人教版八年级数学下册知识点总结归纳.docx
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人教版八年级数学下册知识点总结归纳
第十六章二次根式
1.二次根式：
一般地，式子
a,（a
0）叫做二次根式.
注意：
（1）若a0这个条件不成立，则a不是二次根式；
（2）a是一个重要的非负数，即；a≥0.
2.最简二次根式：
必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；
⑵被开方数中不含分母；
⑶分母中不含根式。
3．重要公式：
（1）（
a）2
a（a
0）,
（2）a2a
a（a
0）
a（a
0）；注意使用a
（a）2（a
0）.
（3）积的算术平方根：
ab
ab（a
0,b
0），积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的
积；注意：
本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求.
4.二次根式的乘法法则：
abab（a
0,b
0）.
5.二次根式比较大小的方法：
（1））利用近似值比大小；
（2））把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；
（3））分别平方，然后比大小.
6.商的算术平方根：
a
b
a（ab
0,b
0），商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的
算术平方根.
7.二次根式的除法法则：
（1）ab
a（ab
0,b
0）；
（2）ab
ab（a
0,b
0）；
（3）分母有理化：
化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：
分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.
8.常用分母有理化因式：
a与a，a
b与a
b，ma
nb与ma
nb，它们也叫
互为有理化因式.
9.最简二次根式：
（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，①被开方数的因数是整数，因式是整式，
②被开方数中不含能开的尽的因数或因式；
（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；
（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；
（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.
10.二次根式化简题的几种类型：
（1）明显条件题；
（2）隐含条件题；（3）讨论条件题.
11.同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.
12.二次根式的混合运算：
（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；
（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：
化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.
第十七章勾股定理
1.勾股定理：
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。
2.勾股定理逆定理：
如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。
，那么这个三角形是直角三角形。
3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
（例：
勾股定理与勾股定理逆定理）
4.直角三角形的性质
（1））、直角三角形的两个锐角互余。
可表示如下：
∠C=90°∠A+∠B=90°
（2））、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°
可表示如下：
∠C=90°BC=1AB
2
（3））、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∠ACB=90°
可表示如下：
D为AB的中点CD=1AB=BD=AD
2
5、摄影定理
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项
∠ACB=90°
CD2
ADBD
CD⊥AB
6、常用关系式
AC2
ADAB
BC2
BDAB
由三角形面积公式可得：
ABCD=ACBC7、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c有关系a2b2
个三角形是直角三角形。
8、命题、定理、证明
1、命题的概念
判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：
命题的定义包括两层含义：
（1））命题必须是个完整的句子；
（2））这个句子必须对某件事情做出判断。
2、命题的分类（按正确、错误与否分）
真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）
c2，那么这
所谓正确的命题就是：
如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：
如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
3、公理
人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
4、定理
用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
5、证明
判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
6、证明的一般步骤
（1））根据题意，画出图形。
（2））根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
（3））经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
9、三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（1））三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。
（2））要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用：
位置关系：
可以证明两条直线平行。
数量关系：
可以证明线段的倍分关系。
常用结论：
任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：
三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论2：
三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3：
三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4：
三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5：
三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
10数学口诀.
平方差公式:
平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公
式相混淆。
完全平方公式:
完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首±尾括号带平方，尾项符号随中央。
第十八章四边形
1.四边形的内角和与外角和定理：
（1）四边形的内角和等于360°；A
（2）四边形的外角和等于360°.D
几何表达式举例：
（1）∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°
A4
D∴
3
（2）∵∠1+∠2+∠3+∠4=360°
12
BCBC∴
2.多边形的内角和与外角和定理：
（1）n边形的内角和等于（n-2）180°；
（2）任意多边形的外角和等于360°.3．平行四边形的性质：
（1）两组对边分别平行；
（2）两组对边分别相等；因为ABCD是平行四边形（3）两组对角分别相等；
（4）对角线互相平分；
（5）邻角互补.
DC
O
AB
4.平行四边形的判定：
（1）两组对边分别平行
（2）两组对边分别相等
几何表达式举例：
略
几何表达式举例：
（1）∵ABCD是平行四边形
∴AB∥CDAD∥BC
（2）∵ABCD是平行四边形
∴AB=CDAD=BC
（3）∵ABCD是平行四边形
∴∠ABC=∠ADC
∠DAB=∠BCD
（4）∵ABCD是平行四边形
∴OA=OCOB=OD
（5）∵ABCD是平行四边形
∴∠CDA+∠BAD=180°
几何表达式举例：
（1）∵AB∥CDAD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
（3）两组对角分别相等
（4）一组对边平行且相等
（5）对角线互相平分
ABCD
是平行四边形.
