18版七下第五章 相交线与平行线人教版教案.docx

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18版七下第五章相交线与平行线人教版教案

第五章　相交线与平行线

主题

相交线与平行线

课型

新授课

上课时间

教学内容

5.1相交线;5.2平行线及其判定;5.3平行线的性质;5.4平移.

教材分析

平面内两条直线的位置关系是“空间与图形”所要研究的基本问题,本章是在学生已有知识和经验的基础上,对平面内两条直线的位置关系的进一步探索.本章首先研究了相交的情形,探究了两直线相交所成的角的位置和大小关系,给出了邻补角和对顶角概念,得出了“对顶角相等”的结论;垂直作为两条直线相交的特殊情形,与它有关的概念和结论是学习下一章“平面直角坐标系”的基础,本章对垂直的情形进行了研究,探索得出了“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”“垂线段最短”等结论,并给出点到直线的距离的概念,为学习在平面直角坐标系中确定点的坐标打下基础.命题是以后研究形式逻辑概念和术语的基础.

教学目标

1.知识与技能

（1）了解两条直线的位置关系有相交与平行两种,理解相交线、平行线、平移的有关概念及性质,会运用这些概念和性质进行简单的推理和计算.

（2）会用三角板、量角器等工具熟练地画垂线、平行线及有关的简单几何图形,逐步培养学生的识图和绘图能力.

（3）进一步熟悉和掌握几何语言,能够把学过的概念和性质,用图形或符号语言表示出来.

（4）逐步了解几何推理要步步有据,会准确地填写推理的根据,并会作简单的推理.

2.过程与方法

（1）通过探索、猜测,进一步体会学会推理的必要性,发展学生初步推理能力.

（2）通过揭示一些概念和性质之间的联系,对学生进行创新精神和实践能力的培养.

3.情感、态度与价值观

（1）通过观察、实验、归纳、类比、推断,体验数学活动的趣味性,以感受推理过程的严谨性以及结论的确定性.

（2）开展探究性活动,充分体现学生的自主性和合作精神,激发学生乐于探索的热情.

教学

重难点

重点:

垂线的概念与平行线的判定与性质及平移.

难点:

学会写推理过程和对直线平行的性质和判定的灵活运用.

知识结构

课题

相交线

课时

1课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

（1）理解对顶角和邻补角的概念,能在图形中辨认.

（2）掌握对顶角相等的性质和它的推证过程.

（3）通过在图形中辨认对顶角和邻补角,培养学生的识图能力.

2.过程与方法

经历动手画图、观察、推断、交流、归纳小结等数学活动,初步感受学习几何知识的方法,培养学生的观察,转化,推理能力和数学语言规范表达能力.

3.情感、态度与价值观

通过探索邻补角、对顶角的定义及对顶角相等的性质,培养学生的语言表达和书写能力;在解题中感受生活中数学的存在,体验数学中充满着探索和创造.

教学

重难点

重点:

邻补角和对顶角的概念及对顶角相等的性质.

难点:

在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

问题:

请同学们观察下面的图片,说一说哪些道路是交错的,那些是平行的?

教师导入:

图中的道路是有宽度的,是有限长的,而且也不是完全直的,当我们把它们看成直线时,这些直线有些是相交线,有些是平行线.相交线、平行线都有许多重要性质,并且在生产和生活中有广泛应用.所以研究这些问题对今后的工作和学习都是有用的,也将为后面的学习做些准备.我们先研究直线相交的问题.

探索新知

合作探究

导学1:

理解对顶角和邻补角的概念,并会在图形中进行辨别

1.观察图片,注意剪刀剪开布片过程中有关角的变化.

2.将剪刀抽象为几何图形并画一画.如图:

几何语言描述图形:

直线AB,CD相交于点O.

概念:

如果两条直线有一个公共点,就说这两条直线相交,公共点叫做这两条直线的交点.

3.概念归纳

（1）∠1与∠3是直线AB,CD相交得到的,它们有一个公共顶点O,没有公共边,像这样的两个角叫做对顶角.

（2）∠1与∠2是直线AB,CD相交得到的,有公共顶点O,且有一条公共边,像这样的两个角叫做邻补角.

续表

探索新知

合作探究

4.初步应用

【例题】

（1）下列图中的∠1与∠2是邻补角吗?

为什么?

【教师强调】邻补角的特点:

①顶点相同;②有一条公共边,另一边互为反向延长线;③成对出现.

（2）下列各图中∠1,∠2是对顶角吗?

【教师强调】对顶角的特点:

①顶点相同;②角的两边互为反向延长线;③成对出现的.

