中考数学复习圆专题复习教案.docx

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中考数学复习圆专题复习教案

中考数学专题复习六几何（圆）

【教学笔记】—、与圆有关的计算问题（重点）

1、扇形面积的计算

扇形：

扇形面积公式S-nR2-1lR

3602

n：

圆心角R:

扇形对应的圆的半径I:

扇形弧长S:

扇形面积

圆锥侧面展开图：

（1）S表—S侧S底=Rr醮曲饗r2

（2）圆锥的体积：

V二1-r2h

2、弧长的计算：

弧长公式|；

180

3、角度的计算二、圆的基本性质（重点）

1、切线的性质：

圆的切线垂直于经过切点的半径.

2、圆周角定理：

一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半；

推论：

（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；

（2）相等的圆周角所对的弧也相等。

（3）半圆（直径）所对的圆周角是直角。

（4）90°的圆周角所对的弦是直径。

注意：

在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个。

3、垂径定理定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧

推论：

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直与这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧

（4）在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等

三、圆与函数图象的综合

、与圆有关的计算问题

故选A.

解答：

连接OC

•••/AOB=120,C为弧AB中点，•••/AOCdBOC=60,vOA=OC=OB=2

•••△AOC△BOC是等边三角形，•••AC=BC=OA=2

•••△AOC的边AC上的高是「•上二，△BOC边BC上的高为二，

•••阴影部分的面积是'■'"-'X2^：

+：

''-'X2x_='n-2

360236023

故选A.

【例3】（2013?

资阳）钟面上的分针的长为1,从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（）

Jir~~hiI1I

A.•—nB.—nC.—nD.n

Tirhr®

解答：

从9点到9点30分分针扫过的扇形的圆心角是180°,

则分针在钟面上扫过的面积是：

…=占n.故选：

【例4】（2015成都）如图，正六边形ABCDE内接于OO,半径为4,贝U这

个正六边形的边心距OM和BC弧线的长分别为（）

A.2,_B.23,-一C3匸23

333

试题分1疗「在正六边形中，连接叭0C可以得到△OBC为等边三甬形，边怅等于半径4・因为迦&距丄所以曲丄亦FM磁妙啲等边争形中'边上的•弧眈所对的圆心角为炉

SKu

【课后练习】

阴影部分的面积是（

/ABD=90-/DAB=40,vPD是切线，二/ADP玄B=40°.故选A.

/BOD=60

解析：

5、（2015凉山州）如图，△ABC内接于OO,/OBC=40，则/A的度数为（）

A.80°B.100°C.110°D.130°

2的扇形围成一个圆锥的侧面，贝U所围成的圆锥的底面

6、（2015凉山州）将圆心角为90°,面积为4ncm半

径（）

1cm

B.2cm

C.3cmD.4cm

7、

（2015

泸州）如图，

PAPB分别与OO相切于

A、B两点，若/C=65°,则/

P的度数为（

）

65°

B.130°

C.50°

D.100°

8、

（2015

眉山）如图，（

OO是厶ABC的外接圆，/

ACO=45,贝y/B的度数为（

）

是（）

第4页共21页

12、（2015达州）已知正六边形ABCDEF勺边心距为_3cm则正六边形的半径为cm.

13、（2015自贡）如图，已知AB是OO的一条直径，延长AB至C点，使AC=3BCCD与OO相切于D点.若

CD=3，则劣弧AD的长为

15、（2015宜宾）如图，AB为OO的直径，延长AB至点D使BD=OBDC切OO于点C点B是CF的

中点，弦CF交AB于点E.若OO的半径为2,贝UCF=.

16、（2015泸州）用一个圆心角为120°,半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是空.

17、（2015眉山）已知OO的内接正六边形周长为12cm,则这个圆的半经是cm.

18、（2015广安）如图，A.B.C三点在OO上，且/AOB=70，则/C=度.

19、24.（2015巴中）圆心角为60°,半径为4cm的扇形的弧长为cm.