D
O
（2）
∵AB=CDAD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
C（3）
AB
5.矩形的性质：
（1）具有平行四边形的所因为ABCD是矩形
（2）四个角都是直角;
（3）对角线相等.
DCD
（2）O
ABA
有通性;
C
（1）（3）
B
几何表达式举例：
（1）
（2）∵ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
（3）∵ABCD是矩形
∴AC=BD
6.矩形的判定：
（1）平行四边形
（2）三个角都是直角
一个直角
四边形ABCD是矩形.
几何表达式举例：
（1）∵ABCD是平行四边形又∵∠A=90°
（3）对角线相等的平行四边形
DCDC
∴四边形ABCD是矩形
（2）∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∴四边形ABCD是矩形
A
7.菱形的性质：
因为ABCD是菱形
B
（1）
（2）A
O
B（3）
D
（3）
几何表达式举例：
（1）
（1）具有平行四边形的所
（2）四个边都相等；
（3）对角线垂直且平分对
有通性；角.
AOC
B
（2）
∵ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=DA
（3）∵ABCD是菱形
∴AC⊥BD∠ADB=∠CDB
8.菱形的判定：
（1）平行四边形
（2）四个边都相等
一组邻边等
四边形四边形ABCD是菱形.
几何表达式举例：
（1）∵ABCD是平行四边形
∵DA=DC
（3）对角线垂直的平行四边形
D
AOC
B
∴四边形ABCD是菱形
（2）∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
（3）∵ABCD是平行四边形
∵AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
9.正方形的性质：
因为ABCD是正方形
（1）具有平行四边形的所
（2）四个边都相等，四个
（3）对角线相等垂直且平
有通性；
角都是直角；分对角.
几何表达式举例：
（1）
（2）∵ABCD是正方形
∴AB=BC=CD=DA
∠A=∠B=∠C=∠D=90°
（3）∵ABCD是正方形
DCDC
O
∴AC=BDAC⊥BD
∴
AB
（1）AB
10.正方形的判定：
（2）（3）
几何表达式举例：
（1）平行四边形
一组邻边等
一个直角
（1）
∵ABCD是平行四边形又∵AD=AB∠ABC=90°
（2）菱形
（3）矩形
一个直角
一组邻边等
DC
四边形ABCD是正方形.
∴四边形ABCD是正方形
（2）∵ABCD是菱形
（3）∵ABCD是矩形又∵AD=AB
∴四边形ABCD是正方形
又∵∠ABC=90°
∴四边形ABCD是正方形
AB
11.等腰梯形的性质：
（1）两底平行，两腰相等；因为ABCD是等腰梯形
（2）同一底上的底角相等；
AD（3）对角线相等.
O
BC
12.等腰梯形的判定：
几何表达式举例：
（1）∵ABCD是等腰梯形
∴AD∥BCAB=CD
（2）∵ABCD是等腰梯形
∴∠ABC=∠DCB
∠BAD=∠CDA
（3）∵ABCD是等腰梯形
∴AC=BD
几何表达式举例：
（1）梯形
（2）梯形
（3）梯形
两腰相等底角相等对角线相等
四边形ABCD是等腰梯形
（1）
∵ABCD是梯形且AD∥BC
又∵AB=CD
∴四边形ABCD是等腰梯形
（2）∵ABCD是梯形且AD∥BC
AD
（3）∵ABCD是梯形且AD∥BC
O∵AC=BD
∴ABCD四边形是等腰梯形
BC
又∵∠ABC=∠DCB
∴四边形ABCD是等腰梯形
13.平行线等分线段定理与推论：
※
（1）如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等；
（2）经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰；（如图）
（3）经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.（如
几何表达式举例：
（1）
（2）∵ABCD是梯形且AB∥CD
又∵DE=EAEF∥AB
∴CF=FB
图）D
E
C
F
（2）
A
DE（3）
（3）
∵AD=DB
又∵DE∥BC
∴AE=EC
AB
BC
14.三角形中位线定理：
几何表达式举例：
A
三角形的中位线平行第三边，并且等于它
的一半.DE
BC
∵AD=DBAE=EC
∴DE∥BC且DE=1BC
2
15.梯形中位线定理：
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底DC
几何表达式举例：
∵ABCD是梯形且AB∥CD
和的一半.
