图Z3－2
例题分层分析
（1）观察图形直接得到操作形成的折痕，根据矩形和平行四边形的面积公式与折叠的轴对称性质可得S矩形AEFG∶S▱ABCD＝________；
（2）由矩形的性质和勾股定理可求得FH＝________，
再由折叠的轴对称性质可知HD＝________，FC＝______，∠AHE＝
______，∠CFG＝
________，从而可得∠________＝∠________，再证得△AEH≌△CGF，可得________，进而求得AD的长；
（3）根据叠合矩形定义，画出叠合正方形，然后再求AD，BC的长．
解题方法点析
解决此类问题的关键在于仔细研读几何新概念，将新的几何问题转化为已知的三角形、四边形或圆的问题，从而解决问题．对于几何新概念弄清楚条件和结论是至关重要的．
专题训练
1．[2019·潍坊]定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]＝－3.函数y＝[x]的图象如图Z3－3所示，则方程[x]＝
x2的解为（ ）
图Z3－3
A．0或
B．0或2C．1或－
D.
或－
2．[2019·莱芜]对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：
当a≥b时，min{a，b}＝b：
当a＜b时，min{a，b}＝a.例如min{2，－1}＝－1.若关于x的函数y＝min{2x－1，－x＋3}，则该函数的最大值为（ ）
A.
B．1C.
D.
3．[2019·成都]在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（
，
）称为点P的“倒影点”．直线y＝－x＋1上有两点A，B，它们的倒影点A′，B′均在反比例函数y＝
的图象上．若AB＝2
，则k＝________．
4．[2019·齐齐哈尔]经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图Z3－4，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为________．
图Z3－4
5．[2019·湖州]对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：
a⊗b＝2a－b.例如：
5⊗2＝2×5－2＝8，（－3）⊗4＝2×（－3）－4＝－10.
（1）若3⊗x＝－2019，求x的值；
（2）若x⊗3<5，求x的取值范围．
6．[2019·义乌]定义：
有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．
（1）如图Z3－5①，等腰直角四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°.
①若AB＝CD＝1，AB∥CD，求对角线BD的长．
②若AC⊥BD，求证：
AD＝CD.
（2）如图Z3－5②，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，点P是对角线BD上一点，且BP＝2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形．求AE的长．
图Z3－5
7．[2019·宁波]有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．
（1）如图Z3－6①，在半对角四边形ABCD中，∠B＝
∠D，∠C＝
∠A，求∠B与∠C的度数之和；
（2）如图Z3－6②，锐角三角形ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO，∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE＝2∠EAF，求证：
四边形DBCF是半对角四边形；
（3）如图Z3－6③，在
（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，当DH＝BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．
图Z3－6
参考答案
类型1 新法则、新运算型
例1 【例题分层分析】
（1）m＝n×n
1
（2）10y＋x y＝x＋4
解：
（1）证明：
对任意一个完全平方数m，
设m＝n2（n为正整数），
∵|n－n|＝0，∴n×n是m的最佳分解，
∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝
＝1.
（2）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y＋x，
∵t是“吉祥数”，
∴t′－t＝（10y＋x）－（10x＋y）＝9（y－x）＝36，
∴y＝x＋4，
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴满足“吉祥数”的为15，26，37，48，59.
（3）F（15）＝
，F（26）＝
，F（37）＝
，F（48）＝
＝
，F（59）＝
.∵
>
>
>
>
，
∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值是
.
类型2 新定义几何概念型
例2 【例题分层分析】
（1）1∶2
（2）13 HN FN ∠AHF ∠CFH AHE CFG FC＝AH
解：
（1）AE，GF；1∶2.
提示：
由折叠的性质，得AD＝2AG.
∵S矩形AEFG＝AE·AG，S▱ABCD＝AE·AD，
∴S矩形AEFG∶S▱ABCD＝
＝1∶2.