20、（2015甘孜州）如图，AB是OO的直径，弦CD垂直平分半径OA则/ABC的大小为度.

、圆的基本性质

【例11（2016?

资阳）如图，在OO中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作OO的切线，切点为D连结

BD.

（1）求证：

/A=ZBDC

（2）若CM平分/ACD,且分别交ADBD于点MN,当DM=1时，求MN的长.

解答：

解：

（1）连接ODBD/OD=O吕ZODBZOBD

•••AB是直径，/ZADB=90,/ZCDB=90.

•/E为BC的中点，•/DE=BE/ZEDBZEBD

/ZODBZEDBZOBDZEBD即ZEDOZEBO

•••BC是以AB为直径的OO的切线，/AB丄BC/ZEBO=90，/ZODE=90,

/DE是OO的切线；

（2）作EF丄CD于F,设EF=x

图H

/BE=CE=x，/AB=BC=2

漿x，在RTAABE中，AE=

=i|x，

/sinZCAE=

EFlVlO

ST10-

【例31（2014?

资阳）如图,

AB是OO的直径，过点

A作OO的切线并在其上取一点

C连接OC交

【解答】解：

（1）如图，连接OD

的中点，连接DE.

（1）求证：

DE是OO的切线；

（2）连接AE,若ZC=45°,求sinZCAE的值.

•••ZC=45°,/ACEF△ABC都是等腰直角三角形，/CF=EF=x

OO于点DBD的延长线交AC于E,连接AD.

（1）求证：

△CDE^ACAD；

（2）若AB=2,AC=2=求AE的长.

解答：

（1）证明：

TAB是OO的直径，•••/ADB=90,二/B+ZBAD=90,

•••AC为OO的切线，•••BA!

AC,「.ZBAC=90，即ZBAD+ZDAE=90,「・ZB=ZCAD•/OB=OD

•••ZB=ZODB而ZODBZCDE:

丄B=ZCDE:

丄CAD玄CDE而ZECDZDCACDE^ACAD

（2）解：

TAB=2?

•••OA=1,

在Rt△AOC中,AC=2,•OC==3,•CD=OGOD=3-1=2,

•/△CAD•U，即、'Q人丰A，；CE=.

CDCA2亚羽

AC翻折交AB于点D,连结

【例41（2013?

资阳）在OO中i,AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦

CD.

（1）如图1,若点D与圆心O重合，AC=2求OO的半径r;

（2）如图2,若点D与圆心O不重合，ZBAC=25，请直接写出ZDCA的度数.

解答：

（1）如图，过点O作OELAC于E，则AE=AC=

x2=1,

-22

在Rt△AOE中,AO=AE

+OE

即r=1+（r）

T翻折后点D与圆心O重合，•OE=r，

，解得r=

（2）连接BC,TAB是直径，•••/ACB=90,

•••/BAC=25,•••/B=90°-ZBAC=90-25°=65°,

根据翻折的性质，：

］卒所对的圆周角等于厂巨g所对的圆周角，

•••/DCAWB-ZA=65°-25°=40°.

【课后练习】

1、（2015达州）如图，AB为半圆O的在直径，ADBC分别切OO于A、B两点，CD切OO于点E,连

•ZAODZEOD同理Rt△CE3Rt△CBQ•ZEOCZBOC又ZAODZDOEZEOCZCOB=180

2、

（2015遂宁）如图，在半径为

5cm的OO中，弦AB=6cmOCLAB于点C,贝UOC=（

3cm

B.4cm

5cm

D.6cm

【解析】连接OA,vAB=6cmOCLAB于点C,「.AC=AB=K^6=3cm,

故选B.

vOO的半径为5cm,「.OC=

•正确的选项有①②⑤。

故选

A。

3、（2015广元）如图，已知OO的直径AB丄CD于点E.则下列结论一定错误的是（）

4、（2015广元）如图，在OO中，AB是直径，点D是OO上一点，点C是AD的中点，弦CE!