导学2:

掌握对顶角的性质并会推导

问题:

我们在图形中能准确地辨认对顶角,那么对顶角有什么性质呢?

1.动手操作,推出性质

已知,直线AB与CD相交于O点（如图）,试猜想∠1,∠3的大小关系,并借助量角器或其他方式验证你的想法.（∠1=∠3）

思考:

你能用说理的方法推出∠1=∠3吗?

2.性质归纳:

对顶角相等.

教师指导

1.归纳小结:

（1）相交线.

（2）邻补角、对顶角.（3）对顶角的性质.

2.方法规律:

（1）邻补角是有特殊位置关系的两个互补的角.要注意区别补角与邻补角这两个概念,互为补角的两个角只强调数量关系,不强调位置关系,邻补角不仅强调数量关系,同时也强调位置关系.

（2）对顶角和邻补角是成对出现的,只有两条直线相交时,才产生对顶角和邻补角.

当堂训练

1.

（1）若∠1与∠2是对顶角,∠1=16°,则∠2=　　　　°; 

（2）若∠3与∠4是邻补角,则∠3+∠4=　　　　°. 

2.若∠1与∠2为对顶角,∠1与∠3互补,则∠2+∠3=　　　　°. 

板书设计

相交线

两条直线相交

求角的大小

教学反思

课题

垂线

课时

1课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

（1）理解垂线、垂线段的概念,会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.

（2）掌握点到直线的距离的概念,并会度量点到直线的距离.

（3）掌握垂线的性质,并会利用所学知识进行简单的推理.

2.过程与方法

经历了在操作中探索知识的过程.学生获得了初步的数学活动经验和体验.

3.情感、态度与价值观

通过学生自己动手操作得到垂线的性质,培养学生的观察能力、动手能力、思维能力和解决实际问题的能力,增强学生学习数学的兴趣.

教学

重难点

重点:

两直线互相垂直的有关性质.

难点:

过直线上（外）一点作已知直线的垂线.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

大家都看到过跳水比赛,下面几幅图片中是几种不同的入水方式,你知道哪个图片中运动员获得的分数最高吗?

在获得分数最高的图片中你知道运动员的身体和水面之间的关系吗?

这节课我们将要学习有关这种关系的知识.

探索新知

合作探究

导学1:

垂直的定义

活动1　在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,当b的位置变化时,a,b所成的角α也会发生变化.

当α=90°时,a与b垂直.当α≠90°时,a与b不垂直.

垂直定义:

当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角（90°）时,这两条直线互相垂直,其中一条直线叫另一条直线的垂线,它们的交点叫垂足.

（说明）从垂直的定义可知,判断两条直线互相垂直的关键:

只要找到两条直线相交时四个交角中有一个角是直角.

续表

探索新知

合作探究

导学2:

垂线的书写形式

垂线的定义及书写形式

图示

文字语言

几何语言

两层含义

直线AB垂直于直线CD,O为垂足.

AB⊥CD,O为垂足.（垂直用符号“⊥”来表示,读作“垂直于”）

含义1:

因为AB⊥CD

所以∠1=90°,

含义2:

因为∠1=90°

所以AB⊥CD

导学3:

垂线的画法和垂线性质

活动2　已知直线的垂线

如图,已知直线m和m上的一点A,作m的垂线.

（1）靠:

把三角板的一直角边靠在直线上;

（2）移:

移动三角板到已知点;

（3）画线:

沿着三角板的另一直角边画出垂线.

思考:

（1）画已知直线m的垂线能画几条?

（2）过直线m上的一点A画m的垂线,这样的垂线能画几条?

（3）过直线m外的一点A画m的垂线,这样的垂线能画几条?

垂线的性质1　过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

说明:

（1）“过一点”包括几种情况?

线上和线外;

（2）“有且只有”是什么意思?

存在性与唯一性.

导学4:

垂线的性质

活动3比较过直线m外一点O与m相交的所有线段中,哪一条最短?

垂线的性质2　直线外一点与直线上各点连接的所有线段中.垂线段最短.即:

垂线段最短.

点到直线的距离　直线外一点到已知直线的垂线段的长度就叫做点到直线的距离.

续表

探索新知

合作探究

教师指导

1.归纳小结:

（1）垂直;

（2）垂线;（3）性质;（4）点到直线的距离.

2.方法规律:

（1）①对于垂线的性质,必须强调“在同一平面内”,否则,在空间里,经过一点与已知直线垂直的垂线有无数条;②“过一点”包括直线上一点和直线外一点,“有”表示存在,“只有”表示唯一.

（2）垂线是直线,垂线段特指一条线段,点到直线的距离是指垂线段的长度.

