优秀教案高中数学第二册上第六章不等式62算术doc.docx

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优秀教案高中数学第二册上第六章不等式62算术doc

课题：

愆术年他做与e侮年临敌

教学目的：

1.学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.

2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“2”取等号的条件是：

当且仅当这两个数和等.

3.通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力.

教学重点：

均值定理证明

教学难点：

等号成立条件

授课类型：

新授课

课时安排：

1课时

教具：

多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1.同向不等式：

两个不等号方向相同的不等式，例如:

a>b,c>d,是同向不等式.异向不等式：

两个不等号方向相反的不等式.例如：

a>b,c

2.不等式的性质：

定理1：

如果a>b,那么bb.（对称性）

即：

a>b=>bb

定理2：

如果a>b,且b>c,那么a>c・（传递性）

即a>b,b>c二>a>c

定理3：

如果a>b,那么a+c>b+c.

即a>b=>a+c>b+c

推论：

如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.（相加法则）

即a>b,c>d=>a+c>b+d・

定理4：

如果a>b,.且c>0,那么ac>bc；

如果a>b,且cvO,那么ac

推论1如杲a>b>0,且c>d>0,那么ac>bd.（相乘法则）

推论2若a>b>0,贝!

Ja">bn（neN且n>1）

定理5若a>b>0,贝1曲>咖gN且t?

>1）

二、讲解新课：

1.重要不等式：

如果a,beR,那么a2+b2>2ab｛当且仅当a=b时取”二”号）

证明：

a2+b2-2ab=（a-b）2

当心创寸,（a-疔>0,当^=刿寸,（a-b）2=0,所以，（a-&）2>0,即（a2^h2）>2ah.

由上面的结论，我们又可得到

2・定理：

如果a,b是正数，那么出>芯（当但仅当a=〃时取”二”号）.

2

证明：

V（V^）2+（V^）2>2V^,

a-\-b>2yf~ab,即°十">y[ab

—2

显然，当冃仅当a二b时,=4^

2

说明：

i）我们称吐匕为a,b的算术平均数，称为

2

的儿何平均数，因而，此定理乂可叙述为：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

D

17ab

a

1

i

c

Au

J

ii）宀沪沖和宁皿成立的条件是不同的：

前

者只耍求都是实数，而后者要求a,b都是正数.

iii）“当且仅当”的含义是充要条件.

3•均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”.

以长为。

+方的线段为直径作圆，在直径AB上取点C,使AC=a,CB=b・过点C作垂直于直径AB的弦DD'，那么CD1=CACB9即仞=亦

这个圆的半径为旦，显然，它不小于CD,即

2

凹n而，其屮当且仅当点C与圆心重合；即时，等2

号成立.

4.关于“平均数”的概念

如果务卫”…卫“w/?

+,〃>1且nw贝U：

⑷+°2*——叫做

n

这n个正数的算术平均数；忖2…5叫做这口个正数的几何平均数

推广：

⑷*——三寸cig…°八ne,aig/?

+,l

n~

语言表述：

n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

■

上述重要不等式有着广泛的应用，例如：

证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等.它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧.今天，我们就來进一步学习均值不等式的应用.

三、讲解范例：

例1已知a,b,C^R,求证+/异+c、2>ah+he+ac

证明：

•/a2+b2>2ab,ft2+c2>2bc9a2+c2>Zac

以上三式相加：

2（/+/?

2+c2）>2（ab+be+ac）/•a2+/?

2+c2>ab+be+ac例2已知兀,y都是正数，求证：

（1）如果积xy是定值R那么当时，和x+y有最小值2存；

（2）如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值、2.

4

证明：

因为®都是止数，所以号4后

（1）积X），为定值P时，有■^丄/.x+y>2VP上式当x=y时，取"二"号，因此，当兀=歹时，和x+y有最小值2存.

（2）和兀+y为定值S时,有历弓/.xy<|s2

厶I*

上式当兀二y吋取“=”号，因此，当兀二y吋，积小有最大值、2.

4

说明：

此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：

i）函数式中各项必须都是正数；

ii）函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；

iii）等号成立条件必须存在.

例3已知：

（日+〃）（x+y）>2（ay+Ax）,求证：

二2+口空

a-bx-y

分析：

本题结论屮，注意—与口互为倒数，它们a-bx-y

的积为1,可利用公式卄522临，但要注意条件日、方为

正数•故此题应从已知条件出发，经过变形，说明q与口a-bx-y

为正数开始证题.

证明：

（曰+b）（x+y）>2（曰y+必）

■Iax~\~ay~\~bx~\~by>2ay~\~2bx

ax—ay-\-by—bx>0

•I（.ax—bx}—（ay—by}>0

•I（日一力）（x—y）>0,艮卩日一b与同号

・・.q与口均为正数

a-bx-y

a-bx-y

（当且仅当时取号）

a-bx-y

・・•□+口22.

a-bx-y

点评：

我们在运用重要不等式a2+b^2ab时，只要求a、〃为实数就可以了•而运用定理：

“匕'耐时，必须

2

使日、方满足同为正数•本题通过对已知条件变形（恰当地因

式分解），从讨论因式乘积的符号来判断三与口是正还a-bx-y

是负，是我们今后解题中常用的方法.

