初升高数学提高练习第十三讲 梯形.docx

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初升高数学提高练习第十三讲梯形

第十三讲梯形

　　与平行四边形一样，梯形也是一种特殊的四边形，其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位，本讲就来研究它们的有关性质的应用．

　　例1如图2-43所示．在直角三角形ABC中，E是斜边AB上的中点，D是AC的中点，DF∥EC交BC延长线于F．求证：

四边形EBFD是等腰梯形．

　　分析因为E，D是三角形ABC边AB，AC的中点，所以ED∥BF．此外，还要证明

（1）EB=DF；

（2）EB不平行于DF．

　　证因为E，D是△ABC的边AB，AC的中点，所以

ED∥BF．

　　又已知DF∥EC，所以ECFD是平行四边形，所以

　　EC=DF．①

　　又E是Rt△ABC斜边AB上的中点，所以

　　EC=EB．②

　　由①，②

EB=DF．

　　下面证明EB与DF不平行．

　　若EB∥DF，由于EC∥DF，所以有EC∥EB，这与EC与EB交于E矛盾，所以EB

DF．

　　根据定义，EBFD是等腰梯形．

　　例2如图2-44所示．ABCD是梯形，AD∥BC，AD＜BC，AB=AC且AB⊥AC，BD=BC，AC，BD交于O.求∠BCD的度数．

　　分析由于△BCD是等腰三角形，若能确定顶点∠CBD的度数，则底角∠BCD可求．由等腰Rt△ABC可求知斜边BC（即BD）的长．又梯形的高，即Rt△ABC斜边上的中线也可求出．通过添辅助线可构造直角三角形，求出∠BCD的度数．

　　解过D作DE⊥EC于E，则DE的长度即为等腰Rt△ABC斜边上的高AF．设AB=a，由于△ABF也是等腰直角三角形，由勾股定理知

AF2+BF2=AB2，

　　即

　　又

BC2=AB2+AC2=2AB2=2a2，

　　由于BC=DB，所以，在Rt△BED中，

　　从而∠EBD=30°（直角三角形中30°角的对边等于斜边一半定理的逆定理）．在△CBD中，

　　例3如图2-45所示．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠ADC=135°，CD的垂直平分线交BC于N，交AB延长线于F，垂足为M．求证：

AD=BF．

　　分析MF是DC的垂直平分线，所以ND=NC．由AD∥BC及∠ADC=135°知，∠C=45°，从而∠NDC=45°，∠DNC=90°，所以ABND是矩形，进而推知△BFN是等腰直角三角形，从而AD=BN=BF．

　　证连接DN．因为N是线段DC的垂直平分线MF上的一点，所以ND=NC．由已知，AD∥BC及∠ADC=135°知

∠C=45°，

　　从而

∠NDC=45°．

　　在△NDC中，

∠DNC=90°（=∠DNB），

　　所以ABND是矩形，所以

AF∥ND，∠F=∠DNM=45°．

　　△BNF是一个含有锐角45°的直角三角形，所以BN=BF．又

AD=BN，

　　所以AD=BF．

　　例4如图2-46所示．直角梯形ABCD中，∠C=90°，AD∥BC，AD+BC=AB，E是CD的中点．若AD=2，BC=8，求△ABE的面积．

　　分析由于AB=AD+BC，即一腰AB的长等于两底长之和，它启发我们利用梯形的中位线性质（这个性质在教材中是梯形的重要性质，我们将在下一讲中深入研究它，这里只引用它的结论）．取腰AB的中点F，

