最新高考数学二轮复习 专题一 三角函数解三角形与平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质学案考试专.docx

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最新高考数学二轮复习专题一三角函数解三角形与平面向量第1讲三角函数的图象与性质学案考试专

第1讲　三角函数的图象与性质

[考情考向分析]　1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．

热点一　三角函数的概念、诱导公式及同角关系式

1．三角函数：

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝（x≠0）．各象限角的三角函数值的符号：

一全正，二正弦，三正切，四余弦．

2．同角基本关系式：

sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.

3．诱导公式：

在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．

例1　

（1）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（2，1），则tan等于（　　）

A．－7B．－C.D．7

答案　A

解析　由角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（2,1），可得x＝2，y＝1，tanα＝＝，∴tan2α＝＝＝，

∴tan＝＝＝－7.

（2）已知曲线f（x）＝x3－2x2－x在点（1，f

（1））处的切线的倾斜角为α，则cos2－2cos2α－3sin（2π－α）·cos（π＋α）的值为（　　）

A.B．－C.D．－

答案　A

解析　由f（x）＝x3－2x2－x可知f′（x）＝3x2－4x－1，

∴tanα＝f′

（1）＝－2，

cos2－2cos2α－3sincos

＝（－sinα）2－2cos2α－3sinαcosα

＝sin2α－2cos2α－3sinαcosα

＝

＝

＝＝.

思维升华　

（1）涉及与圆及角有关的函数建模问题（如钟表、摩天轮、水车等），常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．

（2）应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．

跟踪演练1　

（1）在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P，则sin（π＋α）等于（　　）

A．－B．－C.D.

答案　B

解析　由诱导公式可得，

sin＝sin＝－sin＝－，

cos＝cos＝cos＝，

即P，

由三角函数的定义可得，sinα＝＝，

则sin＝－sinα＝－.

（2）已知sin（3π＋α）＝2sin，则等于（　　）

A.B.C.D．－

答案　D

解析　∵sin（3π＋α）＝2sin，

∴－sinα＝－2cosα，即sinα＝2cosα，

则＝

＝＝＝－.

热点二　三角函数的图象及应用

函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象

（1）“五点法”作图：

设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．

（2）图象变换：

（先平移后伸缩）y＝sinxy＝sin（x＋φ）

y＝sin（ωx＋φ）

y＝Asin（ωx＋φ）．

（先伸缩后平移）y＝sinx

y＝sinωxy＝sin（ωx＋φ）

y＝Asin（ωx＋φ）．

例2　

（1）已知函数f（x）＝sin（ω>0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）＝cosωx的图象，只要将y＝f（x）的图象（　　）

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

答案　A

解析　由题意知，函数f（x）的最小正周期T＝π，

所以ω＝2，即f（x）＝sin，g（x）＝cos2x.

把g（x）＝cos2x变形得g（x）＝sin＝sin，所以只要将f（x）的图象向左平移个单位长度，即可得到g（x）＝cos2x的图象，故选A.

（2）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间上的值域为[－1,2]，则θ＝________.

答案　

解析　函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如题图所示，

则A＝2，＝－＝，解得T＝π，

所以ω＝2，即f（x）＝2sin（2x＋φ），

当x＝π，f ＝2sin＝2，

∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，∴φ＝－π＋2kπ，k∈Z，

又|φ|<π，解得φ＝－，

所以f（x）＝2sin，

因为函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，

所以g（x）＝2sin＝2cos2x，

若函数g（x）在区间上的值域为[－1,2]，

则2cos2θ＝－1，则θ＝kπ＋，k∈Z或θ＝kπ＋，k∈Z，

所以θ＝.

思维升华　

（1）已知函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．

（2）在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度数和方向．

跟踪演练2　

（1）若将函数y＝cosωx（ω>0）的图象向右平移个单位长度后与函数y＝sinωx的图象重合，则ω的最小值为（　　）

A.B.C.D.

答案　B

解析　将函数y＝cosωx（ω>0）的图象向右平移个单位长度后得到函数的解析式为y＝cosω＝cos.

∵平移后得到的函数图象与函数y＝sinωx的图象重合，

∴－＝2kπ－（k∈Z），即ω＝－6k＋（k∈Z）．

∴当k＝0时，ω＝.

（2）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则ω＝________；函数f（x）在区间上的零点为________．

答案　2　

解析　从图中可以发现，相邻的两个最高点和最低点的横坐标分别为，－，从而求得函数的最小正周期为T＝2＝π，根据T＝可求得ω＝2.再结合题中的条件可以求得函数的解析式为f（x）＝2sin，令2x－＝kπ（k∈Z），解得x＝＋（k∈Z），结合所给的区间，整理得出x＝.