EF又∵DE=EACF=FB
∴EF∥AB∥CD
AB
且EF=1（AB+CD）
2
一基本概念：
四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线.
二定理：
中心对称的有关定理
※1．关于中心对称的两个图形是全等形.
※2．关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
※3．如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.
三公式：
1．S菱形=
1ab=ch.（a、b为菱形的对角线,c为菱形的边长，h为c边上的高）
2
2．S平行四边形=ah.a为平行四边形的边，h为a上的高）
3．S梯形=
四常识：
1（a+b）h=Lh.（a、b为梯形的底，h为梯形的高,L为梯形的中位线）
2
※1．若n是多边形的边数，则对角线条数公式是：
2.规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”.
n（n
2
3）.
矩正菱
形方形
形
3.如图：
平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.
平行四边形
4.常见图形中，仅是轴对称图形的有：
角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形；仅是中心对称图形的有：
平行四边形；是双对称图形的
有：
线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆.注意：
线段有两条对称轴.
※5．梯形中常见的辅助线：
ADADADAD
中点E中点
BECB
C
BEFCBCF
E
ADADADAFD
中点
EFE
中点
BCEBCBCBGC
※6．几个常见的面积等式和关于面积的真命题：
。
二、函数的概念：
函数的定义：
一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
三、函数中自变量取值范围的求法：
（1））用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
（2））用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。
（3））用寄次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。
（4））若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。
（5））对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。
四、函数图象的定义：
一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
五、用描点法画函数的图象的一般步骤
1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。
）注意：
列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。
2、描点：
（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。
3、连线：
（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。
六、函数有三种表示形式：
（1）列表法
（2）图像法（3）解析式法七、正比例函数与一次函数的概念：
一般地，形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。
一般地，形如y=kx+b（k,b为常数，且k≠0）的函数叫做一次函数.
当b=0时,y=kx+b即为y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.
八、正比例函数的图象与性质：
（1）图象:
正比例函数y=kx（k是常数，k≠0））的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y=kx。
（2）性质:
当k>0时,直线y=kx经过第三，一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k<0时,直线y=kx经过二,四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。
九、求函数解析式的方法:
待定系数法：
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体
写出这个式子的方法。
1.一次函数与一元一次方程：
从“数”的角度看x为何值时函数y=ax+b的值为0．
2.求ax+b=0（a,b是常数，a≠0）的解，从“形”的角度看，求直线y=ax+b与x轴交点的横坐标
3.一次函数与一元一次不等式：
解不等式ax+b＞0（a，b是常数，a≠0）．从“数”的角度看，x为何值时函数y=ax+b
的值大于0．
4.解不等式ax+b＞0（a，b是常数，a≠0）．从“形”的角度看，求直线y=ax+b
在x轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围．十、一次函数与正比例函数的图象与性质
一次函数[y=kx+b（k、b是常数，k≠0]
如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数.当
概念
b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数.
图像一条直线
k＞0时，y随x的增大（或减小）而增大（或减小）；
性质
k＜0时，y随x的增大（或减小）而减小（或增大）.
（1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限；
直线y=kx+（bk
（2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限；
≠0）的位置与k、b符号之间的关系.
（3）
k>0，b＝0图像经过一、三象限；
（4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限；
（5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限；
（6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。
一次函数表达求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来
式的确定确定；求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可.
一次函数重点知识归纳：
1、变量：
在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：
在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数：
一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y
都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应
3、定义域：
一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法：
（1））关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2））关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3））关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
（4））关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5））实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
5、函数的解析式：
用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式
6、函数的图像
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
7、描点法画函数图形的一般步骤
第一步：
列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：
描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：
连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
8、函数的表示方法
列表法：
一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法：
简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：
形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
1、一次函数的定义
一次函数图形与性质
一般地，形如ykxb（k，b是常数，且k
0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。
当b0时，一次函数ykx，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是ykxb，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化
成以上形式．
⑵当b
⑶当b
0，k0，k
0时，ykx仍是一次函数．
0时，它不是一次函数．
⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
2、正比例函数及性质
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0的）函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
注：
正比例函数一般形式y=kx（k不为零）①k不为零②x指数为1③b取零
当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，?
直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．
（1）解析式：
y=kx（k是常数，k≠0）
（2）必过点：
（0，0）、（1，k）
（3）走向：
k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，?
图像经过二、四象限
（4）增减性：
k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小
（5）倾斜度：
|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
3、一次函数及性质
一般地，形如y=kx＋b（k,b是常数，k≠0，）那么y叫做x的一次函数
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