当堂训练

如图所示,在△ABC中,∠ABC=90°,

①过点B作三角形ABC的AC边上的高BD,过D点作三角形ABD的AB边上的高DE.

②点A到直线BC的距离是线段　　　　的长度. 

点B到直线AC的距离是线段　　　　的长度. 

点D到直线AB的距离是线段　　　　的长度 

线段AD的长度是点　　　　到直线　　　　的距离. 

板书设计

垂　线

垂线

求最短距离

教学反思

课题

同位角、内错角、同旁内角

课时

1课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

（1）理解同位角、内错角、同旁内角的概念.

（2）结合图形识别同位角、内错角、同旁内角.

2.过程与方法

通过变式图形的识图训练,培养学生的识图能力,推理能力.

3.情感、态度与价值观

（1）从复杂图形分解为基本图形的过程中,渗透化繁为简,化难为易的化归思想;从图形变化过程中,培养学生辩证唯物主义观点.

（2）通过“三线八角”基本图形,使学生认识几何图形的位置美.

教学

重难点

重点:

同位角、内错角、同旁内角的概念.

难点:

在较复杂的图形中辩认同位角、内错角、同旁内角.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

上一节课中我们主要学习两条直线相交的情况,两条直线相交时,可以形成哪几种角?

如果两条直线被第三条直线所截时,还能形成以上的角吗?

是否还有其他类型的角呢?

你能说出它们的名字吗?

如图.

探索新知

合作探究

导学1:

理解同位角的概念,掌握其特点

在上面的“三线八角”图中,直线AB,CD是被截直线,EF是截线.

问题1:

观察图中的∠1和∠5,它们与截线及两条被截直线在位置上有什么特点?

你能给它们起个名字吗?

问题2:

图中还有其他的同位角吗?

并说出他们相对于截线和被截线的位置.

变式图形:

图中的∠1与∠2是同位角吗?

如果是,请指出他们分别是由哪两条直线被哪一条直线所截而形成?

引导学生观察这些图形的特征,看它们都象哪一个字母?

归纳:

同位角形如字母“F”型.

【教师强调】同位角中的“同”字有两层含义:

一同是指两角在截线的同旁,二同是指它们在被截两直线同方.

续表

探索新知

合作探究

导学2:

借助问题串,能自主探索出内错角、同旁内角的概念及特点

问题1:

观察上面的“三线八角”图中的∠3和∠5,它们与截线及两条被截直线在位置上有什么特点?

你能给它们起个名字吗?

图中还有其他的同类角吗?

并说出他们相对于截线和被截线的位置.

问题2:

观察上面的“三线八角”图中的∠4和∠5,它们与截线及两条被截直线在位置上有什么特点?

你能给它们起个名字吗?

图中还有其他的同类角吗?

并说出他们相对于截线和被截线的位置.

图中的∠1与∠2哪些是内错角?

哪些是同旁内角?

是内错角的图形有什么共同特征都象哪一字母?

是同旁内角的图形有什么共同特征都象哪一字母?

归纳:

内错角形如字母“Z”型;同旁内角形如字母“U”型.

导学3:

概念深化,理解三类角的区别和联系

角的名称

位置特征

基本图形

图形结构特征

同位角

在两条被截直线

同旁,在截线同侧

去掉多余的线

显现基本图形　

形如字母“F”

（或倒置）

内错角

在两条被截直线之内,

在截线两侧（交错）

去掉多余的线

显现基本图形　

形如字母“Z”

（或反置）

同旁内角

在两条被截直线

之内,在截线同侧

去掉多余的线

显现基本图形　

形如字母“U”

导学4:

能从复杂的图形中辨认同位角、内错角、同旁内角

【例1】如图,直线DE截AB,AC,构成8个角,指出所有的同位角,内错角,同旁内角.

续表

探索新知

合作探究

【例2】（教材P7例2）:

如图,直线DE,BC被直线AB所截.

（1）∠1与∠2,∠1与∠3,∠1与∠4各是什么关系的角?

（2）如果∠1=∠4,那么∠1和∠2相等吗?

∠1和∠3互补吗?

为什么?

教师指导

归纳小结:

（1）同位角;

（2）内错角;（3）同旁内角.

当堂训练

1.如图,∠DAB和∠ABC是（　　）

（A）同位角（B）同旁内角

（C）内错角（D）以上结论都不对

2.如图,图中同旁内角共有（　　）

（A）2对（B）3对（C）4对（D）5对

第1题图第2题图

3.图中,∠1与∠2,∠3与∠4各是哪一条直线截哪两条直线而成的?

它们各是什么角?