AB于点

E,过点D的切线交EC的延长线于点G,连接AD分别交CFBC于点P、Q,连接AC给出下列结论:

①/BAD=/ABC②GP=GD③点P是厶ACQ勺外心.

其中正确结论是_②③④_（只需填写序号）.

5、（2015成都）如图，在Rt△ABC中，/ABC=90,AC的垂直平分线分别与ACBC及AB的延长线相交于点D,

E,F,且BF=BCOO是厶BEF的外接圆，/EBF的平分线交EF于点G,交于点H,连接BDFH.

（1）求证:

3）若AB=1,求HG?

HB勺值.

△ABC^AEBF;

（2）试判断BD与OO的位置关系，并说明理由;

试题解析;mN他eq「一・...………

切、*\ZCBF=9Oft,W；FD丄AC,/.ZCDE^O'*?

.\ZABF=ZEBF?

\pZDEC=ZBEF»/•Z»CE=ZEFE.TBAAABCWkEBF（ASA）j

/.ZDBE=ZOBF|

-\AD=DC?

.\BD=CD^/.ZDCE=ZDBETOERF\?

.ZOBP=ZOFB>T£DC苴二NEFB,◎确切厂

运朋=忑，:

通F=配a卞逅…：

又VBK/9角平皱b化诲血EE阻海*号孕FH5JZW^ZSBG^iS*爭二AB璽为竽腔直角三角撼豪-'-EF9=2BFaj/-=—XF1■2+^{\"22hf^=Zfbg=45^,Z

hf=z^hf#AAghf

•・HGHBmKF3暑昇血黑亦忑-

6、（2015遂宁）如图，AB为OO的直径，直线CD切OO于点D,AMLCD于点M,BNLCD于N.

（1）

求证：

/ADC/ABD；

（2）求证：

AD=AM?

AB（3）若AM=8,sin/ABD=,求线段

解答：

（1）证明：

连接OD•••直线CD切OO于点D,.・./CDO=90,vAB

为OO的直径，•/ADB=90，•/1+/2=/2+/3=90°,二/1=/3,

•••OB=OD•••/3=z4,.・./ADC艺ABD；

（2）证明：

vAMLCD,•/AMDhADB=90,v/1=/4,「・AADMTAABD,

AM_AD

■',•••AD2=AMA；

（3）解:

••sin/ABD='•sin/1=

vAM=,•AD=6•AB=1Q•BD=

2-AD

=8,

vBN!

CD,•/BND=90，•/DBN+/BDN/1+/BDN=90，•/DBN/1,•sin/NBD=5・.DN=

BN的长.

•BN=

VbD^-DN2="5

BD于点A.

（1）

7、（2015宜宾）如图，CE是OO的直径，BD切OO于点D,DE//BQCE的延长线交

求证：

直线BC是OQ的切线；

（2）若AE=2tan/DEQ=.2,求AO的长.

&（2015泸州）如图，△ABC内接于OO,AB=ACBD为OO的弦，且AB//CD,过点A作OO的切线AE与DC的延长线交于点E,AD与BC交于点F.

（1）求证：

四边形ABCE是平行四边形；

（2）若AE=6,CD=5求OF的长.

解答：

（1）证明：

IAE与OO相切于点A,•••/EAC玄ABC

•••AB=ACABC=/ACB:

丄EAC玄ACB/.AE//BC

•••AB//CD,•••四边形ABCE是平行四边形；

（2）解：

如图，连接AQ交BC于点H,双向延长OF分别交ABCD与点N,M,IAE是OO的切线，

由切割线定理得,AE2=EC?

DEIAE=6?

