数学建模集训模拟题目.docx
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数学建模集训模拟题目
2010年数学建模集训题目
第1题
A题为新开发的商用飞机预测价格问题
近日，中国商用飞机公司销售经理陈进接受中国官方《ChinaDaily》采访时说:
“国产大飞机与同类机型相比具有非常明显的竞争优势。
”他说，在燃油消耗方面中国C919将比目前所有机型减少12-15%。
最具有杀伤力的是中国大飞机上市时定价将会非常便宜，会大大低于波音和空客同类产品的定价。
他透露说，C919上市时定价会低于5000万美元/架！
在放手开发研制一种新飞机时，除了技术细节外，还有很多经济问题需要回答。
其中最重要的是飞机制造商需要知道他的原始投资是否能够收回来，多久才能收回来。
这就要预测一下飞机的上市价格和市场前景。
波音747有600万的零部件，而它的价格绝不是600万零部件的综合！
毕竟对于飞机这样庞然大物的高科技商品，高投入，也高风险，周期还长，其销售价格除了和制造商的制造成本、航空公司的运营成本有关外，还和同类型飞机的市场前景、竞争格局等其它因素有关。
而飞机的技术数据往往能够一定程度上反映其中的一些因素。
试查找相关资料，完成以下三个问题：
（1）假如你是中国商用飞机公司销售经理，请你对比同类客机B737-800，以航空公司的角度，结合飞机运营成本，评估一下国产大飞机C919未来的市场潜力；
（2）假如你是飞机制造商，请你建立一合理的数学模型为将新开发的商用飞机预测一个较合理的价格，并结合你的模型对C919的价格进行预测；
（3）以你所建立的模型，结合相关数据，计算当前A380-800和B737-800两种商用飞机的价格，并说明所建价格预测模型的优缺点；
附件：
*1：
飞机机型,飞机机型介绍,飞机机型查询,民航飞机型号查询,民航机型大全,民航机型概况：
简介,主要型号,基本数据,制造历史和特点等----请查看：
http:
//www.china-（377种飞机机型大全）；
*2：
部分波音及空客飞机价格见附件1。
*3：
C919飞机部分性能数据见附件2。
注：
其他数据要用到时请从互联网上搜索下载或查阅图书。
B题送货路线设计问题
现今社会网络越来越普及，网购已成为一种常见的消费方式，随之物流行业也渐渐兴盛，每个送货员需要以最快的速度及时将货物送达，而且他们往往一人送多个地方，请设计方案使其耗时最少。
现有一快递公司，库房在图1中的O点，一送货员需将货物送至城市内多处，请设计送货方案，使所用时间最少。
该地形图的示意图见图1，各点连通信息见表3，假定送货员只能沿这些连通线路行走，而不能走其它任何路线。
各件货物的相关信息见表1，50个位置点的坐标见表2。
假定送货员最大载重50公斤，所带货物最大体积1立方米。
送货员的平均速度为24公里/小时。
假定每件货物交接花费3分钟，为简化起见，同一地点有多件货物也简单按照每件3分钟交接计算。
现在送货员要将100件货物送到50个地点。
请完成以下问题。
1.若将1~30号货物送到指定地点并返回。
设计最快完成路线与方式。
给出结果。
要求标出送货线路。
2.假定该送货员从早上8点上班开始送货，要将1~30号货物的送达时间不能超过指定时间，请设计最快完成路线与方式。
要求标出送货线路。
3.若不需要考虑所有货物送达时间限制（包括前30件货物），现在要将100件货物全部送到指定地点并返回。
设计最快完成路线与方式。
要求标出送货线路，给出送完所有快件的时间。
由于受重量和体积限制，送货员可中途返回取货。
可不考虑中午休息时间。
以上各问尽可能给出模型与算法。
第2题
A题企业的营销管理问题
任何一个企业都面临着将产品推向市场，销售出去。
一般的，企业下设营销部，企业生产的产品要通过营销部进行销售。
由于企业生产能力的制约，因此需要在满足已签约的销售合同量的基础上，对意向签约量有选择的安排生产。
一方面，企业会组织安排生产，完成已签约的销售合同；另一方面，企业希望营销部门尽力争取与意向签约的客户签订正式销售合同；除此之外，企业还希望销售部门努力再多销售一些产品（计划外）。
对于所签约的销售合同和意向签约量（计划内），企业根据销售量向营销部发放经费（包括工资以及宣传费用等）；对于计划外销售的产品，实行承包制，营销部向企业缴纳利润。