热点三　三角函数的性质

1．三角函数的单调区间

y＝sinx的单调递增区间是（k∈Z），单调递减区间是（k∈Z）；

y＝cosx的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ]（k∈Z），单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）；

y＝tanx的单调递增区间是（k∈Z）．

2．y＝Asin（ωx＋φ），当φ＝kπ（k∈Z）时为奇函数；

当φ＝kπ＋（k∈Z）时为偶函数；

对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋（k∈Z）求得．

y＝Acos（ωx＋φ），当φ＝kπ＋（k∈Z）时为奇函数；

当φ＝kπ（k∈Z）时为偶函数；

对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ（k∈Z）求得．

y＝Atan（ωx＋φ），当φ＝kπ（k∈Z）时为奇函数．

例3　（2017·浙江）已知函数f（x）＝sin2x－cos2x－2sinxcosx（x∈R）．

（1）求f 的值；

（2）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．

解　

（1）由sin＝，cos＝－，得

f ＝2－2－2××＝2.

（2）由cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinxcosx得，

f（x）＝－cos2x－sin2x＝－2sin.

所以f（x）的最小正周期是π.

由正弦函数的性质得，

＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，

解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

所以f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．

思维升华　函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质及应用类题目的求解思路

第一步：

先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin（ωx＋φ）＋B的形式；

第二步：

把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin（ωx＋φ）＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．

跟踪演练3　（2018·宁波模拟）已知函数f（x）＝2sinxcosx＋1－2sin2x.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在区间上的最大值与最小值．

解　

（1）因为f（x）＝sin2x＋cos2x＝sin，

所以f（x）的最小正周期为π.

（2）因为－≤x≤，

所以－≤2x＋≤.

当2x＋＝，即x＝时，f（x）取得最大值；

当2x＋＝－，即x＝－时，

f ＝sin＋cos＝－，

即f（x）的最小值为－.

真题体验

1．（2018·全国Ⅰ）已知函数f（x）＝2sinx＋sin2x，则f（x）的最小值是________．

答案　－

解析　f′（x）＝2cosx＋2cos2x＝2cosx＋2（2cos2x－1）

＝2（2cos2x＋cosx－1）＝2（2cosx－1）（cosx＋1）．

∵cosx＋1≥0，

∴当－1≤cosx<时，f′（x）<0，f（x）单调递减；

当0，f（x）单调递增，

∴当cosx＝时，f（x）有最小值．

又f（x）＝2sinx＋sin2x＝2sinx（1＋cosx），

∴当sinx＝－时，f（x）有最小值，

即f（x）min＝2××＝－.

2．（2018·全国Ⅱ改编）若f（x）＝cosx－sinx在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是________．

答案　

解析　f（x）＝cosx－sinx

＝－

＝－sin，

当x∈，即x－∈时，

y＝sin单调递增，

f（x）＝－sin单调递减．

∵函数f（x）在[－a，a]上是减函数，

∴[－a，a]⊆，

∴0

3．（2018·天津改编）将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数________．（填序号）

①在区间上单调递增；

②在区间上单调递减；

③在区间上单调递增；

④在区间上单调递减．

答案　①

解析　函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后的解析式为y＝sin＝sin2x，则函数y＝sin2x的一个单调递增区间为，一个单调递减区间为.由此可判断①正确．

4．（2018·全国Ⅲ）函数f（x）＝cos在[0，π]上的零点个数为______．

答案　3

解析　由题意可知，当3x＋＝kπ＋（k∈Z）时，

f（x）＝cos＝0.

∵x∈[0，π]，

∴3x＋∈，

∴当3x＋的取值为，，时，f（x）＝0，

即函数f（x）＝cos在[0，π]上的零点个数为3.

押题预测

1．已知函数f（x）＝sin（x∈R，ω>0）图象的相邻两条对称轴之间的距离为.为了得到函数g（x）＝cosωx的图象，只要将y＝f（x）的图象（　　）

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

押题依据　本题结合函数图象的性质确定函数解析式，然后考查图象的平移，很有代表性，考生应熟练掌握图象平移规则，防止出错．

答案　A

解析　由于函数f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则其最小正周期T＝π，

所以ω＝＝2，即f（x）＝sin，g（x）＝cos2x.

把g（x）＝cos2x变形得g（x）＝sin＝sin，所以要得到函数g（x）的图象，只要将f（x）的图象向左平移个单位长度即可．故选A.

2.如图，函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P（2,0），∠PQR＝，M为QR的中点，PM＝2，则A的值为（　　）

A.B.C．8D．16

押题依据　由三角函数的图象求解析式是高考的热点，本题结合平面几何知识求A，考查数形结合思想．

答案　B

解析　由题意设Q（a,0），R（0，－a）（a>0）．

则M，由两点间距离公式，得

PM＝＝2，

解得a1＝8，a2＝－4（舍去），

由此得＝8－2＝6，即T＝12，故ω＝，

由P（2,0）得φ＝－，

代入f（x）＝Asin（ωx＋φ），

得f（x）＝Asin，

从而f（0）＝Asin＝－8，

得A＝.

