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应力状态分析与强度理论

第五章应力状态分析与强度理论

一、内容提要

1.应力状态的概念

1.1一点的应力状态

通过受力构件的一点的各个截面上的应力情况的集合，称为该点的应力状态。

1.2一点的应力状态的表示方法——单元体

研究受力构件内一点处的应力状态，可以围绕该点取一个无限小的正六面体，即单元体。

若单元体各个面上的应力已知或已计算出，则通过该点的其他任意方位截面上的应力就可用解析法或图解法确定。

1.3主平面、主应力

单元体上切应力为零的平面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。

过受力构件内任一点总有三对相互垂直的主平面。

相应的主应力用

、

、

来表示，它们按代数值的大小顺序排列，即

。

是最大主应力，

是最小主应力，它们分别是过一点的所有截面上正应力中的最大值和最小值。

1.4应力状态的分类

（1）单向应力状态，只有一个主应力不为零，另两个主应力均为零；

（2）二向或平面应力状态，两个主应力不为零，另一个为零；

（3）三向或空间应力状态，三个主应力都不为零。

单向应力状态又称简单应力状态，二向、三向应力状态称为复杂应力状态。

2.平面应力状态分析的解析法

在平面应力状态的单元体中，有一对平面上的应力等于零，即为主平面，其上主应力为零。

可将单元体用平面图形表示，如图5-1所示。

2.1任意

斜截面上的应力

当已知

、

、

时，应用截面法，可得

（5-1）

式中，正应力以拉应力为正，压应力为负；切应力以对单元体内任意点的矩为顺时针转向为正，反之为负；

为斜截面外法线与x平面外法线即x轴间的夹角，

角从x轴量起，反时针转向为正，反之为负。

2.2主应力

（5-2）

式中，

和

分别表示单元体上垂直于零应力面的所有截面上正应力的最大值和最小值。

它们是三个主应力中的两个，而另一个主应力为零。

三个主应力

、

和0要按代数值大小排列，分别用

、

、

表示。

2.3主平面的方位角

主平面与x轴间的夹角

可按下式计算

（5-3）

由上式可确定两个主平面的方位角

和

，其中当

时，

主平面上的主应力为

，

主平面上的主应力为

；

当

时，

主平面上的主应力为

，

主平面上的主应力为

。

3．平面应力状态分析的图解法

3.1应力圆

方程

圆心坐标

半径

3.2画法

当已知

、

、

时，选取

坐标系统，选取适当的比例尺，确定

和

两点，连接两点，交

轴于C点，以C为圆心，以

和

为半径，画出对应于此应力状态的应力圆，如图5-2所示。

3.3单元体与应力圆的对应关系

（1）对于某一平面应力状态而言，单元体的应力状态一定和一个应力圆相对应。

（2）单元体中的一个面一定和应力圆上的一个点相对应。

（3）单元体中一个面上的应力对应于应力圆上一个点的坐标。

（4）应力圆上两点沿圆弧所对应的圆心角是单元体上与这两点对应的两个平面间夹角的两倍，且转向相同。

4.三向应力状态

如已知三向应力状态的主应力单元体及主应力

、

和

，则有

（1）一点处的最大正应力

。

（2）一点处的最大切应力

，其作用面与

平行且与

、

所在主平面夹角各成

。

（3）根据

、

和

作出三个应力圆，则该点任意斜截面上的应力对应于三个应力圆所围的阴影区内的一点的坐标值，如图5-3所示。

5.广义胡克定律

5.1一般形式

对于各向同性材料，在小变形情况下，线应变只与正应力有关，切应变只与切应力有关

（5-5）

5.2主应力与主应变间的关系

（5-6）

5.3平面应力状态下的应力应变关系

（5-7a）

或

（5-7b）

6.体积应变和变形应变

已知三个主应力

、

和