（2）∵四边形EFGH是叠合矩形，∴∠FEH＝90°，
∴FH＝
＝
＝13.
由折叠的性质可知，HD＝HN，FC＝FN，∠AHE＝
∠AHF，∠CFG＝
∠CFH.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠A＝∠C，
∴∠AHF＝∠CFH，∴∠AHE＝∠CFG.
∵EH＝FG，∴△AEH≌△CGF，∴FC＝AH，
∴AD＝AH＋HD＝FC＋HN＝FN＋HN＝FH＝13.
（3）本题有以下两种基本折法，如图①，图②.
①按图①的折法的解法：
由折叠的性质可知，AD＝BF，BE＝AE＝4，CH＝DH＝5，FG＝CG.
∵四边形EBGH是叠合正方形，∴HG＝BG＝4，
∴CG＝3，∴FG＝CG＝3，
∴BF＝BG－FG＝1，BC＝BG＋CG＝4＋3＝7，
∴AD＝1，BC＝7.
②按图②的折法的解法：
设AD＝x.
由折叠的性质可知，AE＝EM＝BE＝4，MH＝AD＝x，DN＝HN，HG＝CG，FC＝FH.
由DN＝HN，HG＝CG，则GN＝
CD＝5.
∵四边形EFGN是叠合正方形，
∴EF＝FG＝GN＝5，∴MF＝BF＝3，
∴FC＝FH＝x＋3.
∵∠B＝∠EFG＝∠CGF＝90°，
∴∠BEF＋∠BFE＝∠BFE＋∠CFG＝90°，
∴∠BEF＝∠CFG，∴△GFC∽△BEF，
∴
＝
，即
＝
，解得x＝
，
∴AD＝
，BC＝BF＋FC＝3＋
＋3＝
.
专题训练
1．A [解析]由函数图象可知，当－2≤x＜－1时，y＝－2，即有[x]＝－2，此时方程无解；当－1≤x＜0时，y＝－1，即有[x]＝－1，此时方程无解；当0≤x＜1时，y＝0，即有[x]＝0，此时方程为0＝
x2，解得x＝0；当1≤x＜2时，y＝1，即有[x]＝1，此时方程为1＝
x2，解得x＝
或x＝－
（不在x的取值范围内，舍去）．综上可知，方程[x]＝
x2的解为0或
.
2．D [解析]当2x－1≥－x＋3时，x≥
，y＝min{2x－1，－x＋3}＝－x＋3，最大值为
.
当2x－1<－x＋3时，x<
，y＝min{2x－1，－x＋3}＝2x－1，y的值都小于
.
综上，该函数的最大值为
.
3．－
[解析]A，B两点在直线y＝－x＋1上，设A（a，－a＋1），B（b，－b＋1），
∴AB2＝（a－b）2＋（－a＋1＋b－1）2＝2（a－b）2＝（2
）2，∴（a－b）2＝4，∴a－b＝±2.
A，B两点的“倒影点”分别为A′（
，
），B′（
，
）．
∵点A′，B′均在反比例函数y＝
的图象上，∴
·
＝k＝
·
，∴a（1－a）＝b（1－b），变形得（a－b）（1－a－b）＝0，∵a－b＝±2，∴1－a－b＝0.
由
解得
∴k＝
·
＝
×（－2）＝－
；
由
解得
∴k＝
·
＝（－2）×
＝－
.
综上，k＝－
.
4．113°或92° [解析]∵△CBD和△ABC相似，
∴∠BCD＝∠A＝46°.
设∠ACB＝x，则∠ACD＝x－46°.
∵△ACD是等腰三角形，又∠ADC＞∠BCD，∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD.
①若AC＝AD，则∠ACD＝∠ADC＝x－46°，
∵46°＋x－46°＋x－46°＝180°，
∴x＝113°.
②若AD＝CD，则∠ACD＝∠A，
即46°＝x－46°，
∴x＝92°.
综上所述，∠A
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