历年考研数一真题及答案.docx
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历年考研数一真题及答案
历年考研数一真题及答案
【篇一：
历年考研数学一真题及答案（1987-2013）】
ss=txt>数学
（一）试卷
一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上）
（1）?
=_____________.
（2）曲面x2?
2y2?
3z2?
21在点（1,?
2,?
2）的法线方程为_____________.
（3）微分方程xy?
?
?
3y?
?
0的通解为_____________.
?
12
1?
（4）已知方程组?
?
23a?
2?
?
?
x1?
?
1?
x?
?
?
3?
?
1a?
2?
?
?
2无解,则a
=?
?
?
?
?
?
?
x3?
?
?
?
0?
?
_____________.
（5）设两个相互独立的事件a和b都不发生的概率为
1
9
a发生b不发生的概率与b发生a不发生的概率相等,则p（a）=_____________.
二、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把
所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）设
f（x）
、
g（x）
是恒大于零的可导函数,且
f?
（x）g（x）?
f（x）g?
（x）?
0,则当a?
x?
b时,有
（a）f（x）g（b）?
f（b）g（x）（b）f（x）g（a）?
f（a）g（x）（c）f（x）g（x）?
f（b）g（b）
（d）f（x）g（x）?
f（a）g（a）
（2）设s:
x2?
y2?
z2?
a2（z?
0）,s1为s在第一卦限中的部分,则有
（a）?
?
xds?
4s
?
?
xds
s1
（b）?
?
yds?
4?
?
xds
s
s1
（c）?
?
zds?
4?
?
xds
s
s1
（d）?
?
xyzds?
4?
?
xyzds
s
s1
（3）设级数?
?
un收敛,则必收敛的级数为
n?
1
（a）?
?
（?
1）nun（b）?
?
u2nn?
1
n
n?
1
（c）?
?
（u2n?
1?
u2n）
n?
1
（d）?
?
（un?
un?
1）
n?
1
（a）e（x）?
e（y）
（b）e（x2）?
[e（x）]2?
e（y2）?
[e（y）]2
（c）e（x2）?
e（y2）（d）e（x2）?
[e（x）]2?
e（y2）?
[e（y）]2
三、（本题满分6分）1求lim（2?
ex
x?
?
4
?
sinx）.
1?
ex
x
四、（本题满分5分）设z?
f（xy,xy）?
g（x
y
）,其中f
具有二阶连续偏导数,g具
有二阶连续导数,求?
2z
?
x?
y
.
五、（本题满分6分）计算曲线积分i?
?
xdy?
ydxl4x2?
y2
其中l是以点（1,0）为中
心,r为半径的圆周（r?
1）,取逆时针方向.
六、（本题满分7分）
设对于半空间x?
0内任意的光滑有向封闭曲面s,都
有?
?
xf（x）dydz?
xyf（x）dzdx?
e2xzdxdy?
0,其中函数
f（x）
在
s
（0,?
?
）内具有连续的一阶导数,且xlim?
0
?
f（x）?
1,求f（x）.
七、（本题满分6分）
求幂级数?
?
1xn
n?
1
3n?
（?
2）n
n的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.
八、（本题满分7分）
设有一半径为r的球体,p0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到p0距离的平方成正比（比例常数k?
0）,求球体的重心位置.
九、（本题满分6分）设
函
数
f（x）
在
[0,?
]
上连续,且
?
?
?
f（x）dx?
0,?
0
f（x）cosxdx?
0.试证:
在（0,?
）内至少存在两
个不同的点?
1,?
2,使f（?
1）?
f（?
2）?
0.
十、（本题满分6分）
?
?
1000?
000?
设矩阵
a
的伴随矩阵a*?
?
1?
?
10
10?
?
且
?
0?
3
08?
?
aba?
1?
ba?
1?
3e,其中e为4阶单位矩阵,求矩阵b.
十一、（本题满分8分）
某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16
熟练工支援其他生产部门,其缺额
由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25
成为熟练工.设第n年1月份统计的
熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn,记成向量
?
?
xn?
y?
?
.?
n
（1）求?
?
xn?
1?
与
?
?
xn?
的关系式并写成矩阵形
?
y?
n?
1?
?
y?
n?
式:
?
?
xn?
1?
