名师指津：
图①中S＝f（x）dx；图②中S＝－f（x）dx；图③中S＝－f（x）dx＋f（x）dx.
[思考2] 如图④⑤是由两条曲线y＝f（x），y＝g（x）和直线x＝a，x＝b（b>a）所围成的平面图形，如何利用定积分求图形的面积S?
名师指津：
图④中S＝[f（x）－g（x）]dx；图⑤中S＝[f（x）－g（x）]dx.
1．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成图形的面积．（链接教材P56－例1）
[尝试解答] 由
解得x＝0或x＝3.如图．
因此所求图形的面积为
S＝（x＋3）dx－（x2－2x＋3）dx
＝[（x＋3）－（x2－2x＋3）]dx
＝（－x2＋3x）dx
＝
＝.
求不分割型图形面积的一般步骤如下：
同时，要注意被积函数是图形上边界对应的函数与下边界对应的函数的差．否则，有可能得面积是负的．
1．求曲线y＝ex，y＝e－x及x＝1所围成的图形面积．
解：
作图，并由解得交点（0,1）．所求面积为（ex－e－x）dx
＝（ex＋e－x）＝e＋－2.
[思考] 下图是由三条曲线y＝f（x）、y＝g（x）和y＝h（x）围成的图形，且在[a，c]上，f（x）≥g（x），在[c，b]上，f（x）≥h（x）．
还能用[讲1]的方法求该图形的面积吗？
如果不能，该如何求解？
名师指津：
不能．S＝[f（x）－g（x）]dx＋[f（x）－h（x）]dx.
2．（链接教材P57－例2）求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成的图形的面积．
[尝试解答] 画出草图，如图所示．
解方程组
及得交点分别为（1,1），（0,0），（3，－1）．
＝dx＋dx
＝＋
＝＋＋6－×9－2＋＝.
法二：
若选y为积分变量，则三个函数分别为x＝y2，
x＝2－y，x＝－3y.
因为它们的交点分别为（1,1），（0,0），（3，－1）．
＝－（－2＋1）＋2－－＝.
由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方的曲线有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化分段，然后对各个区间分别求面积进而求和，在每个区间上被积函数均是由上减下．若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，被积函数改为y的函数，同时更改积分的上下限．
2．求曲线xy＝1及直线y＝x，y＝3所围成图形的面积．
解：
如图所示，由
得A点坐标为（1,1）；由得B点坐标为；
由得C点坐标为（3,3）．
法一：
以x为积分变量，所求阴影部分的面积为
＝2－ln3＋2
＝4－ln3.
法二：
以y为积分变量，所求阴影部分的面积为
S＝dy＝
＝4－ln3.
[思考] 若做变速直线运动的物体的速度函数为v＝v（t）（v（t）≥0），则它在t＝a到t＝b（b>a）的时间段内所经过的路程s是多少？
提示：
s＝v（t）dt.
3．（链接教材P58－例3）有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v（t）＝8t－2t2（速度的正方向与x轴正方向一致）．求：
（1）P从原点出发，当t＝6时，求点P移动的路程和离开原点的位移；
（2）P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．
[尝试解答]
（1）由v（t）＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，
即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，
当t>4时，P点向x轴负方向运动．
故t＝6时，点P移动的路程
＝－＝.
当t＝6时，点P的位移为
即4t2－t3＝0，
解得t＝0或t＝6，
t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t＝6是从原点出发，又返回原点所用的时间．
做变速直线运动的物体，从时刻t＝a到时刻t＝b（a（1）若v（t）≥0，
（2）若v（t）≤0，
（3）若在区间[a，c]上v（t）≥0，在区间[c，b]上v（t）＜0，则s＝v（t）dt－v（t）dt，s′＝
v（t）dt.
所以求路程时要事先求得速度的正负区间．
3．做变速直线运动的物体的速度为v（t）＝1－t2，初始位置为x0＝1，求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置．
解：
当0≤t≤1时，v（t）≥0，当1≤t≤2时，v（t）<0.
所以前2秒钟内所走的路程
s＝（1－t2）dt－（1－t2）dt＝2，
2秒末所在的位置
x1＝x0＋v（t）dt＝1＋（1－t2）dt
＝1＋
＝1＋2－＝.
