初中数学知识点.docx
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初中数学知识点
初中数学知识点
一、
实数
复习要求
1．理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数．借助数轴理解相反数和绝对值的意
义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）．
2．掌握有理数的加、减、乘、除运算，理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运
算．能运用有理数的运算解决简单的问题．
3．理解乘方的意义，会进行乘方的运算及简单的混合运算（以三步为主）．会用科学记
数法表示有理数．
了解近似数与有效数字的概念，
能按要求用四舍五入的方法求有理数的近
似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值
4．了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根、
立方根．
5．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求
某些数的立方根，会用计算器求数的平方根和立方根．
6．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的
点一一对应，了解在有理数范围内的一些概念、运算法则和运算律在实数范围内仍然成立．
7．能用有理数估计一个无理数的大致范围，会比较实数的大小．
复习重点
1．有理数的运算．在复习有理数的运算法则时，还应加强对有理数的有关概念的复习，
在概念的复习上注意突出以下几个方面：
．
（1）强化数轴的功能，一方面，有理数可以用数帛：
存在相等和不等两种数量关系．
（2）发挥数轴的直观作用，从形的角度很好的理解有理数、相反数、绝对值等概念．
（3）从数的角度理解相反数、绝对值、倒数等概念．
2．算术平方根、平方根的概念和求法．复习时，注意体现以下两个方面：
（1）理解乘方与开方是互为逆运算的实质是：
已知和未知的相互转换．即乘方运算是知
道底数和指数求幂的运算，当知道幂和指数求底数时就是开方运算．
（2）把握求一个数的方根的方法，即把这个数写成乘方的形式，其中底数就是这个数的
方根．
3．几种形式的代数式表示的数的非负性．
．
（1）
n
a
2
（n
为正整数）具有非负性，即
n
a
2
≥0（n
为正整数）．特别的，当
n=1
时，
n
a
2
=a
2
即完全平方具有非负性．
（2）
a
（a
为实数）具有非负性，即）
a
≥0（n
为实数）．
（3）如（
a
≥o）具有非负性，即知
a
>0（o≥o）．
二、
代数式
复习要求
1．掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系．掌握单项式的系数、
次数，多项式的项、次数等概念，明确它们之间的区别与联系．
2．在理解同类项概念的基础上，掌握合并同类项的方法，并掌握添括号的法则，能正
确
地进行同类项的合并和去括号与添括号．
做到在准确判断、
正确合并同类项的基础上，
进行
整
式的加减运算．
3．掌握正整数幂的乘除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表达这些性质，并能
运
用它们熟练地进行运算．
掌握单项式乘（或除以）单项式、
多项式乘（或除以）单项式、
多项式
乘多项式的法则，并能运用它们进行运算．能熟练地运用乘法公式（平方差公式和完全平方
公式）进行乘法运算．
2
地进行同类项的合并和去括号与添括号．
做到在准确判断、
正确合并同类项的基础上，
进行
整
式的加减运算．
3．掌握正整数幂的乘除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表达这些性质，并能
运
用它们熟练地进行运算．
掌握单项式乘（或除以）单项式、
多项式乘（或除以）单项式、
多项式
乘多项式的法则，并能运用它们进行运算．能熟练地运用乘法公式（平方差公式和完全平方
公式）进行乘法运算．
4．会进行整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律
与乘
法公式简化运算．
5．
理解因式分解的意义并感受分解因式与整式乘法是相反方向的变形，
掌握什么是公因
式，掌握提公因式（字母的指数是数字）和运用公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分
解因式的基本方法，
了解因式分解的一般步骤；
能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式
分解．
6．
能从描述实际问题的数量关系中，