?
xn?
y?
?
a?
?
?
.n?
1?
?
yn?
?
1?
?
是a的两个线性无关的特征
向量,并求出相应的特征值.
?
1?
（3）当?
?
x1?
?
2?
时,求?
?
y?
?
?
?
?
xn?
1?
?
.1?
?
?
1?
?
yn?
1?
?
2?
?
十二、（本题满分8分）
某流水线上每个产品不合格的概率为p（0?
p?
1）,各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为
x
求x的数学期望e（x）和方差d（x）.
十三、（本题满分6分）设某种元件的使用寿命
x
的概率密度为
?
2e?
2（x?
?
）x?
?
f（x;?
）?
?
x?
?
?
0x1,x2,
其中
?
?
0
为未知参数.又设
xn是x的一组样本观测值,求参数?
的最大似然估
计值.
2001年全国硕士研究生入学统一考试
数学
（一）试卷
一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.
把答案填在题中横线上）
（1）设y?
ex（asinx?
bcosx）（a,b为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.
（2）
r?
x2?
y2?
z2
则
div（gradr）
（1,?
2,2）
=
_____________.
（3）交换二次积分的积分次序:
?
01?
y
?
1dy?
2f（x,y）dx＝_____________.（4）设a2
?
a?
4e?
o,则（a?
2e）
?
1
=_____________.
（5）
d（x）?
2
则根据车贝晓夫不等式有估计
p{x?
e（x）?
2}?
_____________.
二、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.
每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）设函数f（x）在定义域内可导,y?
f（x）的图形如右
图所示,则y?
f?
（x）的图形为
（a）
（b）
（c）
【篇二：
2000年-2016年考研数学一历年真题完整版（word版）】
ss=txt>数学
（一）试卷
一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上）
（1）
?
=_____________.
（2）曲面x2?
2y2?
3z2?
21在点（1,?
2,?
2）的法线方程为_____________.（3）微分方程xy?
?
?
3y?
?
0的通解为_____________.
1?
?
x1?
?
1?
?
12
?
?
?
?
?
?
（4）已知方程组23a?
2x2?
3无解,则a=_____________.?
?
?
?
?
?
?
?
1a?
2?
?
?
?
x3?
?
?
?
0?
?
（5）设两个相互独立的事件a和b都不发生的概率为生的概率相等,则p（a）=_____________.
二、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）设f（x）、g（x）是恒大于零的可导函数,且f?
（x）g（x）?
f（x）g?
（x）?
0,则当a?
x?
b时,有（a）f（x）g（b）?
f（b）g（x）（c）f（x）g（x）?
f（b）g（b）
（b）f（x）g（a）?
f（a）g（x）（d）f（x）g（x）?
f（a）g（a）
1
a发生b不发生的概率与b发生a不发9
（2）设s:
x2?
y2?
z2?
a2（z?
0）,s1为s在第一卦限中的部分,则有（a）（c）
?
?
xds?
4?
?
xds
s
s1
（b）（d）
?
?
yds?
4?
?
xds
s
s1
s
s1
?
?
zds?
4?
?
xds
s
s1
?
?
xyzds?
4?
?
xyzds
（3）设级数
?
u
n?
1
?
n
收敛,则必收敛的级数为
u
（a）?
（?
1）n
nn?
1
n
?
（b）
?
u
n?
1
?
2
n
（c）
?
（u
n?
1
?
2n?
1
?
u2n）
（d）
?
（u
n?
1
?
n
?
un?
1）
（5）设二维随机变量（x,y）服从二维正态分布,则随机变量?
?
x?
y与?
?
x?
y不相关的充分必要条件为
（a）e（x）?
e（y）
（c）e（x2）?
e（y2）
三、（本题满分6分）
（d）e（x2）?
[e（x）]2?
e（y2）?
[e（y）]2
（b）e（x2）?
[e（x）]2?
e（y2）?
[e（y）]2
求lim（
x?
?
2?
e1?
e
1x
4x
?
sinx
）.x
四、（本题满分5分）
xx?
2z
设z?
f（xy,）?
g（）,其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求.
yy?
x?
y
五、（本题满分6分）
计算曲线积分i?
xdy?
ydx?
?
l4x2?
y2,其中l是以点（1,0）为中心,r为半径的圆周（r?
