0037算法笔记分支限界法最大团问题.docx
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0037算法笔记分支限界法最大团问题
问题描述
给定无向图G=（V,E），其中V是非空集合，称为顶点集；E是V中元素构成的无序二元组的集合，称为边集，无向图中的边均是顶点的无序对，无序对常用圆括号“（）”表示。
如果U∈V，且对任意两个顶点u，v∈U有（u,v）∈E，则称U是G的完全子图（完全图G就是指图G的每个顶点之间都有连边）。
G的完全子图U是G的团当且仅当U不包含在G的更大的完全子图中。
G的最大团是指G中所含顶点数最多的团。
如果U∈V且对任意u，v∈U有（u,v）不属于E，则称U是G的空子图。
G的空子图U是G的独立集当且仅当U不包含在G的更大的空子图中。
G的最大独立集是G中所含顶点数最多的独立集。
对于任一无向图G=（V,E），其补图G'=（V',E'）定义为：
V'=V，且（u,v）∈E'当且仅当（u,v）∈E。
如果U是G的完全子图，则它也是G'的空子图，反之亦然。
因此，G的团与G'的独立集之间存在一一对应的关系。
特殊地，U是G的最大团当且仅当U是G'的最大独立集。
例：
如图所示，给定无向图G={V,E}，其中V={1,2,3,4,5}，E={（1,2）,（1,4）,（1,5）,（2,3）,（2,5）,（3,5）,（4,5）}。
根据最大团（MCP）定义，子集{1,2}是图G的一个大小为2的完全子图，但不是一个团，因为它包含于G的更大的完全子图{1,2,5}之中。
{1,2,5}是G的一个最大团。
{1,4,5}和{2,3,5}也是G的最大团。
右侧图是无向图G的补图G'。
根据最大独立集定义，{2,4}是G的一个空子图，同时也是G的一个最大独立集。
虽然{1,2}也是G'的空子图，但它不是G'的独立集，因为它包含在G'的空子图{1,2,5}中。
{1,2,5}是G'的最大独立集。
{1,4,5}和{2,3,5}也是G'的最大独立集。
算法设计
最大团问题的解空间树也是一棵子集树。
子集树的根结点是初始扩展结点，对于这个特殊的扩展结点，其cliqueSize的值为0。
算法在扩展内部结点时，首先考察其左儿子结点。
在左儿子结点处，将顶点i加入到当前团中，并检查该顶点与当前团中其它顶点之间是否有边相连。
当顶点i与当前团中所有顶点之间都有边相连，则相应的左儿子结点是可行结点，将它加入到子集树中并插入活结点优先队列，否则就不是可行结点。
接着继续考察当前扩展结点的右儿子结点。
当upperSize>bestn时，右子树中可能含有最优解，此时将右儿子结点加入到子集树中并插入到活结点优先队列中。
算法的while循环的终止条件是遇到子集树中的一个叶结点（即n+1层结点）成为当前扩展结点。
对于子集树中的叶结点，有upperSize＝cliqueSize。
此时活结点优先队列中剩余结点的upperSize值均不超过当前扩展结点的upperSize值，从而进一步搜索不可能得到更大的团，此时算法已找到一个最优解。
算法具体实现如下：
1、MaxHeap.h
[cpp] viewplain copy
1.template
2.class MaxHeap
3.{
4. public:
5. MaxHeap（int MaxHeapSize = 10）;
6. ~MaxHeap（） {delete [] heap;}
7. int Size（） const {return CurrentSize;}
8.
9. T Max（）
10. { //查
11. if （CurrentSize == 0）
12. {
13. throw OutOfBounds（）;
14. }
15. return heap[1];
16. }
17.
18. MaxHeap& Insert（const T& x）; //增
19. MaxHeap& DeleteMax（T& x）; //删
20.
21. void Initialize（T a[], int size, int ArraySize）;
22.
23. private:
24. int CurrentSize, MaxSize;
25. T *heap; // element array
26.};
27.
28.template
29.MaxHeap:
:
MaxHeap（int MaxHeapSize）
30.{// Max heap constructor.
31. MaxSize = MaxHeapSize;
32. heap = new T[MaxSize+1];
33. CurrentSize = 0;
34.}
35.
36.template
37.MaxHeap& MaxHeap:
:
Insert（const T& x）
38.{// Insert x into the max heap.
39. if （CurrentSize == MaxSize）
40. {
41. cout<<"no space!
"<42. return *this;
43. }
44.
45. // 寻找新元素x的位置
46. // i——初始为新叶节点的位置，逐层向上，寻找最终位置
47. int i = ++CurrentSize;
48. while （i !
= 1 && x > heap[i/2]）
49. {
50. // i不是根节点，且其值大于父节点的值，需要继续调整
51. heap[i] = heap[i/2]; // 父节点下降
52. i /= 2; // 继续向上，搜寻正确位置
53. }
54.
55. heap[i] = x;
56. return *this;
57.}
58.
59.template
60.MaxHeap& MaxHeap:
:
DeleteMax（T& x）
61.{// Set x to max element and delete max element from heap.
62. // check if heap is empty
63. if （CurrentSize == 0）
64. {
65. cout<<"Empty heap!
"<66. return *this;
67. }
68.
69. x = heap[1]; // 删除最大元素
70. // 重整堆
71. T y = heap[CurrentSize--]; // 取最后一个节点，从根开始重整
72.
73. // find place for y starting at root
74. int i = 1, // current node of heap
75. ci = 2; // child of i
76.
77. while （ci <= CurrentSize）
78. {
79. // 使ci指向i的两个孩子中较大者
80. if （ci < CurrentSize && heap[ci] < heap[ci+1]）
81. {
82. ci++;
83. }
84. // y的值大于等于孩子节点吗？
85. if （y >= heap[ci]）
86. {
87. break; // 是，i就是y的正确位置，退出
88. }
89.
90. // 否，需要继续向下，重整堆
91. heap[i] = heap[ci]; // 大于父节点的孩子节点上升
92. i = ci; // 向下一层，继续搜索正确位置
93. ci *= 2;
94. }
95.
96. heap[i] = y;
97. return *this;
98.}
99.
100.template
101.void MaxHeap:
:
Initialize（T a[], int size,int ArraySize）
102.{// Initialize max heap to array a.
103. delete [] heap;
104. heap = a;
105. CurrentSize = size;
106. MaxSize = ArraySize;
107.
108. // 从最后一个内部节点开始，一直到根，对每个子树进行堆重整
109. for （int i = CurrentSize/2; i >= 1; i--）
110. {
111. T y = heap[i]; // 子树根节点元素
112. // find place to put y
113. int c = 2*i; // parent of c is target
114. // location for y
115. while （c <= CurrentSize）
116. {
117. // heap[c] should be larger sibling
118. if （c < CurrentSize && heap[c] < heap[c+1]）
119. {
120. c++;
121. }
122. // can we put y in heap[c/2]?
123. if （y
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