抽象出分式的概念，
体会分式是刻画现实世界中数
量关系的一类代数式．
7．了解最简公分母的概念，
了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则，
并能熟
练地进行约分和通分．
、
8．掌握分式的四则运算法则，能够熟练地进行简单的分式运算．
．
9．能够熟练地运用整数指数幂的性质进行计算，会用科学记数法表示任意一个数．
10．
了解分式方程的概念，
掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，
体会解方程中
的化归思想．
11．理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由．
12．了解最简二次根式的概念．
13．理解并掌握下列结论：
（1）
a
（a>0）是非负数；
（2）（
a
）
2
=a（a≥o）；（3）
a
a
=
2
（a≥o）．
14．
掌握二次根式的加、
减、
乘、
除运算法则，
会用它们进行有关实数的简单四则运算．
15．了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用．
复习重点
1．整式这部分的主要内容是单项式、多项式、整式的有关概念，合并同类项、添括号法
则、整式的四则运算、乘法公式以及因式分解．复习时应注意：
（1）加强对基本概念的理解，如整式、同类项等概念，应试时一定要仔细审题，抓住关
键．
（2）加强练习，提高计算能力，熟练地掌握运算法则，注意运算顺序是解决这一问题的
前提．
2．多项式的因式分解主要有以下两方面的内容：
（1）因式分解的基本方法，这类题目一般在选择题或填空题中出现；
（2）与其他知识的综合运用，比如利用因式分解解决一类式的化简、求值等，这类题目
难度不大．复习时应注意：
①因式分解首先要考虑有无公因式可提取，
若提公因式后，
能继续分解的要一直分解到
每一个因式都不能再分解为止；
②因式分解的综合性题目有一定的难度，
要求灵活运用知识解决问题的能力比较高．
比
3
如：
将多项式变形后因式分解等；
③因式分解的步骤可简单地归纳为
（P+q、）x+pq
型式子的因式分解）．
3．分式这部分的主要内容是分式的基本概念、分式的基本性质、分式的运算及有关分式
的应用．复习时应注意：
（1）掌握分式的基本概念，弄清“分式有意义”、“分式无意义”、“分式值为零”及
“分式值
大于零（或小于零）”的含义，
特别注意，
分式的值等于零，
必须是在分子为零且分母不为零
时才成立；
（2）熟练掌握分式的加、减、乘、除和乘方的运算法则，在计算的技巧上要加强练习，
力争做到快速、准确；
（3）有关分式的应用，既要熟悉背景材料，又要从实际中抽象出数学模型．做题时一定
要进行多角度的比较、联系，达到灵活应用．
．
4．二次根式这部分的主要内容是二次根式的基本概念、性质和运算．复习时应注意：
（1）要深入理解二次根式的概念．能探究二次根式成立的惫件及二次根式被开方数所含
字母的取值范围；
（2）要加强对二次根式化简和运算的练习，探索灵活、简捷的解法，提高分析问题的能
力和运算能力．
三、
方程与不等式
了解一元一次方程及其相关概念，掌握等式的性质，了解解方程的基本目标，熟悉解一元
一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法．
掌握列一元一次方程解实际问题中的基本方法，
熟悉列一元一次方程解实际问题中的基
本步骤．
‘
2．二元一次方程组．
了解二元一次方程组及其相关概念，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的两种
相关的等量关系；了解解二元一次方程组的基本目标，体会“消元”思想，掌握解二兀一次
方
程组的代入法和加减法，
能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法；
进一步认识利
用二元一次方程组解决问题的基本过程，
体会数学的应用价值，
提高分析问题、
解决问题的
能
力．
3．不等式与不等式组．
了解一元一次不等式及其相关概念，能够列出不等式或不等式组表示问题中的不等关
系；
掌握不等式的
T
性,质-，
熟悉解一元一次不等式的一般步骤，
掌握一元一次不等式的解
法，并
能在数轴上表示出解集；
了解不等式组及其相关概念，
会解由两个一元一次不等式组成的不
等式组，并会用数轴确定解集；会利用不等式解决简单的实际问题·
4．一元二次方程．
认识一元二次方程及其有关概念，
抓住“降次’’这一基本策略，掌握配方法、
公式法
和因
式分解法等一元二次方程的基本解法，
会列一元二次方程解决实际问题，
体会一元二次方程
的数学模型作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力·
（一）方程和不等式的基本概念
4
1．方程．
