第五讲 注重数学本质.docx
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第五讲注重数学本质
第五讲注重数学本质 提高数学素养
张奠宙 教授数学教育家华东师范大学
唐彩斌 中学高级教师浙江杭州现代小学数学教育研究中心
8．问题解决与应用题的教学
唐：
在数学新课程改革中，电视机前的老师会有很大的困惑，就是以前特别熟悉的应用题不见了，取而代之的是解决问题。
这两者有怎样的联系？
我们应该怎样来处理传承与创新之间的关系？
请张老师从数学的角度谈谈这两者之间的关系。
张：
数学问题分为两类，一类称为纯数学问题，像歌德巴赫猜想，另一类称为应用问题，像大学里有应用数学专业，可见应用问题是客观存在，似乎不必回避。
我们反对的是过去小学数学中那些“矫揉造作”的远离现实，使学生得不到什么教育的应用题。
新的应用题，其情境更有真实性，方法上强调数学模型的建立。
条件可以冗余，数据需要取舍，模型需要建立，结果需要验证。
像这一些都是过去的应用题所缺乏的。
唐：
张老师你也常常提起一个很典型的例子，就是弗赖登塔尔举过的一个例子，你能否再给大家介绍一下。
张：
对，这是我很欣赏的一个例子，弗赖登塔尔可以说是20世纪最伟大数学教育家，【PPT】弗赖登塔尔有一个经典的问题：
“昨夜外星人访问我校，留下了一个巨大的手印（图），今夜他还要来，试问：
我们给他坐的椅子应该有多高？
他用的新铅笔应该要多长？
【PPT】像这样的问题很现实，使我们每个学生都很感兴趣，但是它蕴含的数学思想又非常深刻。
尤其是体现比例的思想，通过测量两只手大小的比值，按比例放大，将比值用于设计椅子高度和铅笔长度，这是比、比例、相似等数学本质的体现。
像这样的问题就和过去的应用题有很大的区别，是我们需要关注的。
唐：
像这样的问题既具有现实意义，又包含了很重要的数学思想。
但说起应用题与解决问题，还有一个著名的“船长问题”不得不让我们重提。
“一条船上有75头牛，32头羊，问船长几岁？
”。
记得这个题目最早是张教授引进国内的。
那时是怎样的一个背景情况？
【PPT】
张：
当时我是在一个国际会议上面，见到法国的一个数学教育家，他告诉我在1980年前后，他们在法国进行调查。
这本来是一道是不能做的题目，可是在调查过程中发现他们学校的学生往往能够做出来，因此法国的教育家说了一句很语重心长的话：
“我们的学校是不是把孩子越教越笨了？
”记得那年我们在国内也选取一些学校做实验，结果有近90％的学生得出来答案。
学生都有这样的思想，就是老师出的题目都是对的，都是有答案的。
唐：
对，当时我也是看到你的调查有一些新的启示，这么多年过去了，现在的情况又是怎样的呢？
所以最近我们又做了一个调查，老师们可以看一下屏幕上的表格，我们选择的调查对象既有二、三年级，也有四、五、六年级的学生，老师们可以从数据上发现，有26.7％的学生是把两个数相加作为船长的年龄，还有45.1％的同学通过两个数相减得出船长的年龄。
也就是说有超过70％的同学仅仅通过加减算出来答案。
20年过去了，张老师当你看到这一组数据时是一种什么样的感觉？
答案
107岁
43岁
加减都做
其它答案
不能做
合计
六年级
4
18
2
17
4
45
五年级
29
19
7
0
55
四年级
9
39
1
27
8
84
三年级
23
46
1
10
2
82
二年级
24
28
1
11
3
67
合计
89
150
5
72
17
333
百分率
26.7%
45.1%
1.5%
21.6%
5.1%
【PPT】
张：
这就是我们在应用题方面的一个缺陷，认为什么题目都能算，都有结果。
其实我们应该能够区别哪些是数学问题，哪些不是数学问题。
数学问题要求揭示事物内在的数量关系，牛、羊数目和船长年龄没有内在的关系，学生却盲目解答，明明不能做的题目，学生却非要做，这就值得我们深思了。
唐：
