相似三角形的定义及其判定同步练习及答案.docx

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相似三角形的定义及其判定同步练习及答案

相似三角形的定义及其判定——典型题专项训练

知识点1对相似三角形定义的理解

1．下列说法中错误的是（）

A．两个全等三角形一定相似

B．两个直角三角形一定相似

C．两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例

D．相似的两个三角形不一定全等

2．已知△ABC∽△A′B′C′，且BC∶B′C′＝AC∶A′C′，若AC＝3，A′C′＝4.5，则△A′B′C′与△ABC的相似比为（）

A．1∶3B．3∶2C．3∶5D．2∶3

3．2017·贵阳期末一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最

长边是21，则该三角形的最短边是（）

A．6B．9C．10D．15

4．如图4－4－1，已知△ADE∽△ACB，且∠ADE＝∠C，则AD∶AC等于（）

图4－4－1

A．AE∶AC

B．DE∶CB

C．AE∶BC

D．DE∶AB

5．若△ABC∽△A′B′C′，AB＝2，BC＝3，A′B′＝1，则B′C′等于（）

A．1.5B．3C．2D．1

6．如图4－4－2所示，已知△ABC∽△ADE，AD＝6cm，BD＝3cm，BC＝9.9cm，∠A＝70°，∠B＝50°.

求：

（1）∠ADE的度数；

（2）∠AED的度数；

（3）DE的长．

图4－4－2

知识点2利用两角分别相等判定三角形相似

7．如图4－4－3所示的三个三角形，相似的是（）

图4－4－3

），使△ADE∽△ACB.

9．如图4－4－5，添加一个条件：

（写出一个即可

10．将两块大小一样的含30°角的直角三角板叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，

直角边不重合（如图4－4－6），AC与BD相交于点E.连接CD，请写出图中的一对相似三角形，并加以证明．

图4－4－6

11．如图4－4－7，在?

ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC于点F，交DC于点G，则下列结论中错误的是

图4－4－7

（）

A．△ABE∽△DGE

B．△CGB∽△DGE

C．△BCF∽△EAF

D．△ACD∽△GCF

12．2016·贵阳期末如图4－4－8，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形的对数是（）

A．1B．2C．3D．4

图4－4－8

图4－4－9

13．如图4－4－9，已知P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直

角边AB或AC相交于点D，截得的小三角形与△ABC相似，则点D的位置最多有处．

14．如图4－4－10，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E.求证：

△ABD∽△CBE.

图4－4－10

15．如图4－4－11，△PMN是等边三角形，∠APB＝120°，求证：

AM·PB＝PN·AP.

图4－4－11

16．如图4－4－12，点D在等边三角形ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC

相交于点F.

（1）求证：

△ABD∽△DCF；

（2）

除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．

（3）

图4－4－12

图4－4－13

相似三角形的判定——典型题专项训练

知识点由三边成比例判定两三角形相似

图4－4－24

2．已知AB＝12cm，AC＝15cm，BC＝21cm，A1B1＝16cm，B1C1＝28cm，当A1C1＝

cm时，△ABC∽△A1B1C1.

3．已知△ABC的三边长分别为AB＝6cm，BC＝7.5cm，AC＝9cm，△DEF的三边长分别为DE＝4cm，EF＝5cm，DF＝6cm.求证：

∠A＝∠D.

4．已知△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（）

A．2cm，3cmB．4cm，5cm

C．5cm，6cmD．6cm，7cm

5．如图4－4－25，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），

若以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）

A．（6，0）B．（6，3）

C．（6，5）D．（4，2）

6．如图4－4－26，在△ABC和△ADE中，ABAD＝BCD＝EACAE，点B，D，E在一条直线上．求证：

△ABD∽△ACE.

图4－4－26

7．如图4－4－27，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：

（1）求证：

△ABC为直角三角形；

（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；

（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相

似（要求：

不写作法与证明）．

图4－4－27

1．B[解析]因为每个小正方形的边长均为1，所以已知的三角形的各边长分别为2，

2，10，B选项中的三角形三边长分别为1，2，5，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似．

2．20

3．证明：

∵ABDE＝64＝32，BCEF＝7.55＝32，ACDF＝96＝32，

∴ABDE＝BCEF＝ACDF，∴△ABC∽△DEF，

∴∠A＝∠D.

4．C[解析]设△DEF的另两边的长分别为xcm，ycm，

若△DEF中为4cm长的边的对应边为6cm，则46＝x7.5＝y9，解得x＝5，y＝6；

若△DEF中为4cm长的边的对应边为7.5cm，则47.5＝x6＝y9，解得x＝3.2，y＝4.8；

若△DEF中为4cm长的边的对应边为9cm，则49＝x6＝y7.5，解得x＝83，y＝103.故选C.

5．B

6．证明：

∵在△ABC和△ADE中，ABAD＝BCDE＝ACAE，

∴△ABC∽△ADE，

∴∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE.

又∵ABAD＝ACAE，

∴ABAC＝ADAE，

∴△ABD∽△ACE.

7．解：

（1）证明：

∵AB2＝20，AC2＝5，BC2＝25，

∴AB＋AC＝BC，

∴△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°.