产品的生产费用由企业承担，与销售有关的费用（如产品的宣传费用等）由营销部承担。
宏宇电器公司2011年计划生产三类10种小家电，其中包括：
热水壶（1.5升，1.8升，2升）、豆浆机（0.9升，1.1升，1.3升）、电饭煲（2升，2.5升，3升，3.5升）。
三类小家电的年最大生产能力分别为：
热水壶：
5万个；豆浆机：
6.5万个；电饭煲6.2万个
目前，10种小家电的“已签约合同量”以及“意向签约量”见附件的表1。
公司的生产成本详见附件的表2。
每种小家电的宣传费用随着销售量而变化，详见附件的表3。
每种产品的销售额随着每单合同的订购量而变化，详见附件中的表4。
公司现已签约订单八个，每单的签约量见附件的表5。
公司现有意向签约客户五家，每家的意向签约量见附件的表6。
对于每个有签约意向的客户，可能签订订购合同量的概率见附件中的表7-表11。
对于营销部销售计划外的产品，可能签订订购合同量（万个）的概率见附件中的表12。
对于计划内销售的产品，企业向营销部发放的经费（万元）见附件的表13。
对于计划外销售的部分，营销部向企业缴纳的利润（万元）见附件的表14。
请分别按以下要求为宏宇电器公司制定相应的生产、销售方案：
（1）使公司的利润达到最大；
（2）使营销部的总收入极大化；
（3）兼顾公司和营销部二者的利益；
（4）兼顾公司、营销部的利益以及客户的需求，尽量做到均衡销售；
（5）公司为了调动营销部的积极性，为公司多创利润，规定对于计划外销售的产品，营销部可以自行定价。
统计数据显示，自行定价后每单位产品的销售价格上涨或下降5％，则三类小家电的可能销售量相应的减少或增加10％。
试确定使营销部总收入最大的定价、生产及销售方案。
B题周游100个城市
周游先生退休后想到各地旅游，计划到100个城市旅游。
请你为他按下面要求制定出行方案。
1，按地理位置（经纬度）设计最短路旅行方案。
数据见Matlab的mat数据文件（文件名为第2题B.mat），其中x0表示对应点的经度，y0表示对应点的纬度。
2．假设任意两个城市之间都有豪华大巴和飞机航线，乘坐飞机的价格是两点间距离1.5倍（单位：
元），豪华大巴的价格是分段的，在500公里之内是距离的2倍，超过500公里且在1000公里之内的是距离的1.4倍，超过1000公里的是距离的1.1倍，如果2010年5月1日零时周先生从第一个城市出发，每个城市停留24小时，可选择航空、豪华大巴，设计最经济的旅行方案。
3.假设豪华大巴和飞机都可以随到随走，飞机的速度是1000公里/小时，豪华大巴的速度是100公里/小时，要综合考虑省钱、省时又方便，设定你的评价准则，建立数学模型，修订你的方案。
4．对你的算法作复杂性、可行性及误差分析；
5．关于旅行商问题提出对你自己所采用的算法的理解及评价。
C题封闭系统的货币分布问题
考虑
有个人构成的封闭系统，每人有
单位的货币量。
货币通过交易实现转移，在整个过程中总的货币量保持不变。
试给出两种交易规则，并讨论这
个人在每个规则下，进行充分长时间后的货币分布情况。
第3题
A题通话数据分析
通信技术的不断发展拉近了人与人之间的距离。
电话作为主要的通信工具之一悄无声息地将我们联系在一起，形成一个巨大的社交网络。
这个巨大的社交网络对当前的通信设备和业务提出了更高的要求。
如何利用现有的通话记录数据进行概括分析，以便做出合理的决策，进而改善通信设施、拓展新的通信业务，依然是很多通信公司所面临的一个难题。
附件给出了一家通信公司公布的2009年6月份某地300个用户10天内的通话记录，试完成以下问题。
1．请根据这些通话记录信息建立数学模型以对用户分类。
2．如果需要推出一款新的通信业务，如何合理选择部分用户作为首选推广的人群。
说明你的理由，并撰写一份不超过两页的给公司经理的建议。
3．该地现有的通信设施（如基站等）建设情况是否合理。
如需改进，请给出合理的建议。
B题皮件下料问题
在实际生产生活中裁剪是必不可少的，裁剪的好坏、利用率的高低，直接影响到生产厂家的经济利益。
首先定义以下三个概念。
牛皮：
整张，未裁剪的牛皮原料。
经由人工检查，对不同品质的部分进行分级后，经过数码取像技术转化成CAD文件格式的二维区域。
皮板：
最终产品的模板，一般由硬纸板制成的，用于裁剪。