，及材料的弹性常数E和ν，则

6.1体积应变

（5-8）

6.2体积改变能密度

（5-9）

6.3畸变能密度

（5-10）

6．4应变能密度

（5-11）

7.强度理论

7.1材料失效破坏现象的两种类型

（1）屈服失效材料出现不可恢复的塑性变形而导致材料的失效。

塑性材料的失效就属于屈服失效。

（2）断裂失效材料无明显的变形而突然断裂。

脆性材料的失效就属于断裂失效。

7.2强度理论的概念

强度理论是关于材料失效现象主要原因的假设。

即认为不论是简单应力状态还是复杂应力状态，材料某一类型的破坏是由于某一种因素引起的。

据此，可以利用简单应力状态的实验结果，来建立复杂应力状态的强度条件。

7.3几种常用的强度理论

（1）有关脆性断裂的强度理论

①最大拉应力理论（第一强度理论）

基本假设最大拉应力是引起材料断裂的主要因素。

断裂准则

强度条件

（5-12）

②最大伸长线应变理论（第二强度理论）

基本假设最大伸长线应变是引起材料断裂的主要因素。

断裂准则

强度条件

（5-13）

③对两种强度理论的分析

最大拉应力理论比较符合铸铁、大理石、混凝土等脆性材料的脆性断裂规律，应用较广。

但没有考虑到

和

对破坏的影响，对没有拉应力的应力状态则无法应用此理论检验其强度。

最大伸长线应变理论，在形式上除了考虑第一主应力

外，还考虑了第二、第三主应力的影响。

但实践表明，它只与少数脆性材料的实验结果相符合，如铸铁在拉—压二向应力、且压应力较大的情况吻合。

故现今工程中甚少应用这一理论。

（2）有关塑性屈服的强度理论

1最大切应力理论（第三强度理论）

基本假设最大切应力是引起材料塑性流动的主要因素。

断裂准则

强度条件

（5-14）

2畸变能密度理论（第四强度理论）

基本假设畸变能密度是引起材料塑性屈服的主要因素。

断裂准则

强度条件

（5-15）

3对两种强度理论的分析

最大切应力理论与畸变能理论均能适合于塑性材料的屈服失效。

按第三强度理论计算出的构件尺寸往往偏于安全，按第四强度理论计算的结果与实验接近。

7.4上述四种强度理论可写成统一形式

（5-16）

其中

称为计算应力，从第一到第四强度理论的次序分别为

（5-17）

7.5莫尔强度理论

基本假设以实验资料为基础，考虑了材料拉、压强度的不同，承认最大切应力是引起屈服剪断的主要原因并考虑了剪切面上正应力的影响。

强度条件

（5-18）

分析莫尔强度理论考虑了材料抗拉和抗压能力不等的情况，这符合脆性材料（如岩石混凝土等）的破坏特点。

但未考虑中间主应力

的影响是其不足之处。

对于

和

相同的材料，式（5-18）可演化成式（5-14）

7.6强度理论的选用

一般情况下，脆性材料选用关于脆断的强度理论与莫尔强度理论，塑性材料选用关于屈服的强度理论。

但材料的失效形式还与应力状态有关。

例如，无论是塑性或脆性材料，在三向拉应力情况下将以断裂形式失效，宜采用最大拉应力理论。

在三向压应力情况下都引起塑性变形，宜采用第三或第四强度理论

二、基本要求

1.理解应力状态的概念。

2.熟练掌握平面应力状态分析的解析法和图解法。

3.了解三向应力状态的最大应力。

4.理解广义胡克定律并熟练应用。

5.了解复杂应力状态应变能密度的概念及计算。

6.理解强度理论的概念及常用的四种强度理论。

三、典型例题分析

例5.1已知图（a）所示单元体的

，

，

，

。

试求

（1）

斜截面上的应力；

（2）主应力、主平面和主应力单元体；（3）最大切应力。

解：

1．

斜截面上的应力

2．主应力、主平面和主应力单元体

由此得到：

，

，

主方向可由下式求得

解得

，

或

，由于

，可知

主平面的主应力为

，

主平面的主应力为

。

可得主应力单元体如图（b）所示。

3．最大切应力

其所在平面与

、

所在主平面各成

。

