初等数论 第三章 同余.docx

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初等数论第三章同余

第三章同余

§1同余得概念及其基本性质

同余性质在算术中得一些应用。

一、检查因数得方法

1、一整数能被3（或9）整除得充分必要条件就是它得十进位数码之与能被3（或9）整除。

证明只需讨论正整数即可。

任取,则a可以写成十进位得形式:

2、设正整数,则7（或11或13）|a得充分必要条件就是7（或11或13）|

证明因为7×11×13=1001。

例3a=5874192能被3与9整除。

例4a=435693能被3整除,但不能被9整除。

例5a=637693能被7整除;a=75312289能被13整除。

二、弃九法（验算整数计算结果得方法）

例6设a=28997,b=39495,P=ab=1145236415,检查计算就是否正确。

解令

则（*）

若（*）不成立,则P≠ab,故在本题中,计算不正确。

注

（1）若（*）不成立,则计算不正确;但否命题不成立。

（2）利用同样得方法可以用来验证整数得加、减运算得正确性。

§2剩余类及完全剩余系

推论m个整数作成模m得一个完全剩余系得充分必要条件就是它们对模m两两不同余。

例如,下列序列都就是模m得完全剩余系:

§3简化剩余系与欧拉函数

§4欧拉定理·费马定理