板书设计

同位角、内错角、同旁内角

三线八角

教学反思

课题

平行线

课时

1课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

结合生活情境,感知平面上两条直线的平行关系,认识平行线.

2.过程与方法

通过自主探索和合作交流,学会用合适的方法做出一组平行线,并能借助直尺、三角尺等工具画平行线.

3.情感、态度与价值观

经历从现实中抽象出平行线的过程,培养学习“空间与图形”的兴趣,发展空间观念.

教学

重难点

重点:

探索和掌握平行公理及其推论.

难点:

对平行线本质属性的理解,用几何语言描述图形的性质.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

数学来源于生活,生活中处处有数学,观察下面的图片,你发现了什么?

以上的图片都有两条相互平行的直线,这将是我们这节课学习的内容.

探索新知

合作探究

一、创设问题情境

1.复习提问:

两条直线相交有几个交点?

相交的两条直线有什么特殊的位置关系?

学生回答后,教师把教具中木条b与c重合在一起,转动木条a确认学生的回答.教师接着问:

在平面内,两条直线除了相交外,还有别的位置关系吗?

2.教师演示教具.顺时针转动木条b两圈,让学生思考:

把a,b想象成两端可以无限延伸的两条直线,顺时针转动b时,直线b与直线a的交点位置将发生什么变化?

在这个过程中,有没有直线b与c不相交的位置?

3.教师组织学生交流并形成共识.

一定存在一个直线b的位置,它与直线a没有交点.

二、平行线定义,表示法

1.结合演示的结论,师生用数学语言描述平行定义:

同一平面内,存在一条直线a与直线b不相交的位置,这时直线a与b互相平行.换言之,同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.直线a与b是平行线,记作“∥”,这里“∥”是平行符号.

教师应强调平行线定义的本质属性,第一是同一平面内两条直线,第二是没有交点的两条直线.

2.同一平面内,两条直线的位置关系

在同一平面内,不重合的两条直线只有两种位置关系:

相交或平行,两者必居其一.即两条直线不相交就是平行,或者不平行就是相交.

续表

探索新知

合作探究

三、画图、观察、归纳概括平行公理及平行公理推论

1.在转动教具木条b的过程中,有几个位置能使b与a平行?

本问题是学生探究直线b绕直线a外一点B转动时,有并且只有一个位置使a与b平行.

2.用直线和三角尺画平行线.已知:

直线a,点B,点C.

（1）过点B画直线a的平行线,能画几条?

（2）过点C画直线a的平行线,它与过点B的平行线平行吗?

3.通过观察画图、归纳平行公理及推论.

（1）由学生对照垂线的第一性质说出画图所得的结论.

（2）在学生充分交流后,教师板书.

平行公理:

经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.

（3）比较平行公理和垂线的第一条性质.

共同点:

都是“有且只有一条直线”,这表明与已知直线平行或垂直的直线存在并且是唯一的.

不同点:

平行公理中所过的“一点”要在已知直线外,垂线性质中对“一点”没有限制,可在直线上,也可在直线外.

4.归纳平行公理推论.

（1）学生直观判定过B点、C点的a的平行线b,c互相平行.

（2）从直线b,c产生的过程说明直线b∥c.

（3）学生用三角尺与直尺验证b∥c.

（4）师生用数学语言表达这个结论,教师板书.

两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行.

结合图形,教师引导学生用符号语言表达平行公理推论:

如果b∥a,c∥a,那么b∥c.

（5）简单应用.练习:

如果多于两条直线,比如三条直线a,b,c与直线l都平行,那么这三条直线互相平行吗?

请说明理由.

本练习是让学生在反复运用平行公理推论中掌握平行公理推论以及说理规范.

教师指导

1.归纳小结:

（1）平行线.

（2）平行线的画法.

（3）平行公理及推论.

续表

探索新知

合作探究

2.方法规律:

平行线的定义:

①理解平行线的定义应注意把握以下三个方面:

a.同一平面内;b.永不相交;c.两条直线.

②同一平面内,两条直线的位置关系有两种:

相交或平行.

③今后遇到线段、射线平行时,特指线段、射线所在的直线平行.

平行公理及推论:

①以上结论说的是经过“直线外一点”,若经过直线上一点作已知直线的平行线,就与已知直线重合了.

②平行公理1指出了过直线外一点作这条直线的平行线的“存在性”和“唯一性”.

③我们把平行公理的推论称为平行线的传递性.在判断两直线是否平行时,除了利用平行线的定义,有时还要用到此公理.

当堂训练

1.在同一平面内,两条直线的位置关系有　　　　. 