四、课堂练习：

1・求证：

lgx+logv10>2（%>1）

2・比较大小lgx+logv10<-2（0

3.若x>-l,则X为何值时，"丄有最小值,最小值兀+1

为几？

答案:

当x=0时，有最小值1

思考：

已知a,b,x,yWR"且x+y=l,求兰+仝的最小值

兀y

5•已知日、b、c都是正数，求证（$+0）（方+c）（c+日）

三8abc

分析：

对于此类题目，选择定理：

—>V^（Q0,b2

>0）灵活变形，可求得结果.

答案：

・.・日，力，c都是正数

・••日〉0；b~\~c^24bc>0；c+日$2V^〉0

（日+方）（方+c）（c+日）^2y[ab•24bc•2y!

~ac=8

abc

6•已知八厂都是正数，求证：

（1）上+兰$2；

xy

（2）（x+y）（z+y）（%3+y）8xy.

分析：

在运用定理：

旦n陌时，注意条件曰、b均为

2

正数，结合不等式的性质（把握好每条性质成立的条件），进行变形.

答案：

•・*,y都是正数，・••兰>0,上>0,/>0,/

>0,/>0,y>0

（1）£+Z>2EI=2Hp^+2^2・

yxyx

（2）x-\-2Jxy>0；%+y2yjx2y2>0；%+y

27^7>0

•I（x~\~y}（%+y）（”+p'）^2yfxy•2^Jx2y2•2^x3y3

=8/y

即（+）（/+/）（/+/）8//

7•求证：

（心）0心".

22

分析：

利用完全平方公式，结合重耍不等式：

孑+FN2动，恰当变形，是证明本题的关键.

答案:

•:

召~\~B22ab,：

・2（才+F）^a~\~Id~\~2ab=（a

A2（a2+Z?

2）2（a+Z?

）

不等式两边同除以4,得

五、小结:

本节课，我们学习了重要不等式鉄甘22血两正数办方的算术平均数（皿），儿何平均数（陌）及

2

它们的关系（±2亦）•它们成立的条件不同，前者只要

2

求曰、方都是实数，而后者要求日、方都是正数•它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具.

六、课后作业：

（1）而”是'GwR+,方WR+"的（B）

A•充分不必要条件B.必要不充分条件C•充要条件1）・即不充

分也不必要条件

（2）设b>a>0,且a+b=\y则此四个数丄，2ab,/+庆

2

方中最大的是（A）

A"B.a+Z>2C.2abD.-

2

（3）设日，力WR,且日工力，日+力=2,则必有（B）

B・"V1V空C.ab<-<1D・空V

ab

（D

①a'-\~3ab>2b'②a'"+b5>ak）+a③才+Z/22Ja—b

-1）@-+->2

ba

A.4

B.3

C.2

D.l

⑺设a,b,

c是区间（0,

1）内的三个互不相等的实数且p

=log//+\

2

q—呃a

+1。

裁，r=

2

1.Q+bmil

=2艮2，则

p，q，r

的大小关系是（C）

K.p>q>r

B.p

C.r

\）.p

⑻已知x>y>0,刃二

=1,

求证：

x’y22近.

兀一）'

证明：

V^>y>0,xy=

1・

•x2+y2

•

（_y）+2

x-y

兀—y

x—y

22］（兀一刃・^—=20,即"+*22迥yx-yx-y

（9）已知a>2,求证：

loga（5—1）•loga（^+1）<1.

证明:

Va>2Aloga（a—1）>0,loga（^+l）>0,loga（a—

1）Hlog,日+1）

・・・log4—l）K+l）<［Sg（—D+log（+l）］2

=［丄log&（5—1））2<（-1ogaa）2=1

22

即log“（5—1）•log&（臼+1）<1.

（10）已知②bGR,证明：

log?

（2°+2〃）^a+b+22

证明：

・・P,QGR

a+h

/.log,（2"+2〃）±log2（2J27）=log2（2•2亍）

=1+

=口土，即log?

（2"+2”）三凹旦

（11）若日，b,cWR",且日+力+c=l，

求证:

11111a+bb+cc+a证明：

•：

a、b,cWR卜，且a+b+c=\

•I2=（日+力）4-（b~\~c）+（c+日）

［（日+0）+（b+c）+（c+臼）］•（——+—!

—+——）a+hb+cc+d

23•J（q+b）（b+c）（c+a）X3•J=9

Va+bb+cc+q

+/r111、9

故++>-•

a+bb+cc+a2

（12）已知方程ax+bx+c=0有一根k〉0,求证：

方程ex

+加+目=0必有一根卫，使得街+卫22・

证明：

•.•方程ax+bx+c=Q有一根Xi>0

/.axi+bx{+c=0,・\c?

+—+-=0

c（丄）2+Z?

•丄+w=0（方程ex+加+w=0必有一

根丄>0）

.•.丹+疋=山+丄22

故方程ex+bx-\~a=Q必有一根疋，使得石+疋上2・

七、板书设计（略）