（1）等式和方程；
（2）方程的解；（3）解方程
2．等式性质．性质
1：
等式两边都加上（或减去）同
等式；
性质
2：
等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能是
O）
3．不等式．
（1）不等式；
（2）不等式的解集；（3）解不等式·
4．不等式的基本性质，性质
1：
不等式的两边都加上（或减去）同
不等号的方向不变；
性质
2：
不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
性质
3：
不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
（二）方程和不等式的解法
．
。
1．方程的解法．
‘
（1）一元一次方程．任何一个一元一次方程，总可以通过变形化为：
一=6（o≠o）的形式．
元一次方程有唯一解
z=鲁（"to）．
（2）一元二次方程．任何关于
z
的一元二次方程，都可以化成：
一
2+h+c=o（。
≠o）的形
一元二次方程的解法有以下几种．
①直接开平方法：
这种方法用于解不含
当詈≤o
时，则
x=‘√一詈；当詈>o
时，则方程无实根·
②配方法：
通过配方，将方程
ax2+bx+c=0（n≠O）化为（z+m）2=n
的形式，然后借助
直接开平方法解决．
注意：
当配方后式子（x+m）2；n
中，rt<0
时，方程无解．
③公式法：
用配方法可以得到
ax2+bx+c=o（o≠o）的求根公式是
z：
—生掣丝（b24ac，>O），
．
④因式分解法：
若方程一
2+h+c=o
能分解为两个一次因式的乘积，则令每一个因式
为零，使得原方程“降次”
，转化为两个一次方程，然后解两个一无一次方程，即可求得原
方程
的根．
一元二次方程的根的判别式』
在一元二次方程的求根公式*=二吐号；
÷二二堑（62—4ac
>10）中，令△=b2—4ac，A
就是根的判别式．
当△>O
时，方程有两个不相等的实数根；
当
A=0
时，方程有两个相等的实数根；
当△<0
时，方程没有实数根．
、
（3）分式方程：
分母里含有未知数的方程叫做分式方程
解分式方程的一般步骤是：
①去分母；②解所得的整式方程；
③验根：
将所得的根代人
到
原方程的公分母中去，若使公分母的值为零就是增根，应该舍去-
若方程是特殊类型的分式方程，可用“换元法”来解．
（4）二元一次方程组：
由几个一次方程组成并含有两个未知数的方程组，叫做二元一次
方程组．二元一次方程组的解法有代人消元法和加减消元法．
2，不等式的解法．
（1）一元一次不等式：
任何一元一次不等式，都可以通过变形化为：
ax>6（。
≠o）的形式·
一元一次不等式的解法：
当
n>0
时，原不等式的解集为
x>号；当。
<0
时，原不等式
的
5
（2）一元一次不等式组：
儿个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的不等式组，叫
做一元一次不等式组．
几个一元一次不等式的解集的公共部分，
叫做不等式组的解集，
解不
等式组时，
可以把每个不等式的解集在数轴上表示出来，
这样它们的公共部分便能较容易地
得出来了．两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有如下四种情况：
（三）列方程（组）解应用题
在列方程（组）解应用题的过程中，关键是根据题目所给条件，找出数量之间的等量关
系，再列一个或几个等式（即方程或方程组）．
列方程（组）解应用题的一般步骤是：
1．审题．就是弄清题意，弄清问题中有哪几种量，其中哪儿个量是已知的，哪几个量
是未
知的，它们彼此之间遵循哪些数量关系．
2．设元．选择一个或几个未知数，用字母来表示．根据题中给出的数量关系，用所设
未知
数盼代数式表示其他的未知量．
设未知数的方法有三种：
直接设未知数、间接设未知数、设
辅
助未知数．究竟设什么未知数，要因题而异，酌情处理．未知数设出后，可以看成已知数，
参与
分析和计算．此外，设未知数时还应注明单位．
3．列方程（方程组）．根据题目所给条件（包括已知量，已经假设的未知量及数量关系），
找出等量关系，列出方程或方程组．
。
4．解方程或方程组．
5-检验和答话．检验所得的解是否合理，并注意问题的实际意义，然后作答．
四、
函数
1．理解平面直角坐标系的有关概念，能正确地画出直角坐标系；理解平面内点的坐标的
意义，会根据坐标确定点和由点求得坐标．
2．理解函数自变量的取值范围和函数值的意义，对只含一个自变量的比较简单的整式、
分式、二次根式的函数解析式，会确定它们的自变量的取值范围和求它们的函数值．
3，了解函数的三种表示法，会用描点法画出甬数的图象．
4．理解一次函数（包括正比例函数）的概念，能根据题设或实际问题中的条件，用待定系
数法确定一次函数的解析式，会画出一次函数的图象，并对照图象理解一次函数的性质