CD=5

•••62=CE（CE+3,解得：

CE=4（已舍去负数），

由圆的对称性，知四边形据对称性和垂径定理，得

ABDC是等腰梯形,且AB=AC=BD=CE=4又根

AO垂直平分BC,MN垂直平分AB,DC,

设OF=x,OH=YFH=zTAB=4

BC=6CD=5•••BF=BC-FH=3

-z,DF=CF=BC+FH=3+z

易得△OFH^ADMF^ABFN,

①

3—vQy**..哥

Aiyi

即

②,

①+②得:

•••x2=y2+z2,

①+②得:

3+z5,

•-x=-,

D,连接DCDA

9、（2015绵阳）如图，O是厶ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于点

OAOC四边形OADC为平行四边形.

（1）求证：

△BOZACDA

（2）若AB=2,求阴影部分的面积.【解析】

（1）证明：

TO是厶ABC的内心，•••/2=23,/5=26,

•••/1=22,二21=23,由AD//CO,AD=CO「・24=25,二24=26,

BO（ZACDA（AAS

由

（1）得，BC=AC,23=24=26,.2ABC2ACB.AB=AC

•••△ABC是等边三角形，.O是厶ABC的内心也是外心，.OA=OB=OC

设E为BD与AC的交点，BE垂直平分AC.在Rt△OCE中,CE=AC=AB=1,2OCE=30o

10、（2015广元）如图，AB是OO的弦，D为半径OA的中点.过D作CD!

OA交弦AB于点E,交OO于点F.且

CE=CB

（1）求证：

BC是OO的切线；

（2）连接AF、BF,求2ABF的度数；（3）如果CD=15

BE=1QsinA=5.求OO的半径.

13_

解：

（1）证明：

连接OB「OB=OACE=CB.2A=2OBA2CEB2ABC

又•••CD!

OA\2A+2AED2A+2CEB=90°.2OBA+2ABC=90°

.OBLBC/.BC是OO的切线.

（2）连接OFAF,BF,VDA=DOCDLOA

OAF是等边三角形，•••2AOF=60°.2ABF=2AOF=30

■Mam

11、（2015广安）如图，PB为OO的切线，B为切点，过

连接PA、AQ并延长AO交OO于点E,与PB的延长线交于点

B作OP的垂线BA垂足为C,交OO于点A

（1）求证：

PA是OQ的切线；

（2）

若QC2，且QC=4求PA的长和tanD的值.

AC3

解：

（1）证明：

连接QB贝yQA=QB•••QPLAC=BC

•••QP是AB的垂直平分线，•••PA=PB

在厶PAQ»PBQ中,

PA=PBPQ=PQQAfQB•••△PAQ^PBQ（SSS

•••/PBO玄PAQPB=PA

•2+QC2=213•••AE=2QA=413QB=QA=213在Rt△APQ中,

•ACLQP,•••AC2=OC?

P,C

解得：

PC=9•••OP=PC+OC=13

在Rt△APQ中,由勾股定理得：

AP=QP2-OA2=313

的切线，B为切点，•••/PBQ=90,

•••/PAQ=90，即PALQA•••PA是OQ的切线；

（2）连接BE,tQCAC=23且QC=4AC=6,AB=12,

在Rt△ACO中,由勾股定理得：

AQ=AC13•AC=BCQA=QE

•••OC=12BEOC//BEBE=2OC=8BE//OP,/•△DBE^ADPQ/.BDPD=BEOP

即BD313+BD=813,解得：

BD=24135,在Rt△OBD中,tanD=OBBD=21324135=512

•••PB=PA•-PB为OO

12、（2015巴中）如图，AB是OO的直径，ODL弦BC于点F,交OO于点E,连结CEAECD若

/AEC玄ODC

（1）求证：

直线CD为OO的切线；

（2）若AB=5,BC=4求线段CD的长.解：

（1）证明：

连接OC

•/CEA=/CBA/AEC玄ODC:

丄CBA玄ODC

又CFD=/BFQ•••/DCB玄BOF

•CO=BQ•••/OCF/B,

•/B+/BOF=90,•••/OCF+/DCB=90,二直线CD为OO的切线；

（2）解：

连接AC,•AB是OO的直径，•••/ACB=90,a/DCO/ACB又

•/D=/BOCXACB—…二二\丨

•/ACB=90,AB=5?

