线性代数重要公式.docx

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线性代数重要公式

【线性代数重要公式】

1.行列式

1-〃行列式共有沪个元素，展开后有/项，可分解为2”行列式；

2•代数余子式的性质：

1、如和©的大小无关；

2、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

3、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为|州；

3•代数余子式和余子式的关系：

M"=（—1叫如—叫

4.设”行列式°:

将。

上、下翻转或左右翻转，所得行列式为S则“十严°；

将。

主副角线翻转后，所得行列式为八

5.行列式的重要公式：

1、主对角行列式：

主对角元素的乘积；

2、副对角行列式=副对角元素的乘积心）咛;

3、上、下三角行列式（小=4）：

主对角元素的乘积;

4、㈢和|仆副对角元素的乘积如严；

5'拉普拉斯展开式：

I:

丼帥咖、牡2朋

6、范德蒙行列式：

大指标减小指标的连乘积；

7、特征值；

6.对于”阶行列式从恒有：

\AE-A\=A"+^（-1）*SkAn~k9其中S”为R阶主子式;

7.证明|A|=O的方法：

1、"|=十|；

2、反证法；

3、构造齐次方程组证明其有非零解;

4、利用秩，证明r（A）＜n；

5、证明0是其特征值；

2、矩阵

1.A是”阶可逆矩阵：

q|a|ho（是非奇异矩阵）；or（A）=n（是满秩矩阵）

的行（列）向量组线性无关；

o齐次方程组Ax=0有非零解；

oPbwR"$Ax=b总有唯一解；

o人与£等价；

oA可表示成若干个初等矩阵的乘积;

°A的特征值全不为0；

OAtA是正定矩阵；

斗的行（列）向量组是疋的一组基;

A是疋中某两组基的过渡矩阵;

2.

对于"阶矩阵4:

AA=AA=无条件恒成立;

数和;

5.关于分块矩阵的重要结论，其中均"〃可逆:

若"丄;则：

I、H=|A||a2|-|A|；

竹

II、宀<.

②、

③、

④、

ZA

O

申

fA

of

B

AY'

O,

q-

B：

*

/o

fA_，

O

];（主对角分块）

O

B{

囂；（副对角分块）

于];（拉普拉斯）

：

r=u-（拉普拉斯）

3、矩阵的初等变换与线性方程组

1.一个，"X”矩阵心总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的…话:

）;

'/Mxl9

等价类：

所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵；

对于同型矩阵A、若皿）=心）0AB；

2.行最简形矩阵：

1、只能通过初等行变换获得；

2、每行首个非0元素必须为1；

3、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3•初等行变换的应用：

（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

1、若贝呱可逆.且X=Al；

2、对矩阵（“）做初等行变化，当A变为E时，〃就变成"巧即：

3、求解线形方程组：

对于〃个未知数〃个方程似=儿如果（A.b）^.（E.x）|则A可逆，且x=A-'b；

4.初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：

左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

②、A=

左乘矩阵心人乘A的各行元素；右乘,

石丿

各列元素;

-1

‘1

、

-1

1

k

=

r

1;

Z

倍乘某行或某列，符号册伙））

伙hO）；

⑤、

③、对调两行或两列，符号E（iJ）,且EQJ尸=E（iJ）,例如:

倍加某行或某列.符号E©伙））,且⑹尸"（心））9如:

k'

-1

1

—k

=

1

1丿

<

1

z

伙工0）;

5.矩阵秩的基本性质：

1、0„）

2、r（AT）=r（A）；

3、若贝lj/•⑷=r（B）；

4、若八。

可逆，则r（A）=r（PA）=r（AQ）=r（PAQ）；（可逆矩阵不影响矩阵

max（f（A"（B））

欲）

欲）

的秩）

5、

6、

7、

8、如果A是加x“矩阵'〃是“xs矩阵丿且AB=O,则:

（探）

I“的列向量全部是齐次方程组忒“解（转置运算后的结论）;

II、r（A）+r（B）

9、若A、B均为"阶方阵丿则r（AB）>r（A）+r（B）-n；

6.三种特殊矩阵的方曙：

1、秩为1的矩阵：

一定可以分解为列矩阵（向量八行矩阵（向

量）的形式，再采用结合律;

二项展开式=（a^b）n+…矿+・・・+（7「川广'+C：

胪=^C^ambn'm；

IW-0

注：

I、S+"展开后有〃+1项;

7.伴随矩阵:

②、伴随矩阵的特征值：

里（AX=AX.A'=\A\A~'=14%）；

③、A*=\A\A-'S|&|=|矿

8.关于a矩阵秩的描述：

1―…中有〃阶子式不为0…+i阶子式全部为0;（两句话）

②、r（A）<"yA中有"阶子式全部为0；

③、r（A）>n|A中有”阶子式不为0；

9.线性方程组：

Ax=b9其中4为加X”矩阵丿则：

1、〃与方程的个数相同，即方程组心=〃有加个方程；

2、"与方程组得未知数个数相同，方程组祗为”元方程;

10・线性方程组Ax=b的求解：

1、对增广矩阵〃进行初等行变换（只能使用初等行变换）；

2、齐次解为对应齐次方程组的解；

3、特解：

自由变量赋初值后求得；

们・由”个未知数〃个方程的方程组构成”元线性方程：

①、＜

+…+%七=®

5旺+知“2+・・・+的1^=®ai\X\^a21X24-•・+“2”X|J=b[

OAx=b（向量方程.A为mx〃矩阵■加个方程.