（或BC）．过A引AG⊥BC于G，交EF于H，则AH，GH分别是△AEF与△BEF的高，所以

AG2=AB2-BG2=（8+2）2-（8-2）2=100-36=64，

　　所以AG=8．这样S△ABE（=S△AEF+S△BEF）可求．

　　解取AB中点F，连接EF．由梯形中位线性质知

EF∥AD（或BC），

　　过A作AG⊥BC于G，交EF于H．由平行线等分线段定理知，AH=GH且AH，GH均垂直于EF．在Rt△ABG中，由勾股定理知

　　AG2=AB2-BG2

　　　=（AD+BC）2-（BC-AD）2

　　　=102-62=82，

　　所以AG=8，

　　从而AH=GH=4，

　　所以

　　S△ABE=S△AEF+S△BEF

　　例5如图2-47所示．四边形ABCF中，AB∥DF，∠1=∠2，AC=DF，FC＜AD．

（1）求证：

ADCF是等腰梯形；

（2）若△ADC的周长为16厘米（cm），AF=3厘米，AC-FC=3厘米，求四边形ADCF的周长．

　　分析欲证ADCF是等腰梯形．归结为证明AD∥CF，AF=DC，不要忘了还需证明AF不平行于DC．利用已知相等的要素，应从全等三角形下手．计算等腰梯形的周长，显然要注意利用AC-FC=3厘米的条件，才能将△ADC的周长过渡到梯形的周长．

　　解

（1）因为AB∥DF，所以∠1=∠3．结合已知∠1=∠2，所以∠2=∠3，所以EA=ED．　　又AC=DF，　　所以EC=EF．

　　所以△EAD及△ECF均是等腰三角形，且顶角为对顶角，由三角形内角和定理知∠3=∠4，从而AD∥CF．不难证明

△ACD≌△DFA（SAS），

　　所以AF=DC．

　　若AF∥DC，则ADCF是平行四边形，则AD=CF与FC＜AD矛盾，所以AF不平行于DC．

　　综上所述，ADCF是等腰梯形．

（2）四边形ADCF的周长=AD+DC+CF+AF．①

　　由于

　　△ADC的周长=AD+DC+AC=16（厘米），②

　　AF=3（厘米），③

　　FC=AC-3，④

　　将②，③，④代入①

　　四边形ADCF的周长=AD+DC+（AC-3）+AF

　　　　　　　　　　=（AD+DC+AC）-3+3

　　　　　　　　　　=16（厘米）．

　　例6如图2-48所示．等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD所成的角∠AOB=60°，P，Q，R分别是OA，BC，OD的中点．求证：

△PQR是等边三角形．

　　分析首先从P，R分别是OA，OD中点知，欲证等边三角形PQR的边长应等于等腰梯形腰长之半，为此，只需证明QR，QP等于腰长之半即可．注意到△OAB与△OCD均是等边三角形，P，R分别是它们边上的中点，因此，BP⊥OA，CR⊥OD．在Rt△BPC与Rt△CRB中，PQ，RQ分别是它们斜边BC（即等腰梯形的腰）的中线，因此，PQ=RQ=腰BC之半．问题获解．

　　证因为四边形ABCD是等腰梯形，由等腰梯形的性质知，它的同一底上的两个角及对角线均相等．进而推知，∠OAB=∠OBA及∠OCD=∠ODC．又已知，AC与BD成60°角，所以，△ODC与△OAB均为正三角形．连接BP，CR，则BP⊥OA，CR⊥OD．在Rt△BPC与Rt△CRB中，PQ，RQ分别是它们的斜边BC上的中线，所以

　　又RP是△OAD的中位线，所以

　　因为AD=BC，③

　　由①，②，③得PQ=QR=RP，

　　即△PQR是正三角形．

练习十三

　　1．如图2-49所示．梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥CD．求∠A的度数．

　　2．如图2-50所示．梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC交BC于E，△ABE的周长=13厘米，AD=4厘米．求梯形的周长．

　　3．如图2-51所示．梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，AB=p，CD=q，E，F分别为AB，CD的中点．求EF．

　　4．如图2-52所示．梯形ABCD中，AD∥BC，M是腰DC的中点，MN⊥AB于N，且MN=b，AB=a．求梯形ABCD的面积．

　　5．已知：

梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=36°，∠B=54°，M，N分别是DC，AB的中点．求证：