或许电视机前的老师也有这样的好奇心，你不妨也去做一下这样的试验，可能结果和你想象的有很大的不同。
我们不展开讨论关于解决问题的教学，但是我们必须引起重视的是，解决数学问题应该是重在分析内在的数量关系。
而这些都是值得我们继续研究。
二、图形与几何领域问题的讨论
1．小学几何学习内容的增加
唐：
前面说了这么多数与代数的问题，接下来我们把目光转向图形的领域，在新课程改革过程中，我们发现在空间与几何的领域多了一些新的内容？
也常常出现在一些公开课观摩课中，看来很受老师们的欢迎。
为什么要增加了这些新的内容？
张：
从大学数学的观点来看，几何可以分成很多内容，具体说来，有以下5个方面：
首先是直观几何学，就是对平面图形，立体图形的认识；还有一些求面积、体积的问题，属于度量几何。
在新课标以前，小学数学主要包括这两部分内容。
后来我们发现，大学数学的许多问题，它的原始思是想非常简单，非常朴实的，和我们小学生的生活也是密切相关的，所以后来我们就增加了三个方面的内容。
第三就是演绎几何，比如说垂直，平行，线段，射线这些名词都属于演绎几何的范畴。
然后运动几何学的一些基本的内容也加到了当中，最后我们发现在中学、大学中经常出现的解析几何学，它的坐标的思想也是非常朴实、简单，大家所容易接受的，所以我们现在小学里也有了坐标几何学的内容。
总体的看，小学里包括直观几何；度量几何；演绎几何学；运动几何学；坐标几何学；这五大块。
从过去的两块扩大到五块，扩大了我们几何学的视野和感受，是十分有意义的改革。
【PPT】
唐：
听了张老师刚才的讲解，我有一个即时的一个想法，就是我们小学数学是打基础的，就像造房子打地基一样，我们现在把每一个方面的地基都垒上来了，为他以后的学习打下了更好的基础。
说起这5个方面的内容，再联系我们平时听到的一些课，我们就不难发现，如果下次你再听到比如说不同的角度观察物体，比如说平移和旋转，比如说确定位置的时候，就便于把另外几个领域的几何联系起来了。
不过对于小学来说可能还是直观几何最为基本。
张老师你认为直观几何学教学的重点是什么？
张：
我想小学数学当中，直观几何最根本的或者最核心的内容就是用平面来描述立体。
因为我们每个人所处的世界的事物都是立体的，但是我们看到的、画在教科书上的都是平面的；因此，空间图形平面化，通过平面图形想象空间物体是直观几何的重要内容。
新课标里通过照相机从“不同角度下拍摄照片”想象物体前后位置就是新增的内容。
通过三视图科学描述简单对象，也是如此。
所以说我们通过平面来描述立体的手段越来越多，角度也是多种多样的。
【PPT】
唐：
这样说来，就大大沟通了现实和数学之间的联系。
我们引导学生观察三视图，就是希望学生从平面图形读出立体的形状；以培养学生想象空间的能力。
2．什么是长度、面积、体积
唐：
在几何教学中，还有一些常见的概念，也常常引起一线教师的争论，比如什么是长度？
什么是面积？
什么是体积？
张：
人的概念有两种，一种就是生活中自然形成的，比如说面积、体积，大家都明白，但是要严格的定义却很困难。
你能说说小学是怎么样定义这些概念的吗？
唐：
小学教材中一般这样说：
“物体表面或平面封闭图形的大小叫面积”，这样是面积的定义吗？
可以吗？
张：
【PPT】小学教材中“物体表面或平面图形的大小叫面积”，这些也只是对面积的描述，不是严格的定义。
因为总是先有面积定义，才有面积大小。
在严格的面积定义里不能出现“大小”的词汇。
但是对小学生，不要讲究“面积”的严格定义（那是大学数学课程的内容）。
我们的任务是在描述面积和体积之后，着重求一些几何图形的面积和体积。
唐：
也就是说对于面积的严格定义不是重要的，重要的是我们的学生会不会求面积。
当然我们也要知道长度、面积、体积是刻画图形大小的度量。
几何学起源于图形大小的度量。
根据图形的维数，把度量一维图形大小的数称为长度，而将二维图形的大小用面积来表示，体积则是标志三维图形大小的数。