5．理解反比例函数的概念，能根据问题中的条件确定反比例函数的解析式，会画出反比
例甬数的图象，理解反比例函数的性质，特别是反比例函数的增减性-
6．理解二次函数和抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数的图象，会用配方法和
公式确定抛物线的对称轴和顶点，
会求二次函数的最大值（或最小值）·会用待定系数法求二
次函数的解析式，掌握形状相同的二次函数图象之间的平移规律·
7．进一步理解常量、变量、函数的意义，体会事物之间是互相联系、互相依存和有规律
变
化着的．
会发现、
提出函数的实例，
能从比较简单的实际问题中抽象出函数关系并运用所学
的
知识解决相荚问题，自觉培养“用数学”的意识·
，
8．进一步理解数形结合的数学思想，具有一定的数形对照、数形转换的能力·
I．平面直角坐标系．
（1）平面直角坐标系的构成：
四个象限、两条坐标轴．
（2）点的坐标的建立，坐标平面的点与有序实数对的一一对应·
6
（3）点的坐标在各象限内及坐标轴上的符号．
、
（4）对称点的坐标规律．
（5）距离：
坐标平面上的点到
z
轴的距离、到
Y
轴的距离、到原点的距离
2．函数．
（1）函数的定义：
常量、变量、自变量、函数值．
（2）自变量的取值范围：
使解析式有意义，使实际问题有意义
（3）函数的表示方法：
解析法、列表法、图象法．
3．几个重要函数．
‘
（1）一次函数．
．
定义：
函数
Y=h+b（、k、b
是常数，且
k#-O）．
自变量的取值范围：
全体实数．
，
、
图象：
与两条坐标轴都相交的一条直线．与
x
轴的交点为（0，b）．
性质：
当
k>0
时，y
随
z
的增大而增大；
当
k<0
时，Y
随*的增大而减小
当
b=o
时，为正比例函数
Y=h
（2）反比例函数．
定义：
函数
y=专（^为常数，且％≠o）·
自变量的取值范围：
x≠o．
图象：
与两条坐标都不相交的双曲线．
是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，
是以
直
线
Y=±x
为对称轴的轴对称图形．
性质：
当％>0
时，图象的两个分支分别在一、三象限内，在每个象限内，Y
随
x
的增大而
五、锐角三角函数
1．理解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角：
比；熟记30。
、45。
、60。
的三角函数值，并会由一个特殊的三角函数值说出这个角·
2．
能够正确地使用计算器，
由已知锐角求出它的三角函数值，
由已知三角函i应的锐角．
3．理解直角三角形中边与边的关系、角与角的关系和边与角的关系，会运斥直角三角
形两锐角互余以及锐角三角函数解直角三角形，并会运用解直角三角形解决简单的实际问
题，进一步提高分析问题和解决问题的能力·
4.在解直角三角形中要善于应用三角函数的定义；另外，直角三角形的勾雕之问的关
系式是解直角三角形的依据，
在解决实际问题时，
先戛根据题意画出图^和理解题意，
通过
建立解直角三角形的数学模型使问题得以解决·
5．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的压，
角三
角函数和解直角三角形的学习，
体会锐角三角函数和解直角三角形的理论i感受由实际问题
抽象出数学问题，然后解决数学问题，再将数学问题的答案回到这种：
“实践——理论—
—实践”的认识过程．直角三角形边角的关系．拿实际图形解直角三角形或化为解直角三
角形的有关问题．用仰角、俯角、坡度、方位角等有关知识解直角王角形应用
六、相交线与平行线
1．垂线的概念．
2．平行线的判定和性质
3．了解命题的概念，能初步区分命题的题设和结论；理解本章学过的关于描述图形
7
和位置的关系的语句，
会用这些语句描述简单的图形，
会根据描述的语句画出图形；
能结合
一些具体内容进行说理，初步养成言之有理的习惯．
4．能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，体会研究几
何图形的意义；在观察、操作、想象、说理、交流的过程中，发展空间观念，初步形成积极
参与数学活动、与他人合作交流的意识，激发学习图形与几何的兴趣．
（3）两点的所有连线中，线段最短，即：
两点之间，线段最短·
（4）连接两点间线段的长度，叫做这两点的距离·
5．角．
（1）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线
是角的两条边．角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形·
（2）把一个周角
360
等分，
每一份就是
1
度的角，
把
1
度的角
60
等分，
每一份就是
1
分的
角，把
1
分的角
60
等分，每一份就是
1
秒的角·
（3）1
周角：
2
平角=4
直角=360。
，1。
=60’，l’=60?