1）,取逆时针
方向.
六、（本题满分7分）
设对于半空间
x?
0内任意的光滑有向封闭曲面s,都有
?
?
?
x
sx?
0?
（f
）x?
dyd（z）x?
2xyfex
?
dzd0x,f（x）在z（0,d?
?
x）内具有连续的一阶导数dy其中函数,且
limf（x）?
1,求f（x）.
七、（本题满分6分）
八、（本题满分7分）
1xn
求幂级数?
n的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.n
3?
（?
2）nn?
1
?
设有一半径为r的球体,p0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到p0距离的平方成正比（比例常数k?
0）,求球体的重心位置.
九、（本题满分6分）
设函数f（x）在[0,?
]上连续,且
?
?
f（x）dx?
0,?
f（x）cosxdx?
0.试证:
在（0,?
）内至少存在两
?
个不同的点?
1,?
2,使f（?
1）?
f（?
2）?
0.
十、（本题满分6分）
?
10?
01*?
设矩阵a的伴随矩阵a?
?
10
?
?
0?
3
0010
0?
0?
?
?
1?
1
且aba?
ba?
3e,其中e为4阶单位矩阵,求0?
?
8?
矩阵b.
十一、（本题满分8分）
1
熟练工支援其他生产部6
2
门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工.设第
5
某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将
n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn,记成向量?
?
xn?
1?
?
xn?
?
xn?
1?
?
xn?
与的关系式并写成矩阵形式:
?
a?
?
?
?
?
?
?
.
?
yn?
1?
?
yn?
?
yn?
1?
?
yn?
?
xn?
?
.?
yn?
（1）求?
?
4?
?
?
1?
?
1?
?
1?
?
1?
?
x1?
?
2?
?
xn?
1?
（3）当?
?
?
?
?
时,求?
?
.
y1y?
1?
?
?
?
n?
1?
?
?
?
2?
十二、（本题满分8分）
某流水线上每个产品不合格的概率为p（0?
p?
1）,各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为x,求x的数学期望e（x）和方差
d（x）.
十三、（本题满分6分）
?
2e?
2（x?
?
）x?
?
设某种元件的使用寿命x的概率密度为f（x;?
）?
?
其中?
?
0为未知参数.又设
x?
?
?
0x1,x2,?
xn是x的一组样本观测值,求参数?
的最大似然估计值.
2001年全国硕士研究生入学统一考试
数学
（一）试卷
一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上）
（1）设y?
ex（asinx?
bcosx）（a,b为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.
（2）r?
x2?
y2?
z2,则div（gradr）
（1,?
2,2）
=_____________.
（3）交换二次积分的积分次序:
?
0?
1
dy?
1?
y2
f（x,y）dx＝_____________.
2
（4）设a?
a?
4e?
o,则（a?
2e）?
1=_____________.
（5）d（x）?
2,则根据车贝晓夫不等式有估计p{x?
e（x）?
2}?
_____________.
二、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）设函数f（x）在定义域内可导,y?
f（x）的图形如右图所示,则y?
f?
（x）的图形为
（a）（b）
（c）（d）
（2）设f（x,y）在点（0,0）的附近有定义,且fx?
（0,0）?
3,fy?
（0,0）?
1则（a）dz|（0,0）?
3dx?
dy
（b）曲面z?
f（x,y）在（0,0,f（0,0））处的法向量为{3,1,1}
（c）曲线z?
f（x,y）
在（0,0,f（0,0））处的切向量为{1,0,3}
y?
0
z?
f（x,y）
（d）曲线在（0,0,f（0,0））处的切向量为{3,0,1}
y?
0
（3）设f（0）?
0则f（x）在x=0处可导?
f（1?
cosh）
（a）lim存在2h?
0h
（c）lim
h?
0
f（1?
eh）
（b）lim存在
h?
0h
（d）lim
h?
0
f（h?
sinh）
存在
h2
11111111
1?
?
4?
?
1?
0,b?
?
?
01?
?
?
1?
?
0
000
0000
f（2h）?
f（h）
存在
h
?
1?
（4）设a?
?
1
?
1?
?
10?
?
0?
则a与b0?
?
0?