产品设计完后，确定不同皮板部位的等级，经过数码取像技术转化成CAD文件格式的二维区域。
皮件：
由皮革缝制成皮套，再通过其它工艺加工成的最终产品（例如皮包，皮鞋，皮沙发等）。
根据以上定义，本问题研究的对象是二维区域（含分级）。
附件提供了2张牛皮模板，沙发模板和椅子模板，根据制造沙发的各个部位的皮模板可以制造一把皮沙发和一把餐椅。
在实际生产中，要求最后一张牛皮的利用率尽可能大。
并且能够对牛皮和皮板进行分级运算，排料需要满足牛皮的等级大于或者等于皮板上的等级。
1．假设
张牛皮的模板都和提供的两张一样，试建立数学模型，在厂家皮件订单确定的情况下，针对
张牛皮的排料算法，要求牛皮的利用率最大化。
2．在某批沙发订单确认，在采购了40张牛皮裁剪结束之后（发现有一定余量），插入一个餐椅皮件订单（椅子模板见附件），利用裁剪的余量，再增加牛皮数量8张，计算出可以增加的餐椅数量。
3．附件还给出了近1年左右某些连续的订单，在积累一定的历史数据的情况下，需要对增加的产品计算出一个价格范围，在考虑市场因素的前提下，建立数学模型确定一个促销价格。
第4题
A题客房预定的价格和数量问题
某著名的旅游景区中的宾馆主要提供举办会议和游客使用。
客房通过电话或互联网预定，这种预定具有很大的不确定性，客户很可能由于各种原因取消预定。
宾馆为了争取更大的利润，一方面要争取客户，另一方面要降低客户取消预定遭受的损失。
为此，宾馆采用一些措施。
首先，要求客户提供信用卡号，预付第一天房租作为定金。
如果客户在前一天中午以前取消预定，定金将如数退还，否则定金将被没收。
其次，宾馆采用变动价格，根据市场需求情况调整价格，一般来说旅游旺季价格比较高，淡季价格略低。
（1）请建立客房预定价格的数学模型，并对以下实例作分析。
表1给出了某宾馆2005年10月～2010年3月期间，每月标准间平均价格（单位:
元），用你的模型说明价格变动的规律，并据此估计未来一年内的标准房参考价格。
你还可以收集更多的数据来佐证你模型的价值（要求注明出处）。
（2）在旅游旺季，宾馆往往可以预定出超过实际套数的客房数,以减低客户取消预定时宾馆的损失。
当然这样做可能会带来新的风险,因为万一届时有超出客房数的客户出现,宾馆要通过升级客房档次或赔款来解决纠纷,为此宾馆还会承担信誉风险.某宾馆有总统套房20套，豪华套房100套，标准间500套。
试为该宾馆制定合理的预定策略,并论证你的理由。
表１ 某宾馆2005年10月～2010年3月标准间月平均价格（单位:
元）
时间
价格
时间
价格
时间
价格
2005.10
328
2007.04
401
2008.10
534
2005.11
263
2007.05
439
2008.11
498
2005.12
251
2007.06
397
2008.12
402
2006.01
241
2007.07
463
2009.01
397
2006.02
249
2007.08
509
2009.02
416
2006.03
316
2007.09
474
2009.03
451
2006.04
344
2007.10
508
2009.04
486
2006.05
360
2007.11
458
2009.05
507
2006.06
320
2007.12
412
2009.06
458
2006.07
344
2008.01
369
2009.07
493
2006.08
384
2008.02
403
2009.08
562
2006.09
368
2008.03
436
2009.09
474
2006.10
401
2008.04
447
2009.10
528
2006.11
363
2008.05
483
2009.11
436
2006.12
336
2008.06
439
2009.12
398
2007.01
366
2008.07
514
2010.01
442
2007.02
331
2008.08
550
2010.02
404
2007.03
390
2008.09
489
2010.03
428
Ｂ题 课表编排问题
某学校现有课程40门，编号为C01～C40；教师共有25名，编号为T01～T25；教室18间，编号为R01～R18。
具体属性及要求见表2，表3，表4：