（4）平角的一半叫做直角．
小于直角的角叫做锐角．
大于直角而小于平角的角叫做钝角·
（5）从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线-
（6）如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角·
（7）如果两个角的和等于平角，就说这阿个角互为补角·
（8）等角的补角相等，等角的余角相等．
七、三角形
1
了解三角形的有关概念（顶点、边、内角、外角、中线、高线、角平分线），了解三角形的
稳定性．会画出任意三角形的角平分线、中线和高．
2．掌握三角形三条边、三个角之间的关系，会按边或角将三角形分类
3
掌握三角形内角和定理及外角的性质，并能用于计算或证明．
4．探索并掌握三角形中位线的性质．
5．
，解全等三角形的有关概念，探索并掌握两个三角形全等的条件．
6．了解等腰
j
角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质和角形的条件，了解等边
三角形的概念，并探索其性质．
7．了解直角三角形的概念，探索并掌握直角的条件．
8．三角形的有关概念．三角形三条边之间的关系．三角形的角之间的关系．全等三角形的
性质及判定方法．角平分线的性质、线段垂直平分线的性质等腰三角形的性质与判定方法．
勾股定理及其逆定理．三角形的相似，相似的三角形性质与判定方法。
八、四边形
1．掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念、性质和常用判别方法，特别
是梯形添加辅助线的常用方法．
2．会计算特殊四边形的面积，能根据图形的条件等分四边形的面积-
3．掌握三角形中位线和梯形中位线性质的推导和应用
4．能运用三角形、四边形等图形进行镶嵌．
5
深刻理解特殊四边形的判定方法以及它们之间的联系．
6．会画出四边形全等变换后的图形，会结合相关的知识解题．
7．
结合几何中的其他知识解答一些有探索性、
开放性的问题，
提高解决问题的能力·
（一）
、平行四边形的定义、性质及判定．
1：
两组对边平行的四边形是平行四边形．
2．性质：
（1）平行四边形的对边相等且平行；
8
（2）平行四边形的对角相等，邻角互补；
（3）平行四边形的对角线互相平分．
3．判定：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形：
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形：
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
4·对称性：
平行四边形是中心对称图形．
（二）
、矩形的定义、性质及判定．
1-定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
2·性质：
矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等
3．判定：
（1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形：
（3）两条对角线相等的平行四边形是矩形．
4·对称性：
矩形是轴对称图形也是中心对称图形．
（三）
、菱形的定义、性质及判定．
1·定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（1）菱形的四条边都相等；
。
（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
（3）菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形．
（4）菱形的面积等于两条对角线长的积的一半：
s
菱=争
6（n、6
分别为对角线长）．
3．判定：
（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
（2）四条边都相等的四边形是菱形；
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
4．对称性：
菱形是轴对称图形也是中心对称图形．
（四）
、正方形定义、性质及判定．
‘
1．定义：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2．性质：
升级会员 