”个未知数）

（线性表出）

、有解的充要条件：

r（A）=r（A,fi）＜n（"为未知数的个数或维数）

4、向量组的线性相关性

1・/"个"维列向量所组成的向量组4:

构成"X加矩阵A=aq,••••%）；

加个〃维行向量所组成的向量组〃:

弗圧加构成心矩阵B=

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

2.①、向量组的线性相关、无关OAx=0有、无非零解；（齐次线性方程组）

2、向量的线性表出。

处^是否有解；（线性方程组）

3、向量组的相互线性表示是否有解；（矩阵方程）

3.矩阵心与陥行向量组等价的充分必要条件是：

齐次方程组心。

和&=o同解；（片“例14）

4.

5.

r（ATA）=r（A）；（P⑹例15）

"维向量线性相关的几何意义：

1、Q线性相关。

a=0；

2…•戸线性相关。

心坐标成比例或共线（平行）；

3、阳线性相关oa.Q.y共面；

6.

线性相关与无关的两套定理：

若端心,…,©线性相关.贝％.卑.・，4也必线性相关；

若咚"线性无关，则咚..s必线性无关；（向量的个数加加减减,二者为对偶）

若「维向量组A的每个向量上添上…个分量，构成"维向量组〃:

若A线性无关，贝％也线性无关；反之若6线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）

简言之：

无关组延长后仍无关，反之，不确定;

7.向量组A（个数为「）能由向量组〃（个数为$）线性表示，且A线性无关，则心（二版鬥淀理7）；

向量组A能由向量组〃线性表示，则r（A）

向量组A能由向量组〃线性表示

<=>AX=B有解；

<^>r（A）=r（A.B）（代5定理2）

向量组a能由向量组〃等价。

心）=询+（“）5定理2推论）

&方阵A可逆。

存在有限个初等矩阵也，,恥使心也比；

1、矩阵行等价：

A：

BOPA=B（左乘■P可逆）<=>Ax=O-^Bx=0同解

2、矩阵列等价：

A：

BOAQ=B（右乘，。

可逆）；

3、矩阵等价：

旳2=B（P、。

可逆）；

9.对于矩阵仏与陥：

1、若A与訂亍等价，贝IJa与〃的行秩相等；

2、若a与訂亍等价，则Ax=0与Bx=0同解，且A与〃的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；

3、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；

4、矩阵人的行秩等于列秩；

10.若九孔叫八则：

1、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，〃为系数矩阵；

2“的行向量组能由〃的行向量组线性表示"「为系数矩阵；（转置）

门.齐次方程组〃“。

的解一定是皿=。

的解,考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

①、ABx=0只有零解=决=0只有零解；

②、灰=0有非零解=>ABx=0-定存在非零解；

12・设向量组爲“力丿2，…®可由向量组AnfS:

线性表示为：

（质题19结论）

©上2,…上,）=（“1，“2严、叫0（B=AK）

其中K为且上线性无关，贝％组线性无关。

心…；（〃与K的列向量组具有相同线性相关性）

（必要性：

•/r=r（B）=r（AK）

反证法）

注：

当一'时，人为方阵，可当作定理使用；

13.①、对矩阵如—存在Qnxm9AQ=Em^r（A）=msQ的列向量线性无关;（Q

②、对矩阵心，存在Pz、PA=EnOr（A）=n\P的行向量线性无关；

14・0.逐....心线性相关

O存在—组不全为0的数使得切+g+.+g=0成立；（定义）

Z\

og・『=。

有非零解，即go有非零解；

■

■

O,系数矩阵的秩小于未知数的个数；

15.设心的矩阵A的秩为s贝IJ”元齐次线性方程组心。

的解集S的秩为:

r（S）=n-r；

16.若〃为的一个解，皿,・心为心“的一个基础解系，则

线性无关；（粘题33结论）

5、相似矩阵和二次型

1.正交矩阵。

心"或”（定义），性质：

1、a的列向量都是单位向量，且两两正交，即

"“=£）二（ij=l,2,..・"）；

2、若A为正交矩阵，贝IJ宀屮也为正交阵，且|Ag；

3、若八〃正交阵，则仙也是正交阵；

注意：

求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；

2・施密特正交化：

（a,.a2,--.ar）

g-册-册…-民宀；

3.对于普通方阵'不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵.不同特征值对应的特征向量正交；

4•①、a与〃等价经过初等变换得到仍

＜^＞PAQ=B,P\Q可逆；Or（A）=r（B）jA\B同型；

2、A与〃合同OCUC="其中可逆；

»孤与’加有相同的正、负惯性指数；

3、A与B相似O宀P=B；

5.相似一定合同、合同未必相似；

若c为正交矩阵，则—“一叭（合同、相似的约束条件不同,相似的更严格）；

6.A为对称阵.则A为二次型矩阵；

7•"元二次型WAx为正定：

。

A的正惯性指数为”；

OA与E合同'即存在可逆矩阵“使CtAC=E；

OA的所有特征值均为正数；

OA的各阶顺序主子式均大于0；

=＞叫＞0.|州＞0;（必要条件）

S.・