2.平移两腰:
利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。
例2:
如图，梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是AD、BC的中点，且EF⊥BC。
求证:
∠B=∠C。
分析:
过点E作EM//AB，EN//DC，分别交BC于点M、N。
梯形两腰、下底与腰的两个夹角集中于△EMN中，由E、F分别是AD、BC的中点轻易得到，又由EF⊥BC，得EM=EN，故∠EMN=∠ENM，所以∠B=∠C。
巩固练习:
如图2，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。
图2
析解:
过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H，可得
∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°
则△EGH是直角三角形
由于E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点
所以
二相关对角线的辅助线
1、平移对角线:
过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。
例3:
已知梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，对角线AC、BD互相垂直，梯形的两底之和为8。
求梯形的高与面积。
解析:
过点D作DE//AC交BC的延长线于点E，过点D作DM⊥BC于点M，这样得到平行四边形ACED，所以AC=DE，AD=CE。
由AC⊥BD，得BD⊥DE。
这样将两对角线，两底和，两对角线夹角集中于△BDE中。
轻易得到DM为等腰直角△BDE的BE边上的高，所以，即梯形的高为4。
巩固练习:
1）.如图3，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=，求证:
AC⊥BD。
图3
析解:
过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E，易得四边形BCED是平行四边形，则DE=BC，CE=BD=，所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。
在等腰梯形ABCD中，AC=BD=，所以在△ACE中，，从而AC⊥CE，于是AC⊥BD。
2）.如图4，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高BH=12cm，求梯形ABCD的面积。
图4
析解:
过点D作DE//AC，交BC的延长线于点E，则四边形ACED是平行四边形，即。
所以
由勾股定理得
（cm）
（cm）
所以，即梯形ABCD的面积是150cm2。
2、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。
如图6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证:
AD=DE。
图6
三相关两底的辅助线
1、移底
例4:
如图，梯形ABCD中，AB//CD，E为腰AD的中点，且AB+CD=BC。
求证:
BE⊥CE。
分析:
延长CE交BA的延长线于点F，由于点E为AD的中点，可得△DCE≌△AFE，故CE=FE，CD=AF，由AB+CD=BC，得BC=BF，故BE⊥CE。
四相关高的辅助线
1、作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角三角形或矩形。
［例5］如图7，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证:
四边形ABFE是等腰梯形。
图7
2、作两条高:
从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形。
［例6］如图8，在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证:
BD>AC。
图8
析证:
作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，则易知AE=DF。
在Rt△ABE和Rt△DCF中，由于AB>CD，AE=DF。
所以由勾股定理得BE>CF。
即BF>CE。
在Rt△BDF和Rt△CAE中
由勾股定理得BD>AC
巩固练习:
如图，在梯形ABCD中，AB//CD，两条对角线AC=20cm，BD=15cm，梯形高为12cm，求梯形ABCD的面积。
解析:
此题有两种解法。
法一:
如图6，分别过点C、D作CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，得矩形DCEF，在Rt△ACE中，AC=20cm，CE=12cm，可得AE=16cm。
同理BF=9cm，显然BF+AE=AB+CD=25，可求梯形面积为。
法二:
如图7，过点D作DE//CA交BA的延长线于点E，过点D作DF⊥BA于点F，在Rt△DEF中，DE=AC=20cm，DF=12cm，由勾股定理可得EF=16cm。
同理，FB=9cm，所以AB+CD=AB+AE=EF+FB=25，进而求得梯形面积为。
五、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。
例7如图5，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。
图5
析解:
延长BA、CD交于点E。
在△BCE中，∠B=50°，∠C=80°。
所以∠E=50°，从而BC=EC=5
同理可得AD=ED=2
所以CD=EC－ED=5－2=3
六、作中位线
1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。
［例8］如图9，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，∠AOD=90°，求证:
AB＋CD=AD。
图9
析解:
连结BD，由AD//BC，得∠ADB=∠DBE；由BC=CD，得∠DBC=∠BDC。
所以∠ADB=∠BDE。
又∠BAD=∠DEB=90°，BD=BD，所以Rt△BAD≌Rt△BED，得AD=DE。
2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。
［例9］如图10，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证:
（1）EF//AD；
（2）。
图10
析证:
过点D作DG⊥AB于点G，则易知四边形DGBC是矩形，所以DC=BG。
由于AB=2DC，所以AG=GB。
从而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。
又EF//AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。
本节课小结:
一通过添加辅助线，将梯形问题转化为平行四边形和三角形问题，从而解决问题。
梯形添加辅助线的规律可归纳为以下几点:
1、当两腰具备非凡关系时，移腰，构造等腰三角形或直角三角形。
2、当涉及面积时，作高，构造直角三角形。
3、当涉及腰的中点时，可添加辅助线构造全等三角形。
4、当涉及两底的和或差时，可灵活利用上述三点，将两底移到同一直线上。
二、注重强调添加辅助线的原则:
聚拢集中原则
通过添置适当的辅助线，将图形中分散，远离的元素，通过变换和转化，是他们相对集中，聚拢到相关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出要求的结论
化繁为简原则
对一类几何命题，其题设条件与结论之间在已知条件所给的图形中，其逻辑关系不明朗，通过添置适当辅助线，把复杂图形分解成简单图形，从而达到化繁为简，化难为易的目的
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