线段长度是一切度量的出发点。
知道了关于面积的定义，我们再来讨论面积公式的推导。
在常见的平面图形面积推导的过程中，除了记住面积的计算公式，还有重要一种数学思想方法的渗透：
转化思想方法。
例如，求平行四边形面积化为求矩形面积，把三角形的面积转化为求平行四边形或矩形面积等，学习梯形和圆也是一样，所有新学图形的面积都可以由已学的图形面积来推导。
这也是数学转化思想的具体体现。
这在中国古代应该怎样称谓。
张：
这很重要，这也是中国古代数学“出入相补原理”的具体运用。
这种化归的方法就是演绎几何的一部分。
就像我们现在从正方形出发到矩形再到三角形这样一种化归的办法就是一种演绎的推理的方法，是演绎几何在小学里的一种表现。
现在我们有一个明确的说法叫做化归的思想，这是逻辑框架里面非常重要的一种。
在演绎几何的领域里面，学好化归的方法是非常重要的。
3．平移、旋转和对称之间是什么关系
唐：
张老师讲到的古代数学中的“出入相补原理”一定会给大家很多的启示，记得吴文俊老师就讲过我们古代数学的辉煌，或许有很多在我们小学数学当中也会有所体现。
刚才张老师所讲到思想方法，或许又是值得我们老师探讨的一个新的方面。
在我们小学数学教学的过程当中，除了知识和技能以外，我们又渗透率哪些思想方法，是值得我们系列的展开研究和讨论的。
唐：
在小学里，为什么要学习平移，旋转和轴对称这些知识？
他们之间有怎样的关系？
张：
这就是我们刚才所说的第四块－运动几何学，小学里原来就有运动。
例如，平行四边形面积，通过三角形的运动，拼成矩形，这就是平移运动。
面积在平移运动下面不变，同样，矩形旋转90度，面积也是不变的，这就是面积的特性。
所以说运动对于我们小学老师来说并不陌生，大家是经常在那里使用的。
唐：
知道了平移和旋转之后，为什么还要谈轴对称变换呢？
这三者之间有没有一种内在的联系，能否举例说明。
张：
我想比较详细的来说一说这件事情。
大家都知道平移和旋转的概念，至于轴对称，我想大家也是很熟悉的，轴对称的图形非常漂亮，所以大家都很喜欢轴对称的图形，这里要从数学上讲一讲它的原始的价值。
【PPT】
（1）一点到另一点的运动，要知道方向和距离；用平移就能实现了。
（2）如果是两根一样长的线段（火柴棒），先将一根火柴移动过去，使得火柴头和火柴头重合，但是火柴尾不一定重合，还得转一转才行。
（图）
（3）如果是两个一模一样的三角形ABC和A’B’C’，如何看它们运动过程呢？
首先，平移运动使得A和A’重合，然后转动，使得AB和A’B’重合。
这时可能三角形已经重合了，也可能不重合，还需要反射一下才行。
（图）
因此，我们在平面上作运动，需要平移、旋转、轴对称三种不同的变换。
【PPT】在小学里我们要学习这三样东西，而这三样东西互相构成一个叫做“刚体运动”，我们小学里面接触它还是很有必要的。
唐：
刚在张老师对这3个例子的讲解，把数学发生的很强的驱动性体现出来了，不知电视机前的老师是否听清楚了，我们不妨再来看一下这三幅图。
如果一点到另一点的运动，用平移就能实现了。
如果是两根一样长的线段，还得转一转才能重合。
如果是两个一模一样的三角形，如何看它们运动过程呢？
首先要平移，然后旋转一下。
这时可能三角形已经重合了，也可能不重合，还需要翻转一下才行。
这样就把平移、旋转和对称联系在一起了。
这部分内容的学习对后续学习有什么作用？
张：
因为这是最简单的运动，接下来还有“相似运动”，“投影运动”等等，平面图形的很多的证明都需要依赖它。
运动几何学是一门很大的学问，后续要学习的内容还有很多，但是我们在初步接触，对我们开阔几何的视野，了解几何的内容是很有帮助的。
所以新课标把它列为小学数学的内容是很有见地，很有眼光的。
唐：
说起来还是为以后的学习打重要的基础。
但是还有一个概念在我们教学当中也是常常会碰到的，就是镜面对称是不是轴对称图形？
【PPT】
张：
我看到有些教材或者材料里面说镜面对称就是轴对称，我认为不太妥当。
