三角形的应用题练习题.docx
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三角形的应用题练习题
三角形的应用题练习题
☆2.一个三角形花园，底为25米，高为16米，共种花1200株。
平均每平方米种多少株？
☆3.一个平行四边形的底长是16分米，高9分米，一个三角形与它的面积相等，高是24分米，底是多少分米？
☆4.医护人员将长6.3米，宽
1.4米的长方形白布裁制成医用三角巾，三角巾的两条直角边都是0.7米，可以裁多少块这样的医用三角巾？
★5.有一块三角形的菜地，底是18米，高6米，每0.04平方米种一棵白菜，这块地可以种白菜多少棵?
★6.一块红布长30米，宽1.5米，用它做两条直角边都是5分米的直角三角形小旗，可以做多少面?
★7.一个等边三角形的周长是15.6厘米，高是2.7厘米，它的面积是多少平方厘米？
★8.一个直角三角形，两条直角边分别是4厘米和3厘米，直角所对的边是5厘米，那么直角所对边上的高是多少厘米？
9.一个三角形的底和面积分别与一个平行四边形的底和面积相等，平行四边形的高是10厘米，三角形的高是多少？
10.一个平行四边形的面积是48平方厘米，与它等底等高的三角形的面积是?
11.一个三角形的底是6分米，高是5分米，与它等底等高的平行四边形的面积是多少？
12.一块三角形的菜地，底边长28米，高比底少11米。
如果每平方米菜地收蔬菜22.5千克。
这块菜地一共能收多少蔬菜？
13.一个等腰直角三角形木块，直角边长12分米，做50块这样的三角形木块共需多少平方米的木板？
14.等底等高的三角形的面积和平行四边形的面积和是24
三角函数的应用题
一、
1、了解解直角三角形在测量及几何问题中的应用。
2、掌握仰角、俯角、坡度、坡角等概念，利用解直角三角形解应用问题。
3、学会测量底部可以到达的物体的高度。
二、
会利用解直角三角形的知识解决一般图形问题，并能掌握把一般三角形化为直角三角形的方法。
三、
第一阶梯
[例1]如图，AD∥BC，AC⊥BC，若AD=3，DC=5，且∠B=30°，求AB的长。
解：
∵∠DAC=90°
由勾股定理，有
222CD=AD+AC
∵AD=3，DC=5
∴AC=4
∵∠B=30°∴AB=2AC
∴AB=8
1
[例2]如图，△ABC中，∠B=90°，D是BC上一点，且AD=DC，若tg∠DAC=4,
求tg∠BAD。
探索：
已知tg∠DAC是否在直角三角形中？
如果不在怎么办？
要求∠BAD的正切值需要满足怎样的条件？
点拨：
由于已知中的tg∠DAC不在直角三角形中，所以需要转化到直角三角形中，即可地D点作AC的垂线。
又要求∠BAD的正切值应已知Rt△BAD的三边长，或两条直角边AB、BD的长，根据已知可知没有提
供边长的条件，所以要充分利用已知中的tg∠DAC的条件。
由于AD=DC，即∠C=∠DAC，这时也可
把正切值直接移到Rt△ABC中。
解答：
过D点作DE⊥AC于E，
?
tg?
DAC?
14
DE
AEtg?
DAC?
且设DE=k，则AE=4k∵AD=DC,
∴∠DAC=∠C，AE=EC
∴AC=8ktgC?
∵
AB1?
BC设AB=m，BC=4m由勾股定理，有22
AB+BC=AC1
∴m?
8k17
k17
?
BC?
由勾股定理，有22CD=DE+EC?
CD?
k
?
BD?
k1由正切定理，有
DBAB15?
tg?
BAD?
.tg?
BAD?
[例3]如图，四边形ABCD中，∠D=90°，AD=3，DC=4，AB=13，BC=12，求sinB。
探索：
已知条件提供的图形是什么形？
其中∠D=90°，AD=3，DC=4，可提供什么知识？
求sinB应放在什么图形中。
点拨：
因已知是四边形所以不能求解，由于有∠D=90°，AD=3，DC=4，这样可求AC=5，又因有AB=13，BC=12，
所以可证△ABC是Rt△，因此可求sinB。
解：
连结AC
∵∠D=90°
由勾股定理，有
22AC=CD+CD
∵AD=3，CD=4，
∴AC=5
∵AB=13，BC=12
222∴13=12+5
∴∠ACB=90°
由正弦定义，有
ACAB5?
sinB?