所以物体在2秒钟内所走的路程为2，所在的位置为x1＝.
[思考] 如果物体在变力F（x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与F（x）相同的方向从x＝a移动到x＝b（a提示：
W＝F（x）dx.
4．（链接教材P59－例4）由胡克定律知，把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长量成正比，现知2N的力能使一个弹簧伸长3cm，试求要把弹簧拉伸0.4m所需的功．
[尝试解答] 由胡克定律知拉长弹簧所需的力F（x）＝kx，其中x为伸长量．
所以2＝0.03k，得k＝（N/m），于是F（x）＝x.故将弹簧拉长0.4m所做的功为：
因此将弹簧拉伸0.4m所做的功为J.
2019-2020年高中数学人教A版选修2-2创新应用教学案：
第一章1-7定积分的简单应用Word版含答案
（1）要明确变力的函数式F（x），确定物体在力的方向上的位移．
（2）利用变力做功的公式W＝F（x）dx计算．
（3）注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．
4．若2N的力能使一个弹簧伸长5cm，则把弹簧拉伸0.4m所需的功是多少？
解：
由胡克定律知拉长弹簧所需的力F（x）＝kx，其中x为伸长量．
所以2＝0.05k，得k＝40（N/m），于是F（x）＝40x.
故将弹簧拉长0.4m所做的功为：
因此将弹簧拉伸0.4m所做的功为3.2J.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是定积分的几何应用，即用定积分求平面图形的面积，难点是分割型图形面积的求法．
2．本节课要重点掌握的规律方法
（1）不分割型图形面积的求法，见讲1；
（2）分割型图形面积的求法，见讲2；
（3）求变速直线运动的路程，见讲3；
（4）求变力做功，见讲4.
3．在求由曲线围成的平面图形的面积时，准确画出示意图，求出曲线的交点，确定积分上、下限是解决此类问题的关键，也是本节课的易错点．
课下能力提升（十一）
[学业水平达标练]
题组1 不分割型图形面积的求解
1．已知二次函数y＝f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围成图形的面积为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选B 由题中图象易知f（x）＝－x2＋1，则所求面积为2（－x2＋1）dx＝
2＝.
2．如图，两曲线y＝3－x2与y＝x2－2x－1所围成的图形面积是（ ）
A．6 B．9
C．12 D．3
解析：
选B 由
解得交点（－1,2），（2，－1），
＝9.
3．如图所示，由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积是________．
解析：
由得交点坐标为（1,5），（4,20），所以所求面积S＝（x2＋4－5x）dx＋（5x－x2－4）dx
＝＋
＝.
答案：
4．已知抛物线y＝x2－2x与直线x＝0，x＝a，y＝0围成的平面图形的面积为，求a的值．
解：
作出y＝x2－2x的图象，如图所示．
①当a<0时，S＝（x2－2x）dx＝＝－＋a2＝，
所以（a＋1）（a－2）2＝0.
因为a<0，所以a＝－1.
②当a＝0时，不符合题意．
③当a>0时，若0所以（a＋1）（a－2）2＝0.
因为a>0，所以a＝2.
若a>2，不符合题意．
综上，a＝－1或2.
题组2 分割型图形面积的求解
5．如图，阴影部分是由曲线y＝，y2＝x与直线x＝2，y＝0围成，则其面积为________．
解析：
S＝dx＋dx
＝＋ln2.
答案：
＋ln2
6．求抛物线y2＝2x和直线y＝－x＋4所围成的图形的面积．
解：
先求抛物线和直线的交点，解方程组
求出交点坐标为A（2,2）和B（8，－4）．
法一：
选x为积分变量，变化区间为[0,8]，将图形分割成两部分（如图），则面积为
S＝S1＋S2＝2dx＋（－x＋4）dx
法二：
选y作积分变量，则y的变化区间为[－4,2]，如图得所求的面积为
＝18.