因为轴对称都是在同一个平面当中的两个图形，镜面对称的两个图像不在一个平面内，所以不是平面上的轴对称图形。
虽然二者有联系，但毕竟是不同的，我们不能混为一谈。
唐：
对，就是有联系，但是也有区别。
4．小学数学为什么要渗透平面坐标思想
唐：
小学数学的学习为什么要渗透平面坐标思想？
从数学学习的过程和地位来看，它有怎样的地位和作用。
张：
各位老师都学过解析几何，所以大家都知道笛卡尔发现解析几何是数学上一个巨大的进步、也是人类历史上一个重大的进步，所以我们在小学中加入坐标几何的内容是非常正确的。
我想笛卡尔的重要贡献，就是一个几何的对象，他可以用数来描写，而数所满足的关系就是方程。
我们小学里面先学第一步，就是把坐标建立起来，并用数对（x，y）来表示点。
把坐标几何放到小学的学习内容中，体现了随着时代的进步，我们小学数学也在发展。
唐：
可能电视机前的老师对于解析几何内容慢慢地有些淡忘了，通过张老师这么一说，我们也可以联系起我们教过的一些内容。
比如说在平面坐标这个领域当中，确定位置可能是我们首先要学的。
那么我们有的疑问就是坐标的核心思想就是确定位置吗？
张：
很多的教案都是到此为止，就是认为坐标就是确定位置，这是第一步要做的事情。
笛卡尔当时发明坐标，并不是单纯的表示位置，坐标表示位置更多的是地理学上的应用，大家知道，地理学要求用经纬线确定地球表面上的位置，而不是数学光要研究的问题。
数学课程中用平面坐标系确定位置仅仅是学习坐标系知识的初步结果。
更重要的是用坐标来表示几何图形。
【PPT】例如，两个坐标一样的点，形成一条直线（y=x的图像），两个坐标都小于或等于10的点，构成一个边长为10的正方形等等。
【PPT】所以我们甚至建议，大家在讲完坐标之后，让大家说一说两个坐标都一样的点是形成一个怎么样的几何图形，于是发现它是一条直线或者半直线。
也可以问两个坐标都小于3的是一个怎样的图形啊，那肯定就是一个正方形。
所以不要仅仅停留在用坐标确定位置，应该稍微的引申开去。
唐：
刚在张老师也举了两个例子，我们不妨也看看屏幕上的两个例子【PPT】：
如果x＝y的图像就是左边这幅图，如果两个坐标都小于或等于3的，那么他构成的是一个边长是3的正方形，我想用平面坐标不仅能表示位置，而且能表示数学的对象。
三、统计与概率领域的问题讨论
统计数据与概率有什么关系
唐：
下面的问题有关统计与概率的学习领域。
小学数学一向对统计并不陌生，以前没有概率，平均数、条形统计图，折线统计图、扇形图等等教学，也都可以顺利进行。
大家不很清楚的是，为什么统计要和概率放在一起？
张：
统计和概论在18世纪以前是没什么关系的，后来就发生了联系，大家不知道有没有注意到在新课标中有这样一条，就是用我们现在的数据去估计和预测一个东西。
就像天气预报，是用我们过去的知识，去预测明天的、不知道的知识，这就是统计和概论结合的地方。
就是要我们从一个局部去推测、预计整体，这时问题就来了，比如局部的推测究竟准不住啊，能不能代替全部啊。
举例来说，如果只研究本班的情形，统计我们班上的期中数学考试的平均分，各个分数段的人数，画直方图，那的确和概率没有关系。
问题在于，如果本班是我们县数学教研室抓的点，要从本班成绩推测全县小学5年级学生的期中数学成绩，那就和概率有关了。
因为我们会问，本班的数学成绩能够代表全县吗？
多大程度上可以代表？
在城市的学校能否代表农村？
教研试验的点能否代表非实验的点？
这就是一个“不确定”的随机问题了。
因为未来是不知道的，整体也是不知道的，局部是否具有代表性也是不确定的，所做的估计只是一种随机的现象，这就和概率连在一起了。
唐：
对，本班的数学成绩确实能够代表一部分，但是不能完全代表，那么到底在怎样的概率意义上能够代表。
张：
这就需要我们进一步学习来掌握，小学里不需要知道这么多。
但是我们老师则应该具备这样的知识。
小学里，只要知道有样本和总体之间的区别就可以了。