3．已知函数f（x）＝cos4x－2sinxcosx－sin4x.

（1）若x是某三角形的一个内角，且f（x）＝－，求角x的大小；

（2）当x∈时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的值．

押题依据　三角函数解答题的第

（1）问的常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程（或对称中心）等，这些都可以由三角函数解析式直接得到，因此此类命题的基本方式是利用三角恒等变换得到函数的解析式．第

（2）问的常见形式是求解函数的值域（或最值），特别是指定区间上的值域（或最值），是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式．

解　

（1）∵f（x）＝cos4x－2sinxcosx－sin4x

＝（cos2x＋sin2x）（cos2x－sin2x）－sin2x

＝cos2x－sin2x

＝

＝cos，

∴f（x）＝cos＝－，

可得cos＝－.

由题意可得x∈（0，π），

∴2x＋∈，

可得2x＋＝或，

∴x＝或.

（2）∵x∈，∴2x＋∈，

∴cos∈，

∴f（x）＝cos∈[－，1]．

∴f（x）的最小值为－，此时2x＋＝π，

即x＝.

A组　专题通关

1．函数y＝sinx（cosx－sinx），x∈R的值域是（　　）

A.B.

C.D.

答案　D

解析　y＝sinxcosx－sin2x＝sin2x－

＝－＋sin∈，

故选D.

2．（2018·浙江金华十校联考）已知函数f（x）＝sin（x∈R，ω>0）与g（x）＝cos（2x＋φ）的对称轴完全相同．为了得到h（x）＝cos的图象，只需将y＝f（x）的图象（　　）

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

答案　A

解析　由ωx＋＝＋k1π，k1∈Z得函数f（x）的对称轴为x＝＋，k1∈Z，由2x＋φ＝k2π，k2∈Z得函数g（x）的对称轴为x＝－＋，k2∈Z.因为两函数的对称轴完全相同，所以解得则f（x）＝sin，h（x）＝cos，将函数f（x）＝sin的图象向左平移个单位长度后得到的函数解析式为y＝sin＝sin＝cos，故选A.

3.（2018·浙江省金丽衢十二校联考）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的图象如图所示，则φ等于（　　）

A．－B．－

C.D.

答案　B

解析　由题图易得函数f（x）的最小正周期为＝2，解得ω＝2，则f（x）＝Asin（2x＋φ），又因为当x＝时，f（x）取得最大值，所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z，又因为|φ|<，所以φ＝－，故选B.

4．（2018·浙江教育绿色评价联盟适应性考试）设函数f（x）＝sin2x＋acosx＋b在上的最大值是M，最小值是m，则M－m（　　）

A．与a有关，且与b有关

B．与a有关，且与b无关

C．与a无关，且与b无关

D．与a无关，且与b有关

答案　B

解析　令t＝cosx，则g（t）＝－t2＋at＋b＋1（0≤t≤1），由题意得，①当<0，即a<0时，g（0）为最大值，g

（1）为最小值，此时M－m＝1－a；②当>1，即a>2时，g（0）为最小值，g

（1）为最大值，此时M－m＝a－1;③当≤≤1，即1≤a≤2时，M取g，m取g（0），此时M－m＝；④当0≤<，即0≤a<1时，M取g，m取g

（1），此时M－m＝＋1－a.综上所述，M－m与a有关，但与b无关，故选B.

5．函数f（x）＝sinωx＋cosωx（ω>0）图象的相邻对称轴之间的距离为，则下列结论正确的是（　　）

A．f（x）的最大值为1

B．f（x）的图象关于直线x＝对称

C．f 的一个零点为x＝－

D．f（x）在区间上单调递减

答案　D

解析　因为f（x）＝sinωx＋cosωx＝2sin的相邻的对称轴之间的距离为，

所以＝π，得ω＝2，即f（x）＝2sin，

所以f（x）的最大值为2，所以A错误；

当x＝时，2x＋＝π，所以f ＝0，

所以x＝不是函数图象的对称轴，所以B错误；

由f ＝2sin

＝－2sin，

当x＝－时，f ＝2≠0，

所以x＝－不是函数的一个零点，所以C错误；

当x∈时，2x＋∈，f（x）单调递减，所以D正确．

6．（2018·浙江省金华十校模拟）在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（－，－1），则tanα＝________，cosα＋sin＝________.

答案　　0

解析　∵角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（－，－1），

∴x＝－，y＝－1，

∴tanα＝＝，

cosα＋sin＝cosα－cosα＝0.