1sinB?
第二阶梯
解：
过A点作：
AD⊥BC竽D点，设∠BAD=α
∵AB=AC
a,?
BAD?
?
CAD?
?
∴BD=CD=2
2
[例1]如图，在河的对岸有水塔AB，今在C处测得塔顶A的仰角为30°，前进20米后到D处，又测得A的
仰角为45°，求塔高AB。
探索：
在河对岸的塔能否直接测得它的高度？
为什么在C、D两处测得仰角的含义是什
么？
怎样用CD的长？
点拨：
要直接隔岸测得塔高是不可能的，也不可能直接过河去测量，这时只能考虑如
何利用两个仰角及CD长，由于塔身与地面垂直，且C、D、B三点共线这时可以构成一个直
角三角形，且有∠ACB=30°，∠ADB=45°，这时就可以借助解直角三角形的知识求解了。
解：
根据仰角的定义，有
∠ACB=30°，∠ADB=45°
又AB⊥CB于B。
∴∠DAB=45°
∴DB=AB
设AB=x
由正切定义，有
AB
DB
AB及tg?
ACB?
.CB
?
CD?
x
?
CD?
20,tg?
ADB?
?
x?
20
解得x?
10即塔高AB?
10答：
塔高AB为10米。
第三阶梯
[例1]已知等腰三角形的顶点为A，底边为a，求它的周长及面积。
探索：
在现在的已知条件下能否求得周长与面积？
如果不能求解是因为什么原因造成的，这时底边为a，
能否确定腰长及各个内角呢？
首先能否确定三角形是直角三角形呢如果不是直角三角形怎么办？
点拨：
由于没有相应的图形，所以应先确定图形，若是等腰三角形，应先假设这个三角形是斜三角形，
再根据条件先转化为直角三角形，再求相应的量。
设已知△ABC中，AB=AC，BC=a
根据正弦定义，有
sin?
BAD?
BDAB
aa即AB?
?
.sin?
2sin?
a同理AC?
2sin?
3
a
∴AB+AC+BC=a+sin?
由余切定义，有ctg?
BAD?
ADDB
a?
ctg?
∴AD=S?
ABC?
1BC?
AD∵
∴
S?
ABCa2?
?
ctg?
?
注意：
也可设∠BAC=α，则∠BAD=2。
[例2]有一块矩形纸片ABCD，若把它对折，B点落在AD上F处，如果DC=6cm，且∠DFC=2θ，∠ECB=θ，
求折痕CE长。
探索：
根据已知条件图形对折，B点落在F点的含义是什么？
它会有怎样的结论？
这时又可以形成什么
图形关系？
另知DC的长能否求折痕呢？
又根据条件我们还可以确定什么？
这时又可形成怎样的问题？
点拨：
由于F点的形成是因对折B点而形成的，因此可有△EBC≌△FEC，同时又可有△AEF∽△CDF。
根据已知条件∠DFC=2θ及∠ECB=θ，这时就可以形成与角有关的图形。
进而可求CE的长。
解：
根据已知条件，有
△EBC≌△FEC
∴EB=EF，BC=FC，∠ECB=∠ECF
∵∠CFD=2θ，且∠ECB=θ
∴∠ECF=θ
由余弦定义，有cos?
ADC?
CDCF∵∠ADC=90°－2θCF?
∴
CDsin2?
CFCE由余弦定义，有?
cos?
FCE?
?
CE?
[例3]如图6-5-5，某船向正东方向航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30°，
又航行了半小时，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A、D两点间的距离，
6sin2?
cos?
图6-5-5
思路分析：
易知ΔACD是等腰直角三角形，要求AD，不能利用ΔACD直接求得，由于BD?
20?
1?