例5.2用图解法求解例5.1

解：

1．作应力圆在

直角坐标系中，按选定的比例尺，确定点D1（60，-30）和点D2（-40，30），连接两点与

轴交于C点，以C点为圆心，

为半径作出应力圆。

2．由

，使半径

瞬时针转过

到

，量得E点的坐标（9，-58），可得

斜截面上的应力为

，

。

3．量得A1，A2点的横坐标，则主应力为

，

，

。

量得圆心角

，得

，且知该主平面上的主应力为

。

由此画出主单元体。

4．量得应力圆上F的纵坐标，得

。

例5.3讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁构件受扭转时的破坏现象。

解：

1．取单元体圆轴扭转时，在横截面的边缘处切应力最大，其数值为

。

在圆轴的表面，按图（a）所示方式取出单元体ABCD，单元体各面上的应力如图（b）所示，其中

，

，这是纯剪切应力状态。

2．作应力圆在

直角坐标系中，确定点D1（0，

）和点D2（0，

），连接两点与

轴交于O点，以O点为圆心，

为半径作出应力圆。

则主应力为

，

，

。

由D1到A1为顺时针转向，且

。

所以在单元体上以x轴顺时针转过

，即可确定

所在主平面的法线。

（图b）。

3．分析纯剪切应力状态的两个主应力绝对值相等，但一个为拉应力，另一个为压应力。

圆截面铸铁构件扭转时，表面各点

所在的主平面连成倾角为

的螺旋面。

由于铸铁抗拉强度较低，构件将眼这一螺旋面因拉伸而发生断裂破坏，如图（d）所示。

例5.4单元体各面上的应力如图（a）所示。

试求出单元体的主应力及最大切应力。

解：

该单元体有一个已知的主应力

，因此，与该主平面正交的各截面上的应力与主应力

无关。

于是，可x,y平面上的应力画出应力圆（图（b）），求出出另外两个主应力。

从圆上量得两个主应力的值分别为

，

。

将单元体的三个主应力按代数值的大小排列为

，

，

根据上述三个主应力值，可作出三个应力圆（图（b））。

单元体的最大切应力为最大应力圆的半径

例5．5边长为0.1m的铜立方块，无间隙地放入变形可略去不计的刚性凹槽中（图（a））。

已知铜的弹性模量E=100GPa，泊松比ν=0.34。

当铜块受到了F=300kN的均步压力作用时，试求铜块的三个主应力的大小。

解：

1．铜块横截面上的压应力为

2．铜块受到轴向压缩将产生横向变形，但由于刚性凹槽壁的约束，使得铜块在x，z方向的应变等于零。

于是，在铜块与凹槽壁接触面将产生均匀的压应力

，

（图（b））。

按广义胡克定律公式，可得

联解两式，可得

3．按主应力的代数值顺序排列，的该铜块的主应力为

例5．6当锅炉或其他圆筒形容器的壁厚t远小于它的内直径D时（譬如，

），称之为薄壁圆筒。

图（a）所示一薄壁容器承受内压力的压强为p。

圆筒部分的内直径为D，壁厚为t，且。

试按第三、第四强度理论写出圆筒壁的计算应力表达式。

解：

1．圆筒部分横截面上的正应力由圆筒及其受力的对称性可知，作用在圆筒底上压力的合力F的作用线与圆筒的轴线重合（图（b））。

因此圆筒部分的横截面上各点处的正应力

可按轴向拉伸时的公式计算

2．圆筒部分纵截面上的正应力用相距为l的两个横截面和包含直径的纵向平面，从圆筒中截取一部分（图（c））。

若在筒壁纵向截面上应力为

，则内力为

。

在这一部分圆筒内壁的微分面积

上的压力为

。

该部分内压力在y方向的投影的代数和为

积分结果表明，它等于截出部分在纵向平面上的投影面积lD和p的乘积。

由平衡方程

，得

，即

3．分析主应力在横截面和纵向截面上都没有切应力，所以通过壁内任意点的纵、横两截面皆为主平面，

和

为主应力。

此外，在单元体ABCD的壁厚方向上，有作用于内壁的内压力p和作用于外壁的大气压力，它们都远小于

和

，可以认为等于零