例如下面这一个例子：
中华人民共和国国家统计局
关于1995年全国1％人口抽样调查主要数据的公报
（1996年2月15日）
我国于1995年进行了全国l％人口抽样调查。
这次调查，在全国30个省、自治区、直辖市（未含台湾省和港澳地区，下同）共抽取了1559个县级行政单位、47471个调查小区，共调查登记了12565594人（含现役军人），占全国人口总数的1.04％。
1995年我国人口出生率为17.12‰,出生人口2063万人;【PPT】
抽样是一种生活的常识，小学生要知道抽样这件事，我们老师给他做一些适当的解释，这对提高我们公民的素质是非常有帮助的。
所以统计和概论联系起来是我们小学数学向前跨的一步，希望我们大家能够进一步的关注。
唐：
前面讲到的这一组数据，我想电视机前的老师的想法一定跟我一样，小朋友虽然不能科学完整的来表达什么是样本、什么是总体，但看到这组数据一定能读懂其中的意思。
说起统计与概率的联系，统计图中的直方图（也就是条型统计图）是不是也可以和概率联系上呢？
张：
是的。
我认为小学数学里面的统计和概论联系起来的一个途径就是抽样，这个我们前面说过了，另一条渠道就是直方图。
例如下面是80名9岁儿童身高的直方图。
将频数除以总数80得频率图，频率可以在某种意义上代替概率，所以就和概率联系上了。
所以这个直方图就等于是描述了我们儿童身高的分布，落在127－130的概率是1/4，而小学数学的统计通过直方图很容易走到概率的方向，所以小学数学中应有初步的了解，这不但为将来的学习打下基础，也是公民素质的重要组成部分。
【PPT】
唐：
张老师的提醒让我们有了这样的一种意识，就是把统计当中的抽样和条形统计图、概率联系起来，可能有利于我们后续的学习。
看来，作为老师，我们有时真的需要居高临下，尽量多懂一点，才能抓住数学的本质。
四、综合与实践活动领域问题的讨论
1．综合与实践活动的特点
唐：
一说起这个活动，很多老师的心里就会感到没底，因为这是一个全新的内容，很多问题还在探索之中。
我想，如果我们能够把综合实践活动进行分类，应该会有助于今后的研究，同时研究起来目标也更明确了。
那么张老师你认为综合实践活动从数学的角度可以分为哪几类？
张：
这是一个新问题，我们的想法也是大家参考，我初步的想法是可以分为5类：
第一是综合应用型；第二类是活动操作型，就是通过肢体运动、实践操作来学习数学知识；第三类是数学欣赏型，数学不是光做题目，数学的美需要大家去欣赏；第四类是数学史话型，就是要联系到人文、文化；最后一类数学素养型，就是课本的基础上进行拓展和提高。
2．综合与实践活动案例：
唐：
我想这只是一个初步的分类，不同的分类标准最后的结果也不尽相同，但是我们的目标是一致的，就是把综合与实践活动研究的更深入。
刚才我们把综合与实践活动做了大致的分类，能不能列举几个案例，也便于让教师实践操作。
张：
综合应用型还可以细分为两种类型，一种是综合应用各种知识和技能的，案案例一：
身份证检验码的探索
身份证最后一位是检验码，可以根据前17位的数码算出来。
书号，超市商品号都有检验码。
身份证前十七位数字本体码加权求和公式
Ai:
表示第i位置上的身份证号码数字值
Wi:
表示第i位置上的加权因子Wi:
7910584216379105842
求第18位检验码的具体步骤是：
（1）S=Sum（Ai×Wi）,i=0,...,16，先对前17位数字的权求和
（2）计算模Y=mod（S,11），即除以11所得的余数为Y
（3）通过模得到对应的校验码
Y:
012345678910
校验码:
10X98765432
唐：
如果有一张身份证的前17位是：
11010519491231002
第18位是什么？
首先，将前17位数字和17个权因子
7910584216379105842
两两相乘再作和：
7+9+0+5+0+20+2+9+24+27+7+18+30+5+0+0+4=167.