10,图形中再没有2
其他的直角
三角形，必须构造直角三角形，作CE⊥AD于E，只要求出CE，就可能以求出AD，借助两个直角三角形中，BE、DE与BD的关系以及BE与CE之间的关系就可求CE。
[解]
作CE⊥AD，垂足为E，设CE=x海里
∵∠CAD=∠CDA=90°-45°=45°，
∴CE=AE=DE=x。
在RtΔBCE中，∠CBE=90°-30°=60°，∴BE?
CE?
cot60?
?
由DE-BE=BD得，x,
x?
1x?
20?
，2
解得x?
15?
5。
∴AD?
2x?
海里。
第四阶梯
[例1]有一段防洪大堤，其横断面为梯形ABCD，AB∥DC，斜坡AD的坡度i1=1:
1.2,斜坡BC的坡度i2=1:
0.8，大
坝顶宽DC为6米，为了增强抗洪能力，现将大堤加高，加高部分的横断面为梯形DCFE，EF∥DC，点E、F分别在AD、BC的延长线上，当新大坝顶宽EF为3.8米时，大坝加高了几米？
5
三角函数的应用题
第一阶梯
[例1]如图，AD∥BC，AC⊥BC，若AD=3，DC=5，且∠B=30°，求AB的长。
解：
∵∠DAC=90°
由勾股定理，有
222CD=AD+AC
∵AD=3，DC=5
∴AC=4
∵∠B=30°∴AB=2AC
∴AB=8
1
[例2]如图，△ABC中，∠B=90°，D是BC上一点，且AD=DC，若tg∠DAC=4,
求tg∠BAD。
探索：
已知tg∠DAC是否在直角三角形中？
如果不在怎么办？
要求∠BAD的正切值需要满足怎样的条件？
点拨：
由于已知中的tg∠DAC不在直角三角形中，所以需要转化到直角三角形中，即可地D点作AC的垂线。
又要求∠BAD的正切值应已知Rt△BAD的三边长，或两条直角边AB、BD的长，根据已知可知没有提
供边长的条件，所以要充分利用已知中的tg∠DAC的条件。
由于AD=DC，即∠C=∠DAC，这时也可
把正切值直接移到Rt△ABC中。
解答：
过D点作DE⊥AC于E，
?
tg?
DAC?
14
tg?
DAC?
且DEAE设DE=k，则AE=4k∵AD=DC,
∴∠DAC=∠C，AE=EC
∴AC=8ktgC?
∵
AB1?
BC设AB=m，BC=4m由勾股定理，有22AB+BC=AC
∴m?
8k17
k17
?
BC?
由勾股定理，有22
CD=DE+EC
?
CD?
k
?
BD?
k1由正切定理，有
DBAB15?
tg?
BAD?
.tg?
BAD?
[例3]如图，四边形ABCD中，∠D=90°，AD=3，DC=4，AB=13，BC=12，求sinB。
探索：
已知条件提供的图形是什么形？
其中∠D=90°，AD=3，DC=4，可提供什么知识？
求sinB应放在什么图形中。
点拨：
因已知是四边形所以不能求解，由于有∠D=90°，AD=3，DC=4，这样可求AC=5，又因有AB=13，BC=12，
所以可证△ABC是Rt△，因此可求sinB。
解：
连结AC
∵∠D=90°
由勾股定理，有
22AC=CD+CD
∵AD=3，CD=4，
∴AC=5
∵AB=13，BC=12
222∴13=12+5
∴∠ACB=90°
由正弦定义，有
ACAB5?
sinB?
1sinB?
第二阶梯
[例1]如图，在河的对岸有水塔AB，今在C处测得塔顶A的仰角为30°，前进20米后到D处，又测得A的
仰角为45°，求塔高AB。
探索：
在河对岸的塔能否直接测得它的高度？
为什么在C、D两处测得仰角的含义是什
么？
怎样用CD的长？
点拨：
要直接隔岸测得塔高是不可能的，也不可能直接过河去测量，这时只能考虑如
何利用两个仰角及CD长，由于塔身与地面垂直，且C、D、B三点共线这时可以构成一个直
角三角形，且有∠ACB=30°，∠ADB=45°，这时就可以借助解直角三角形的知识求解了。
解：
根据仰角的定义，有
∠ACB=30°，∠ADB=45°
又AB⊥CB于B。
∴∠DAB=45°
∴DB=AB
设
AB=x
由正切定义，有
AB
DB
AB及tg?