（2）△ABC和△DEF相似．理由：

由

（1）中数据得AB＝25，AC＝5，BC＝5.由题意易知DE＝42，DF＝22，EF＝210，∴ABDE＝ACDF＝BCEF＝10）4，∴△ABC∽△DEF.

（4）如图，连接P2P5，P2P4，P4P5.

∵P2P5＝10，P2P4＝2，P4P5＝22，

AB＝25，AC＝5，BC＝5，∴P2P5BC＝P4P5AB＝P2P4AC＝10）5，∴△ABC∽△P4P5P2.

详解

1．B2.B

3．B[解析]设与它相似的三角形的最短边的长为x，

∵一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，

∴x3＝217，解得x＝9.故选B.

4．B[解析]根据相似三角形的定义可知，△ADE∽△ACB，且∠ADE和∠C是对应角，因此AD，AC与DE，CB对应成比例．

5．A[解析]∵△ABC∽△A′B′C′，

∴ABA′B′＝BCB′C′，即21＝3B′C′，

解得B′C′＝1.5.故选A.

6．解：

（1）∵△ABC∽△ADE，

∴∠ADE＝∠B＝50°.

（2）在△ADE中，∠A＋∠ADE＋∠AED＝180°，

∴∠AED＝180°－70°－50°＝60°.

（3）∵△ADE∽△ABC，

∴ADAB＝DEBC，

即66＋3＝DE9.9，

∴DE＝6.6（cm）．

7．A

8．D[解析]∵CD是斜边AB上的高，

∴∠ADC＝∠BDC＝90°.

∵∠CAD＝∠BAC，

∴Rt△ACD∽Rt△ABC.

∵∠DBC＝∠CBA，

∴Rt△ABC∽Rt△CBD，

∴Rt△CBD∽Rt△ACD.共有3对．故选D.

9．∠ADE＝∠C（答案不唯一）10．解：

答案不唯一，如△ADE∽△BDA.

证明：

∵∠CAB＝30°，∠BAD＝60°，

∴∠DAE＝30°＝∠DBA.

又∵∠ADE＝∠BDA＝90°，

∴△ADE∽△BDA.

11．D[解析]∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠EDG＝∠EAB.

又∵∠E＝∠E，

∴△ABE∽△DGE；

∵AE∥BC，

∴∠EDG＝∠BCG，∠E＝∠CBG，

∴△CGB∽△DGE；

∵AE∥BC，

∴∠E＝∠FBC，∠EAF＝∠BCF，

∴△BCF∽△EAF.

第四个无法证得．故选D.

12．C[解析]∵DE∥BC，EF∥AB，

∴∠ABC＝∠ADE，∠AED＝∠ACB，∠CEF＝∠CAB，∠CFE＝∠CBA，

∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，

∴△ADE∽△EFC.

∴图中相似三角形的对数是：

3.

故选C.

13．3［解析］∵截得的小三角形与△ABC相似，∴过点P作AC的垂线，作AB的垂线，作BC的垂线，所截得的三角形均满足题意，则点D的位置最多有3处．

14．证明：

∵在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.

∵CE⊥AB，

∴∠ADB＝∠CEB＝90°.

又∵∠B＝∠B，

∴△ABD∽△CBE.

15．证明：

∵△PMN是等边三角形，

∴∠PMN＝60°，PN＝MP，

∴∠AMP＝180°－∠PMN＝120°＝∠APB.

又∵∠A＝∠A，

∴△AMP∽△APB，

∴AMA＝PMPPB，∴AM·PB＝MP·AP，∴AM·PB＝PN·AP.

16．解：

（1）证明：

∵△ABC，△ADE均为等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠ADE＝60°，

∴∠ADB＋∠FDC＝∠DFC＋∠FDC，

∴∠ADB＝∠DFC.

∴△ABD∽△DCF.

（2）∵∠C＝∠E，∠AFE＝∠DFC，

∴△AEF∽△DCF，

∴△ABD∽△AEF.

∵△ABC与△ADE均为等边三角形，

∴△ABC∽△ADE.

∵∠ADC＝∠ADF＋∠CDF＝∠C＋∠CDF＝∠AFD，又∠DAF＝∠CAD,

∴△ADF∽△ACD.

故除了△ABD∽△DCF外，图中的相似三角形还有：

△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF，△ABC∽△ADE，△ADF∽△ACD.

17．解：

（1）直线AB的函数表达式为y＝－34x＋6.

（2）在Rt△AOB中，由勾股定理得AB＝10.

由题意，知AP＝t，AQ＝10－2t.可分两种情况讨论：

①当∠APQ＝∠AOB时，有△APQ∽△AOB，得APAO＝AQAB，解得t＝3011，

此时，P\a\vs4\al\co1（0，\f（3611）），Q\a\vs4\al\co1（\f（403611）.

②当∠AQP＝∠AOB时，

有△APQ∽△ABO，

得APAB＝AQAO，解得t＝5013，

此时，P\a\vs4\al\co1（0，\f（2813）），Q\a\vs4\al\co1（\f（246013）.