7．已知tanα＝2，则＝________.

答案　

解析　∵tan2α＝＝－，

∴＝

＝＝＝.

8．（2017·全国Ⅱ）函数f（x）＝sin2x＋cosx－的最大值是________．

答案　1

解析　f（x）＝1－cos2x＋cosx－

＝－2＋1.

∵x∈，∴cosx∈[0,1]，

∴当cosx＝时，f（x）取得最大值，最大值为1.

9．设函数f（x）（x∈R）满足f（x－π）＝f（x）－sinx，当－π

答案　

解析　∵f（x－π）＝f（x）－sinx，

∴f（x）＝f（x－π）＋sinx，

则f（x＋π）＝f（x）＋sin（x＋π）＝f（x）－sinx.

∴f（x＋π）＝f（x－π），即f（x＋2π）＝f（x）．

∴函数f（x）的周期为2π，

∴f ＝f ＝f 

＝f ＋sin.

∵当－π

∴f ＝0＋sin＝.

10．已知向量m＝（sinωx,1），n＝（cosωx，cos2ωx＋1），设函数f（x）＝m·n＋b.

（1）若函数f（x）的图象关于直线x＝对称，且当ω∈[0,3]时，求函数f（x）的单调递增区间；

（2）在

（1）的条件下，当x∈时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围．

解　m＝（sinωx,1），n＝（cosωx，cos2ωx＋1），

f（x）＝m·n＋b＝sinωxcosωx＋cos2ωx＋1＋b

＝sin2ωx＋cos2ωx＋＋b

＝sin＋＋b.

（1）∵函数f（x）的图象关于直线x＝对称，

∴2ω·＋＝kπ＋（k∈Z），

解得ω＝3k＋1（k∈Z），

∵ω∈[0,3]，∴ω＝1，

∴f（x）＝sin＋＋b，

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），

解得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），

∴函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．

（2）由

（1）知f（x）＝sin＋＋b，

∵x∈，∴2x＋∈，

∴当2x＋∈，即x∈时，函数f（x）单调递增；

当2x＋∈，即x∈时，函数f（x）单调递减．

又f（0）＝f ，

∴当f >0≥f 或f ＝0时，函数f（x）有且只有一个零点，

即sin≤－b－

∴b的取值范围为∪.

B组　能力提高

11.如图，单位圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，∠AOC＝α，若BC＝1，则cos2－sincos－的值为（　　）

A.B.C．－D．－

答案　B

解析　∵点B的坐标为，设∠AOB＝θ，

∴sin（2π－θ）＝－，cos（2π－θ）＝，

即sinθ＝，cosθ＝，

∵∠AOC＝α，BC＝1，∴θ＋α＝，

则α＝－θ，

则cos2－sincos－＝cosα－sinα

＝cos＝cos＝sinθ＝.

12．已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）＋1，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为π，若f（x）>2对任意x∈恒成立，则φ的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

答案　D

解析　因为函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）＋1，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为π，所以函数的周期为T＝π，ω＝2，

当x∈时，2x＋φ∈，

且|φ|≤，

由f（x）>2知，sin（2x＋φ）>，

所以解得≤φ≤.

13．已知2sinαtanα＝3，且0<α<π.

（1）求α的值；

（2）求函数f（x）＝4cosxcos（x－α）在的值域．

解　

（1）由已知得2sin2α＝3cosα，

则2cos2α＋3cosα－2＝0，

所以cosα＝或cosα＝－2（舍），

又因为0<α<π，所以α＝.

（2）由

（1）得f（x）＝4cosxcos

＝4cosx

＝2cos2x＋2sinxcosx

＝1＋cos2x＋sin2x

＝1＋2sin，

由0≤x≤，得≤2x＋≤，

所以当x＝0时，f（x）取得最小值f（0）＝2，

当x＝时，f（x）取得最大值f＝3，

所以函数f（x）在上的值域为[2,3]．

14．已知a>0，函数f（x）＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f（x）≤1.

（1）求常数a，b的值；

（2）设g（x）＝f 且lgg（x）>0，求g（x）的单调区间．

解　

（1）∵x∈，

∴2x＋∈.

∴sin∈，

∴－2asin∈[－2a，a]．

∴f（x）∈[b,3a＋b]，

又∵－5≤f（x）≤1，

∴b＝－5,3a＋b＝1，

因此a＝2，b＝－5.

（2）由

（1）得f（x）＝－4sin－1，

∴g（x）＝f ＝－4sin－1

＝4sin－1.

又由lgg（x）>0，得g（x）>1，

∴4sin－1>1，

∴sin>，

∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，

其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

即kπ

当2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，

即kπ＋

∴g（x）的单调递增区间为，k∈Z，

单调递减区间为，k∈Z.