ACB?
.CB
?
CD?
x
?
CD?
20,tg?
ADB?
?
x?
20
解得x?
10即塔高AB?
10答：
塔高AB为10米。
第三阶梯
[例1]已知等腰三角形的顶点为A，底边为a，求它的周长及面积。
探索：
在现在的已知条件下能否求得周长与面积？
如果不能求解是因为什么原因造成的，这时底边为a，
能否确定腰长及各个内角呢？
首先能否确定三角形是直角三角形呢如果不是直角三角形怎么办？
点拨：
由于没有相应的图形，所以应先确定图形，若是等腰三角形，应先假设这个三角形是斜三角形，
再根据条件先转化为直角三角形，再求相应的量。
设已知△ABC中，AB=AC，BC=a
解：
过A点作：
AD⊥BC竽D点，设∠BAD=α
∵AB=AC
a,?
BAD?
?
CAD?
?
∴BD=CD=根据正弦定义，有
sin?
BAD?
BD
AB
aa即AB?
?
.sin?
2sin?
a同理AC?
2sin?
a
∴AB+AC+BC=a+sin?
由余切定义，有ctg?
BAD?
ADDB
a?
ctg?
∴AD=2
∵S?
ABC?
1BC?
AD∴
S?
ABCa2?
?
ctg?
?
注意：
也可设∠BAC=α，则∠BAD=2。
[例2]有一块矩形纸片ABCD，若把它对折，B点落在AD上F处，如果DC=6cm，且∠DFC=2θ，∠ECB=θ，
求折痕CE长。
探索：
根据已知条件图形对折，B点落在F点的含义是什么？
它会有怎样的结论？
这时又可以形成什么
图形关系？
另知DC的长能否求折痕呢？
又根据条件我们还可以确定什么？
这时又可形成怎样的问
题？
点拨：
由于F点的形成是因对折B点而形成的，因此可有△EBC≌△FEC，同时又可有△AEF∽△CDF。
根据已知条件∠DFC=2θ及∠ECB=θ，这时就可以形成与角有关的图形。
进而可求CE的长。
解：
根据已知条件，有
△EBC≌△FEC
∴EB=EF，BC=FC，∠ECB=∠ECF
∵∠CFD=2θ，且∠ECB=θ
∴∠ECF=θ
由余弦定义，有cos?
ADC?
CDCF∵∠ADC=90°－2θCF?
∴
CDsin2?
由余弦定义，有?
cos?
FCE?
?
CE?
CFCE
[例3]如图6-5-5，某船向正东方向航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30°，
又航行了半小时，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A、D两点间的距离，
6sin2?
cos?
图6-5-5
思路分析：
易知ΔACD是等腰直角三角形，要求AD，不能利用ΔACD直接求得，由于BD?
20?
1?
10,图形中再没有2
其他的直角
三角形，必须构造直角三角形，作CE⊥AD于E，只要求出CE，就可能以求出AD，借助两个直角三角形中，BE、DE与BD的关系以及BE与CE之间的关系就可求CE。
[解]
作CE⊥AD，垂足为E，设CE=x海里
∵∠CAD=∠CDA=90°-45°=45°，
∴CE=AE=DE=x。
在RtΔBCE中，∠CBE=90°-30°=60°，∴BE?
CE?
cot60?
?
由DE-BE=BD得，x,
x?
1x?
20?
，2
解得x?
15?
5。
∴AD?
2x?
海里。
第四阶梯
[例1]有一段防洪大堤，其横断面为梯形ABCD，AB∥DC，斜坡AD的坡度i1=1:
1.2,斜坡BC的坡度i2=1:
0.8，大
坝顶宽DC为6米，为了增强抗洪能力，现将大堤加高，加高部分的横断面为梯形DCFE，EF∥DC，点E、F分别在AD、BC的延长线上，当新大坝顶宽EF为3.8米时，大坝加高了几米？
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