课表编排规则：
每周以5天为单位进行编排；每天最多只能编排8节课，上午4节，下午4节，特殊情况下可以编排10节课，每门课程以2节课为单位进行编排，同类课程尽可能不安排在同一时间。
你所要解决的问题：
（1）请你结合实际情况给出较为合理的课表编排方案，分析你所给出的方案的合理性。
（2）对教师聘用，教室配置给出合理化建议。
表2 课程属性及要求
课程编号
课程类别
周课时数
对教室座位最大要求数
对教室
类别要求
时间要求
C01
1
4
50
多媒体教室
上午
C02
1
4
30
普通教室
下午
C03
1
6
40
普通教室
下午
C04
1
4
25
多媒体教室
上午
C05
1
3
60
普通教室
下午
C06
2
4
100
普通教室
下午
C07
2
4
50
多媒体教室
上午
C08
2
2
30
普通教室
上午
C09
2
4
40
普通教室
下午
C10
2
3
25
多媒体教室
上午
C11
3
6
60
普通教室
上午
C12
3
4
80
普通教室
上午
C13
3
6
50
多媒体教室
下午
C14
3
2
30
普通教室
下午
C15
3
3
40
普通教室
下午
C16
4
4
25
多媒体教室
上午
C17
4
4
60
普通教室
下午
C18
4
6
90
普通教室
上午
C19
4
4
50
多媒体教室
上午
C20
4
2
50
普通教室
上午
C21
5
4
30
普通教室
上午
C22
5
4
40
多媒体教室
下午
C23
5
3
25
普通教室
上午
C24
5
6
60
普通教室
下午
C25
5
4
100
多媒体教室
上午
C26
6
3
50
多媒体教室
下午
C27
6
4
30
普通教室
下午
C28
6
4
40
普通教室
下午
C29
6
4
50
多媒体教室
上午
C30
6
4
30
普通教室
下午
C31
7
6
40
普通教室
上午
C32
7
4
25
多媒体教室
下午
C33
7
3
60
普通教室
无
C34
7
4
80
多媒体教室
上午
C35
7
4
50
普通教室
下午
C36
8
6
30
机房
无
C37
8
4
40
机房
上午
C38
8
2
25
机房
上午
C39
8
4
60
机房
下午
C40
8
4
50
机房
无
表3 教师属性
教师编号
能胜任课程类别
周最大
课时数
对教室类别要求
上课时间要求
T01
1，8
4
多媒体教室或机房
上午
T02
1
4
普通教室
下午
T03
1
6
普通教室
上午
T04
2
4
多媒体教室
上午
T05
2
4
普通教室
下午
T06
2
6
普通教室
无
T07
3
4
普通教室
上午
T08
3，8
3
普通教室或机房
下午
T09
3
4
普通教室
上午
T10
3
6
多媒体教室
上午
T11
4
8
普通教室
下午
T12
4
4
普通教室
无
T13
4
6
多媒体教室
下午
T14
5
2
普通教室
上午
T15
5，8
3
普通教室或机房
下午
T16
5
4
普通教室
上午
T17
6
4
普通教室
下午
T18
6
6
普通教室
无
T19
6
4
多媒体教室
下午
T20
7
4
普通教室
上午
T21
7
6
普通教室
下午
T22
7
6
多媒体教室
上午
T23
3，8
4
普通教室或机房
无
T24
4，8
6
普通教室或机房
上午
T25
6，8
4
普通教室或机房
下午
表4 教室属性
教室编号
最大座位数
教室类别
R01
100
多媒体教室
R02
100
普通教室
R03
100
普通教室
R04
50
多媒体教室
R05
50
普通教室
R06
50
普通教室
R07
50
普通教室
R08
60
普通教室
R09
60
普通教室
R10
60
多媒体教室
R11
60
普通教室
R12
60
机房
R13
40
机房
R14
40
机房
R15
40
机房
R16
40
多媒体教室
R17
50
普通教室
R18
40
普通教室
第5题
B题免费自行车交通系统服务网点布局规划
某城区推行免费公共自行车服务，已知地区基本信息如下（如图1所示）
图1某地区基本信息图
此城区现有人口15万，地域面积约22.9平方公里（如图长4.68公里，高4.89公里），含两座小山和一个湖泊（如图）。