BC=4aAC=3,a=,即=,解得；DC=

三、圆与函数图象的综合

点P从点O出发，沿SC-DfO

【例11（2015?

资阳）如图4,ADBC是OO的两条互相垂直的直径,

的路线匀速运动，设/APB=y（单位：

度），那么y与点P运动的时间x（单位：

秒）的关系图是（）

解答：

（1）当点P沿C^C运动时，当点P在点O的位置时，y=90°，当点P在点C的位置时，

•••OA=OC•••y=45°,「.y由90°逐渐减小到45°;

（2）当点P沿C-D运动时，根据圆周角定理，可得y三90°+2=45;

⑴求经过A,B,C三点的抛物线所对应的函数解析式;

⑵设M为⑴中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式;

⑶试说明直线MC与OP的位置关系，并证明你的结论.

设经过A、B、C三点抛物线解析式是-一〔-，-一

把C（0,2）代入得：

•一一-

•••经过A、B、C三点抛物线解析式是

设直线MC对应函数表达式是y=kx+b,

代入得:

。

•••直线MC对应函数表达式是

（3）MC与OP的位置关系是相切。

证明如下：

设直线

MC交x轴于D,

在ACOD中，由勾股定理得：

产甘竝丿时100w

uj936I

当y=0时，

OD=

6萨

二，•••cD+pC=pD。

./PCD=900即PCXDC

•••PC为半径，•••MC与OP的位置关系是相切。

【课后作业】

一、选择题（每小题3分，共24分）

1.如图，已知A,B,C在OO上，下列选项中与/

A.2/CB.4/B

C.4/AD./B+ZC

AOB相等的是（）

2.如图，已知

AB是厶ABC外接圆的直径，ZA=35

。

，则ZB的度数是（

A.35°

.45°

C.55°

.65°

3.如图，AB是OO的直径，弦

CD!

AB,垂足为M下

F列结论不成立的是（

A.CM=DM

.CB=DB

C.ZACD=Z

ADCD

.OM=MD

13,弦AB长为24，则点O到AB的距离是（

4.如图，已知OO的半径为

I的距离为8，则直线I与OO的位置关系是（

第1题图第2题图第3题图第4题图

相交

.相切

相离

.无法确定

圆锥底面圆的半径

为

3cm其侧面展开图是半圆，贝V圆锥母线长为

3cm

.6cm

9cm

D.12cm

5.已知OO的半径为

6,圆心到直线

7.如图，Rt△ABC中，/AC吐90°,AC=4,BC=6,以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与ACBC相

第7题图第8题图

、填空题：

（每小题3分，共24分）

切于点D、E,则AD的长为（）

A.2.5

.1.6

C.1.5

8.如图，直线y

JL弋与

x*3与x

轴、y

分别相交与A、B两点，圆心P的坐标为（1,0）,圆P与y轴相

切与点O.若将员

P沿x轴向左移动，

当圆

P与该直线相交时，横坐标为整数的点P'的个数是（

A.2

C.4

D.5

12.如果圆锥的底面周长是20n，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120。

，则圆锥的母线长

是.

13.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”.则半径为2的“等边扇形”的面积

为

14.如图，AB为OO的直径，CDLAB,若AB=1O,CD=8,则圆心O到弦CD的距离为

15.如图，OA、OB、OC两两外切，它们的半径都是a,顺次连接三个圆心得到厶ABC则图中阴影部分的

面积之和是

16.如图，直线I与半径为4的OO相切于点AP是OO上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB丄I,

17.

垂足为B,连接PA.设PA=x,PB=y，贝八x—y）的最大值是

三、解答题（本大题共8个小题，满分52分）：

18.（本题4分）如图，已知AB是OO的直径，CD是弦，且

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