三角形四心专题研究doc.docx

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三角形四心专题研究doc

三角形四心专题研究

一.知识总结

1、三角形的重心的向量表示及应用（三边中线交点）

+商+无=g为Z\ABC的重心

命题一：

G是△力幽的重心<=>GA+GB+GC—0

命题二:

~PG=^PA

3是平面上的点）.

命题三：

点。

是三角形*的重心则S^oB=SABoc=SA€OV

|=,

2、三角形的垂心的向量表示及应用：

（三边高线交点）

命题一:

8是△，及7的垂心«HA^HB=~HB^HC=HC^HA

若H为△ABC所在平面内一点，

网、网2=疝、网2=网、疝2则点日是^ABC的垂心证明：

|7m|2+|bc|2=|7/fi|2+|cA|2=>aw|2-|ac|2=|e?

7|2-|sc|2

=>（AH+AC）（AH一AC）=（BH+BC）（BH一BC）

=>CW（AH+AC）=CH（BW+BC）

=>CH（AH+AC-BH-BC）=0=>CH・（2AB）=）nCHLABCHLAB同理可证l.AC,AH1BC所以点H是ZkABC的垂心。

3.外心（三边垂直平分线交点，外接圆圆心）

命题一：

。

是△ABC的外心OI04|=|0B1=1OCI（或

汤2=宓上可）（点0^JIJ三顶顶Jg暨相等）=（商+而）•AB=（OB+OC）•BC=（^C+O4）•C4=0

4.内心（三角平分线交点，内切圆圆心）

命题一:

。

是△0C的内心到三边距离相等o

04.

ABAC

0B・

BABC

=0C・

AB

BA

BC

<=>a-0A+b-OB+c-0C=0

证明：

因为0是三角爽呼心，

所以设而=4（巫+竺），令洋业一ha+h+c

（其中，为三角形三边）则

—be~ABACX

a+b+ccb

艮（a^-b+c）A0=bAB+cAC=b（dB-0A）+c（0C-0A）

=0

CACB

同同

<=>a■

0A+b-0B+c-0C=Q

例2.已知0是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三

个点,

满足苏=泌+人（答+莒）,I阀

AC

腥［0,+对，则P的轨迹一定通

过Z\ABC的内心

例3.已知。

是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个

点,动点P满足,0P=0A+A

ABAC

|ab|cosB|ac|cosC

"（0,+8）则动点P

的轨迹一定通过AABC的（D）

A.外心B.内心C重心D垂心

解析：

-APBC=+）=2（-BC+IbcI）=0

|/1B|cosB|AC|cosCiI

.・.AP±BC;同理AC,CP±AB,

所以动点P的轨迹一定通过的垂心。

变形：

（1）

0P=0A+4

AB

AC

网sing*网sinC

，人e（0,+oo）

（C）

（2）

（3）

/\

——.ABsineACsin8.〃、、

OP=0A+A—=—+———,2e（（X+oo）

ABAC

PB

一PC+4

AC

|/4b|cosB|/4c|cosC

，人G（0,+OQ）

（C）

（A）

5.外心与重心：

。

是的外心，G是重心,则辱。

A+OB+OC

6.外心与垂心:

0是的外心,8是垂心，则OH=OA+OB+OC

7.重心与垂心:

G是AABC的重心,8是垂心，则尻二版+：

+区

8.外心、重心、垂心：

0、G、8分别是锐角△婉的外心、

重心、垂心,则OG=-OH

3

二.练习

V1—1——-0A+-0B+20C3U2J

，则点卢一定为三角

1.已知,、B、。

是平面上不共线的三点，0是三角形为勿的重心，动点夕满足矛二形朋。

的（B）

A.曲边中线的中点B.砧边中线的三等分点（非重心）

6：

重心边的中点

4.已知。

是平面内一定点,A.B.C是此平面内不共线三点,若动点P满足下列条件时，判断P的轨迹经过aABC的（）

①苏=汤+4（座-+（B）

』\AB\\AC\

——•——ARAC

②OF=04+人（+>——）（2>0）

IABIcos8IACIcosC

，•—*AA?

A厂/、

%1。

F=OA+/l（+—）（2>0）（C）

IABIsinBMClsinC

%1矛=^±^+从—届）心0）（A）

2IABIcosBIACIcosC

4外心B.内心C.重心D.垂心

5.已知非零向量而与花满足

ABAC=r+

ABAC

）而=0且普芸

\AB\\AC

则AABC为（D）

A.三边均不相等的三角形

B.直角三角形

C.等腰非等边三角形

D.等边三角形

6.称d（a,b）=1扑为两个向量入云间的“距离"・若向量入云满足:

①1云1=1；②“折；③对任意的reR,恒有d{a,tb）>d{a,b）则（C）A、al-hB、a1.（a-b）C、bA.（a-b）D、（q+方）_L（q-5）

7.P是Z\ABC所在平面上一点,若~PA~PB-~PB~PC-~PC~PA,则P

是ZkABC的（D）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

8.在四边形曲CD中,|Xfi|+~BD+|dc|=49网.网+网.网=49

~abbd=~bddc=o9贝!

]（而+5E）云的值为（C）

A.2B.2V2C.4D.4V2

9.设向量力满足:

1=

\a\=3901=4,Q0=O.以。

b9Q—力的模

为边长构成三角形,

则它的边与半径为1的圆的公共点个数最

多为（

A.

B.4C.5

D.6

10.设

/八c是单位向量，且。

"=0,贝!

