27元）：

仍按最终赢的可能性来分，但胜1局的可能性不应该是1/2，而应该根据当前比分作最大似然估计，即你胜1局的可能性为5/8，我胜1局的可能性为3/8。

我最后赢的可能性，即应该拿到的份额，应该是（3/8）3=27/512。

  •分法4 贝叶斯法（10：

1，你90.91元，我9.09元）：

该法考虑了你胜1局的概率p的期望分布 ，则你最后赢的期望概率为根据贝叶斯定律：

其中 为先验概率分布，在此采用无信息先验，可从公式中去掉，所以解出10：

1

最终通过计算机模拟赌博结果证实，10：

1才是正确的分赌注方法。

这个问题可以改为更一般的表述：

多次尝试同一件事，先成m次则成功，先失n次则失败。

当尝试到i（成功）+j（失败）次时，如何估计最终成败的概率？

正确的方法是贝叶斯法。

通过采用与分赌注问题相同的解法可求出最终成败的概率，最终为现实中的事情做出正确的抉择提供考虑依据。

分赌本问题在概率史上起的作用，在于通过这个在当时来说较复杂的问题的探索，对数学期望及其与概率的关系，有了启示。

有的解法，特别是巴斯噶的解法，使用或隐含了若干直到现在还广为使用的计算概率的工具，如组合法、递推公式、条件概率和全概率公式等、可以说，通过对这个问题的研究，概率计算从初期简单计数步入较为精细的阶段。

（五）文献列表

<<浅谈分赌注问题>>--------------------四川师范大学成都学院陈勇

<<分赌注问题的一个推广>>--------------莱芜职业技术学院机电工程系程登彪

文章编号：

1009-4790（2012）

11-0026-03

<<启蒙视野中的概率期望思想>>----------上海交通大学学报（哲学社会科学版）王幼军2009年第6期第17卷

<<惠更斯的14个概率命题研究>>----------西北大学学报（自然科学版）

徐传胜潘丽云任瑞芳

2007年2月,第37卷第1期

<<惠更斯与概率论的奠基>>----------------第二十八卷2006第6期

自然辩证法通讯徐传胜　曲安京

<<惠更斯的5个概率论问题>>--------------西北大学数学与科学史研究中心

徐传胜曲安京

<<数学研究与评论>>第27卷第4期