题组3 求变速直线运动的路程
7．一辆汽车以v＝3t2的速度行驶，这辆汽车从t＝0到t＝3这段时间内所行驶的路程为（ ）
A.B．1C．3D．27
8．A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中C点，这一段的速度为1.2tm/s，到C点的速度为24m/s，从C点到B点前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，速度为（24－1.2t）m/s，经ts后，在B点恰好停车，试求：
（1）A、C间的距离；
（2）B、D间的距离．
解：
（1）设A到C的时间为t1，
则1.2t1＝24，t1＝20（s），
（2）设D到B的时间为t2，
则24－1.2t2＝0，t2＝20（s），
则|DB|＝∫（24－1.2t）dt
＝（24t－0.6t2）︱＝240（m）．
题组4 求变力做功
9．做直线运动的质点在任意位置x处，所受力F（x）＝1＋ex，则质点沿着与F（x）相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F（x）所做的功是（ ）
A．1＋eB．e
C.D．e－1
解析：
选B W＝（1＋ex）dx＝（x＋ex）︱＝e.
10．一物体在力F（x）（单位：
N）的作用下沿与力F相同的方向运动，力—位移曲线如图所示．求该物体从x＝0处运动到x＝4（单位：
m）处力F（x）做的功．
解：
由力—位移曲线可知F（x）＝因此该物体从x＝0处运动到x＝4处力F（x）做的功为W＝10dx＋（3x＋4）dx＝10x＋＝46（J）．
[能力提升综合练]
1．曲线y＝x3与直线y＝x所围成图形的面积等于（ ）
解析：
选C 由求得直线y＝x与曲线y＝x3的交点分别为（－1，－1），（1,1），（0,0），由于两函数都是奇函数，根据对称性得S＝2（x－x3）dx.
2．由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为（ ）
A.B．1
C.D.
解析：
选D 结合函数图象可得所求的面积是定积分
3．以初速度40m/s向上抛一物体，ts时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为（ ）
A.mB.m
C.mD.m
解析：
选A 令v＝40－10t2＝0，得物体到达最高时t＝2，此时高度h＝（40－10t2）dt＝︱＝（m）．故选A.
4．一物体在变力F（x）＝5－x2（力单位：
N，位移单位：
m）作用下，沿与F（x）成30°方向做直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F（x）做的功为（ ）
A.JB.J
C.JD．2J
解析：
选C W＝F（x）cos30°dx＝（5－x2）dx
＝︱＝（J）．
5．由y＝x2，y＝x2及x＝1围成的图形的面积S＝________.
解析：
图形如图所示：
S＝x2dx－x2dx
＝x2dx
＝x3＝.
答案：
6．抛物线y＝－x2＋4x－3与其在点A（1,0）和点B（3,0）处的切线所围成的面积为________．
解析：
由y′＝－2x＋4，得在点A、B处切线的斜率分别为2和－2，则两切线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6.
由得C（2,2）．
∴S＝S△ABC－（－x2＋4x－3）dx
＝×2×2－︱
＝2－＝.
答案：
7．求正弦曲线y＝sinx与余弦曲线y＝cosx与直线x＝－，x＝围成的图形的面积．
解：
如图，画出y＝sinx与y＝cosx在上的图象，它们共有三个交点，分别为－，－，，.
在上，cosx>sinx.
在上，sinx>cosx.
8．已知函数f（x）＝ex－1，直线l1：
x＝1，l2：
y＝et－1（t为常数，且0≤t≤1），直线l1，l2与函数f（x）的图象围成的封闭图形，以及直线l2，y轴与函数f（x）的图象围成的封闭图形如图中阴影部分所示．求当t变化时，阴影部分的面积的最小值．
解：
S1＋S2＝（et－1－ex＋1）dx＋（ex－1－et＋1）dx＝（et－ex）dx＋（ex－et）dx＝（xet－ex）︱＋（ex－xet）︱＝（2t－3）et＋e＋1，取g（t）＝（2t－3）et＋e＋1（0≤t≤1），令g′（t）＝0，解得t＝.当t∈时，g′（t）<0，g（t）是减函数；当t∈时，g′（t）>0，g（t）是增函数，因此g（t）的最小值为g＝e＋1－2e＝（－1）2.故阴影部分面积的最小值为（－1）2.
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