已知规划中的地铁站有5个，图上A~E点，预计高峰时间人流量在4000-5000人/站，其余时间1000~2000人/站。
大型社区有两个，社区CⅠ有1.4万人，社区CⅡ有2.8万人，其余地区，除山地、湖泊和河流区域外，可以认为人口是均衡分布的。
大型超市有三个，，预计高峰时间人流量在3000人/座，其余时间1000人/座。
现建设网点依据有限时间内免费租赁，随处借还的原则，最大可能方便居民使用，应优先考虑交通枢纽和地点人流量，根据现实中调查可以推断：
早晨在社区周边的网点车辆数较多，下午下班时在地铁站和超市附近网点的车辆数较多。
十字路口的人流量一般较大。
网点之间的距离一般控制在300米~1000米之间。
目前该地区现有17个网点，600辆免费自行车，统计车辆数如表5所示。
表5统计车辆数
编号
上午7:
00车辆数
下午5:
30车辆数
1
70
70
2
60
90
3
40
30
4
30
10
5
30
10
6
30
10
7
50
45
8
30
10
9
30
70
10
30
10
11
30
20
12
30
80
13
20
10
14
50
60
15
20
10
16
20
5
17
30
60
请你解决以下问题
1.设定一个评价标准来衡量现有网点与车辆分布状况。
2.在规划中要在图中增加到100个网点和3600辆车，如何决定网点位置跟每个网点的车辆数，才能使在你的评价指标下达到最优。
3.但目前市政资金有限，只能拿出110万元左右，已知建设一个网点需5000元，投入一辆自行车的成本约300元，现希望尽可能实现主要居民区网点平均间距500米的公共交通体系，并最大程度服务居民，则需要在此地区建立多少个，如何分布网点并确定每个网点的车辆数。
B题后勤集团运营绩效分析
高校后勤集团是高等教育体制改革的产物。
经济上自负盈亏，独立核算。
某高校后勤集团为了研究公司运营绩效走势，详细了调查了2000年至2009年的运营指标。
包括经济效益指标、发展能力指标、内部运营指标以及客户满意度指标。
每个指标下面又有细化指标，具体调查结果见表6、表7、表8以及表9。
表6经济效益指标
年份
经营收入
（万元）
年终节余
（万元）
返还工资
（万元）
上缴利润
（万元）
人均收入
（元）
2000
1732
0
0
0
6600
2001
1780
0
0
0
8160
2002
1900
286
77
17
11160
2003
3372
649
199
105
18000
2004
4213
802
283
121
24000
2005
6728
1026
298
140
31200
2006
8004
1192
252
200
33600
2007
9767
1333
426
220
37200
2008
10800
1385
482
250
42000
2009
11780
1429
531
280
45600
表7发展能力指标
年份
资本积累率（％）
营业增长率（％）
发展基金占年终结余比（％）
人员素质评价
2000
－8.4％
2.4％
0
24％
2001
－9.1％
2.7％
0
26％
2002
－3.7％
6.3％
30%
28％
2003
2.6％
43.7％
30%
31％
2004
4.3％
20％
30%
32％
2005
6.2％
37.4％
37%
34％
2006
5.9％
15.9％
41%
36％
2007
7.4％
18.1％
53%
38％
2008
6.5％
9.6％
51%
39％
2009
6.8％
8.3％
51%
40％
表8内部运营指标
年份
总资产周转率（％）
人均产值
（元）
正式员工占总员工比例（％）
人均服务人数
（人）
2000
17.7％
32253
59.6％
15.3
2001
18.2％
32423
56.8％
15.89
2002
18.0％
27941
45.0％
15.59
2003
17.2％
48794
43.6％
17.96
2004
17.1％
58439
40.6％
19.56
2005
24.4％
77870
33.1％
18.74
2006
23.2％
89426
31.3％
19.87
2
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