2.两条直线l1与l2相交点A,如果l1∥l,那么l2与l（　　　　）,这是因为　　　　　　　　　　　　　　. 

3.在同一平面内,一条直线和两条平行线中一条直线相交,那么这条直线与平行线中的另一条必　　　　. 

4.两条直线相交,交点的个数是　　　　,两条直线平行,交点的个数是　　　　个. 

5.读下列语句,并画出图形后判断.

（1）直线a,b互相垂直,点P是直线a,b外一点,过P点的直线c垂直于直线b;

（2）判断直线a,c的位置关系,并借助于三角尺、直尺验证.

6.试说明三条直线的交点情况,进而判定在同一平面内三条直线的位置情况.

板书设计

平行线

平行线

教学反思

课题

平行线的判定

课时

1课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

（1）掌握判定两直线平行三种判定方法.

（2）能灵活地选用直线平行的判定方法进行说理.

2.过程与方法

经历探究直线平行的条件的过程,领悟归纳、演绎、类比和转化的数学思想方法以及数学公理化的方法.

3.情感、态度与价值观

在自主探索和合作交流的过程中,丰富学生的基本活动经验,培养学生实事求是的科学态度,培养学生学习数学的兴趣.

教学

重难点

重点:

理解直线平行的判定方法,并会根据判定方法进行简单的推理应用.

难点:

平行线判定方法的灵活运用和其推导过程中的转化思想的认识.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

一个长方形工件,如果需要检验它是否符合设计要求,除了度量它的长和宽的尺寸外,还要检查各面的长宽是否分别平行,而这些实际问题如果根据平行线的定义去判断是不可能的,但又如何判断它们是否平行呢?

探索新知

合作探究

活动1:

如图,三根木条相交成∠1,∠2,固定木条b,c,转动木条a,观察∠1,∠2满足什么条件时直线a与b平行.

　　　　　　　　直线a和b不平行　　　　直线a∥b

得出结论:

两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.

活动2:

图中,如果∠1=∠7,能得出AB∥CD吗?

写出你的推理过程.

由此你又得出怎样的平行判定?

结论:

两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.

活动3:

图中,如果∠4+∠7=180°,能得出AB∥CD吗?

结论:

两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.

续表

探索新知

合作探究

教师指导

1.归纳小结:

（1）判定方法1:

同位角相等,两直线平行.

（2）判定方法2:

内错角相等,两直线平行.

（3）判定方法3:

同旁内角互补,两直线平行.

2.方法规律:

（1）要掌握直线平行的判定定理,首先要掌握同位角、内错角、同旁内角的定义.

（2）判定方法是从角的关系得到两直线平行.

（3）一定要看清是哪两条直线被同一直线所截形成的同位角相等或内错角相等或同旁内角互补,才能正确判断是哪两条直线平行.

当堂训练

1.如图,

（1）从∠1=∠2,可以推出　　　　∥　　　　,理由是　　　　　　　　　　　　. 

（2）从∠2=∠　　　　,可以推出c∥d,理由是　　　　　　　　　　　　. 

（3）如果∠1=75°,∠4=105°,可以推出　　　　∥　　　　,理由是　　　　　　　　　　　　. 

2.如图,已知∠1=75°,∠2=105°,问:

AB与CD平行吗?

为什么?

3.

如图,∠B=∠C,∠B+∠D=180°,那么BC与DE平行吗?

为什么?

答:

　　　　,理由:

因为∠B=∠C,（　　　　） 

∠B+∠D=180°,（　　　　） 

所以∠C+∠D=180°,（　　　　） 

所以BC∥DE.（　　　　） 

板书设计

平行线的判定

平行线的判定

两直线平行

教学反思

课题

平行线的性质

课时

1课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

（1）认识平行线的三条性质.

（2）能熟练运用这三条性质证明几何题.

（3）进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法.

2.过程与方法

经历观察、操作、推理、交流等学习活动,进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.

3.情感、态度与价值观

推导、论证定理正确性的过程,有利于培养学生严谨的逻辑思维能力,让学生领悟数学的魅力,增强他们对数学的兴趣.

教学

重难点

重点:

掌握平行线的性质.

难点:

平行线的性质的应用.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

提出问题:

1.（如图1）是在三星堆考古工作中发掘的一个残缺玉片,工作人员复原后发现其形状是梯形（如图2）,并且已经量得∠A=115°,

∠D=100°.你能不能求出另外两个角的度数?

2.在上一节课中,我们证明了有关平行线的判定定理,那么对于平行线的性质,又怎么证明呢?

能运用上节课积累的方法进行说明吗?

今天这节课我们一起再来试一试