然后将167除以11，余2，
根据对应表，2对应X
所以这位居民的第18位（检验码）是x。
电视机前的老师和同学如果有兴趣的话也可以自己试一下。
张：
综合应用型还有一类就是需要肢体参与的活动。
唐：
记得张老师介绍过这样的案例：
案例二：
自制纸飞机能够飞多远
老师可以组织这样的活动。
操作方法
（1）用一张A4纸折飞机，能够飞多远呢？
（2）要比飞的距离？
飞几次比较合适？
（3）用哪个数代表飞行距离？
（4）在机头上加上一个别针，再次测量飞行距离；看看结果会是怎样？
（5）加两个别针再作试验；（6）分析数据，推断：
是不是别针越多越远？
学生很快就会发现，如果太重也飞不远。
在这样的过程中，让学生去归纳，影响纸飞机飞行距离的各种因素。
在这一活动，为了反应飞机飞的距离不断引发学生提出数学问题，收集相应的数据，分析数据，做出判断，是一个完整的数学活动过程。
唐：
对于数学欣赏型，我们语文经常听到一些欣赏，数学怎么欣赏呢？
张：
语文是会欣赏但不会做，数学是会做但不会欣赏，所以 学会欣赏也许是我们实践活动的一个重要方面。
最容易想到的是几何图形的美：
比如建筑中的美，可以欣赏北京的天安门，澳门的大山巴，也可以是少数民族的物件：
蒙古的蒙古包，傣族的竹篓，学生可以直观地欣赏这些现实事物中的数学美。
我们也可以设计一些实践活动，应用数学的美来解决问题；
案例三：
圆规画米老鼠
要求学生只用圆规，在方格纸上用圆弧画一个米老鼠的头像。
要求学生写出圆心的位置，半径的大小。
这样的数学美，不是客观地欣赏，而是主观地创造，所以有特别的美学价值。
唐：
数学美的欣赏是不是都在图形与几何的领域？
在数与代数当中有没有这些欣赏的元素呢？
张：
数与代数中也有数学的美；如果说图形的美是一种美观，那么代数中也有美。
比如
案例四：
数学的和谐美
交换律就很美：
2＋3＝5，1/2×1/3＝1/6,a×b＝b×a；这些算式看起来就和谐。
分配律也是和谐的。
当然1/2＋1/3＝2/5；也很和谐的但它是错的。
当然这方面的研究还比较少，我希望大家一起来做，来帮助学生欣赏数学。
唐：
有一种欣赏的眼光是很重要的。
数学史话型有怎样的案例，哪些数学史是容易被学生所接受的呢？
张：
数学史是数学文化的一部分。
数学是历史地发展过来的。
我们可以组织学生在图书馆、网上收集资料，体味数学文化的伟大价值。
下面是现代和古代的两个案例。
案例五：
陈景润与哥德巴赫猜想：
1742年，歌德巴赫写信给著名数学家欧拉，信中提出如下问题：
每一个偶数n≥6，都是两个奇质数p1,p2之和，即n=p1+p2.这就是至今仍未能完全解决这个世界著名的难题，歌德巴赫猜想。
我国数学家陈景润证明了（1＋2），在国际数学界引起极大反响，离最终目的（1＋1）只有一步之遥。
人们对歌德巴赫猜想的研究，呕心沥血奋斗了两个世纪，还差这最艰难的一步。
案例六：
认识算盘。
珠算已经成为我国非物质文化遗产（6月15日刚刚通过），目前正在申报世界非物质遗产。
随着时代的发展，人们不会把它作为一种计算工具，但是它所蕴含的计数和位值的思想是留给我们很多启示的。
为什么中国的算盘上面有两颗珠？
它的数学意义是什么？
唐：
就是不是一定要学生会用算盘去计算，而是让他了解算盘作为中国的一种传统文化它的数学内涵是什么。
唐：
数学素养型的活动案例有哪些？
数学综合实践活动的内容很多，特别是为了提高数学素养，可以组织许多活动。
在新课标新修订的过程中，就有很多好的案例，例如：
案例七：
图形分类（课程标准的修订稿）
例19
如图所示，桌上散落着一些扣子，请同学们想一想可以把这些扣子分成几类？
分类的标准是什么？
然后，数一数每一类各有多少颗扣子，并用文字、图画或表格等方式把结果记录下来。
本活动的目的是希望学生能够清楚，分类是要依赖分类标准的，比如扣子的形状、扣子的颜色或者扣眼的数量都可以作为分类的标准，而在不同的分类标准下分类的结果可能是不同的。
本活
升级会员 