］（。

-时・也-。

）的最小

|=;

值为（

（A）-2

（B）V2-2

（C）-1

（D）1-V2

11.已知b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量C、满

足（6f-C）-（/?

-C）=0,则\c\的最大值是（C）

（A）1（B）2

（C）72（D）4

的值为

为PC±一点，

12.线段曲上的一点C,直线曲外一点P,满足|pa|-|pb|=2,

A.1

B.2

C.V5

D.V5-1

则BI^A网

13.对任意两个非零的平面向量a和原定义a邛=2・若平面

4与方的夹角且〃0片和方都

4

向量a和w满足向胡＞o,

在集合｛勺〃eZ｝中，则以）2=（C）

A.1B.1C.°D.°

222

的中点，则%

尸耶=（D）

A.2

B.4

C.5

D.10

15.AABC的外接圆的圆心为0,两条边上的高的交点为H,

胡=口我+无+无）,则实数m=_l

解:

如图:

作直径时＞,连结DA,DC

由图得OB=-OD

•.•H为A4BC的垂:

.CH1AB.AH1BC.

・.•为直径,

:

.DAIAB^DC1BC,

:

.CH//AD,AH//CD,故四边形AHCD是平行四边形，.・.AH=DC,

5L：

~dc=oc-od=oc+ob.

:

.OH=OA+AH=OA+~DC=OA+OB+OC

对比系数得m=l.

16.平面内有三个向量汤、况、OC,其中5X与血的夹角为120。

，

5X与应的夹角为30。

，且网=网=1,网=2占，若

OC=AOA+"OB,（4,"£R）,

则人+A的值为

II

14在直角三角形曲C中，点。

是斜边时的中点，点P为线段CD

17.如图，在矩形曲CO中，AB=4i,BC=2点E为8C的中点，点F在边CO上，若奇待=后则还•济的值是1.

18.已知△曲C中，过重心G的直线交边于P,交边AC于Q,

设AAPQ的面积为S，AA8C的面积为S?

\P=pPB,AQ=qQC9

（ii

pq二

p+q_

）

£

19.已知P是△ABC内任一点，且满足

AP=U-2）应+（y-l）AC,（x,ygR）,则x的范围是,y的

范围是

（2,4）（1,2）

20,已知0为mbc所在平面内的一点

1）若2函-而+无=林Sb:

Swc：

S*c（1:

1:

2）

—*■2.|—►

2）若A。

司"+求SgSoc：

saboc（5:

10:

8）

21.已知\ABC中满足:

AB^=AB•AC+BA,BC+CA•CB，a,b,c分别

是即C的三边,

判断函昵的形状并求sinA+sinB

的取值范目

If

（2）若不等式tz2（/?

+c）+/?

2（c+

（2）+c2（a+/;）>kabc对任意。

，然都成

立，求A的取值范围

解：

（1）由京++

b2=becosA+accosB+abcosC由余弦定理得

…,b~+c~—cTcT+L]er+—（To=be+ac+ab

2bc2ac2ab

化简得a2+b2=c所以MBC为直角三角形.

sinA+sinB=sinA+cosA=V2sin（A+§）

因为腥（0,£）,.・.A+?

E（?

件）

4444

/.sinA+sinBg（1,^2]

（2）因为不等式a2（b+c）+b2（c+6/）+c2（a+/?

）>kabc对任意

都成立,

所以匕仙+疽）+"+疽）+%+"对任意都成立,abc

abc

而a（b2+c2）+b（a2+c2）+c（a24-Z?

2）>6abc_当且仅当a-b-abc

时取等号.所以K6.

22.已知三点0（0,0）,A（-2,1），B（2,1）,■C上任意一

点M（x,y）满足.|褊+网=丽•（瓦+而）+2

（1）求曲线C的方程；

（2）动点Q（x。

，y。

）（-2

Q处的切线为1,问：

是否存在定点P（0,t）（t<0）,

使得1与PA,PB都相交，交点分别为D,E,且砧与△户庞的面积之比是常数？

若存在，求t的值。

若不存在，说明理由。

解：

⑴a=4y

（2）假设存在点P（OJ）。

<。

）满足条件，则直线网的方程为

r-1

X+t9

2

直线应的方程为尸虾

曲线C在Q处的切蜘的方程是YT它与y轴的交点为

2

F（0,-^）,由于—2vx°v2,因此一1<3<1.

①当-1<<（）时,

—W存在E—2,2）,使得8=号,

即/与直线PA平行，故当-!

②当1时，=1*<迪,上》1〉迪,所以/与直线PA,PB一定相

2222

y=x+t

，2

）.=迪尤_五

24

交.分别联立方程组

t—1

尸至量

24

解得D,E的横坐标分别是

1T（4+4.）2

笠+4，成+4，milZ1、蓦+4r

2U°t+1）2（x0+r-l）插—（"I）?

_4X；[4+（/1）-]扃+4（"]）-

1—/+16广

对任意X（）e（2,2）,要使泸为常数，即只需「满足

、APDE

「4一

（1）2=位,解得,=此时涔=2.

〔4（"1）~=16广Sapde

故存在2-1,使詹争曲与眼庞的面积之比是常数2.

2.在同一个平面上有\ABC及一点。

满足关系式：

oa2+bc2=ob2+ca2=oc2+ab\则O为与ABC的（D）

4外心&内心C.重心D.垂心

3二已知冬硕'户为三角形所在平面上的一点，且点户满足：

aPA+hPB+cPC=o9则户点为三角形的（B）

4外心B.内心C.重心D.垂心