（a）合同且相似（c）不合同但相似
（b）合同但不相似（d）不合同且不相似
（5）将一枚硬币重复掷n次,以x和y分别表示正面向上和反面向上的次数,则x和y相关系数为
（a）-1（c）
（b）0（d）1
12
三、（本题满分6分）
arctanex
.求?
e2x
四、（本题满分6分）
【篇三：
历年考研数学一真题及答案（1987-2015）】
1987-2014（经典珍藏版）
1987年全国硕士研究生入学统一考试
数学
（一）试卷
一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上）
（1）当x=_____________时,函数y?
x?
2x取得极小值.
（2）由曲线y?
lnx与两直线y?
e?
1?
x及y?
0所围成的平面图形的面积是_____________.
1?
x
（3）与两直线y?
?
1?
t
z?
2?
t
及x?
1y?
2z?
1
1?
1?
1
都平行且过原点的平面方程为_____________.
（4）设l为取正向的圆周x2?
y2?
9,则曲线积分
?
?
l
（2xy?
2y）dx?
（x2?
4x）dy=_____________.
（5）已知三维向量空间的基底为
此基底下的坐标是_____________.
二、（本题满分8分）求正的常数
a
与
b,
使等式
lim1x2
x?
0bx?
sinx?
0
?
1成立.
三、（本题满分7分）
1
（1）设
f
、
g
为连续可微函数
u?
f（x,xy）,v?
g（x?
xy）,求
?
u?
x,?
v?
x
.
（2）设矩阵a和b满足关系式ab=a?
2b,其中
?
301?
a?
?
?
110?
求矩阵?
4?
b.
?
01?
?
四、（本题满分8分）
求微分方程y?
?
?
?
6y?
?
?
（9?
a2）y?
?
1的通解,其中常数a?
0.
五、选择题（本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）设lim
f（x）?
f（a）
x?
a
（x?
a）2
?
?
1,则在x?
a处
（a）f（x）的导数存在,且f?
（a）?
0（b）f（x）取得极大值
（c）f（x）取得极小值（d）f（x）的导数不存在
（2）设
f（x）为已知连续函数s
i?
t
?
t0
f（tx）dx,其中
t?
0,s?
0,则i的值
（a）依赖于s和t（b）依赖于s、t和x
（c）依赖于t、x,不依赖于s（d）依赖于s,不依赖于t（3）设常数?
k?
0,则级数?
（?
1）nk?
nn
2
n?
1（a）发散（b）绝对收敛
2
（c）条件收敛（d）散敛性与k的取值有关
（4）设a为n阶方阵，且a的行列式|a|?
a?
0,而
a*
六、（本题满分10分）求幂级数?
a
1n?
1的收敛域，并求其和函数.xn
n?
2n?
1
?
是a的伴随矩阵，则|a*|等于
（a）a（b）1（c）a
n?
1
七、（本题满分10分）求曲面积分
i?
?
?
x（8y?
1）dydz?
2（1?
y2）dzdx?
4yzdxdy,
?
（d）a
n
?
?
z?
1?
y?
3
f（x）?
其中?
是由曲线绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于?
.?
2x?
0?
?
八、（本题满分10分）设函数
f（x）在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f（x）的值都在开区间（0,1）内,且f?
（x）?
1,证明在（0,1）内有
且仅有一个x,使得f（x）?
x.
九、（本题满分8分）
3
问a,b为何值时,现线性方程组
?
x2?
x3?
x4?
02?
2x3?
2x4?
1x2?
（a?
3）x3?
2x4?
bx1?
2x2?
x3?
ax4?
?
1
有唯一解,无解,有无穷多解?
并求出有无穷多解时的通解.
十、填空题（本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上）
（1）设在一次实验中,事件a发生的概率为p,现进行n次独立试验,则a至少发生一次的概率为____________;而事件a至多发生一次的概率为____________.
（2）有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球,第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.（3）已知连续随机变量____________.
4
x
的概率密度函数为
f（x）?
?
x
2
?
2x?
1
则
x
的数学期望为____________,
x
的方差为
十一、（本题满分6分）
设随机变量x,y相互独立,其概率密度函数分别为
fx（x）?
1
0?
x?
1,fy（y）?
y?
0,求z?
2x?
y的概率密度函数.
?
y
其它
y?
0
5
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