近年中考数学 专题突破导学练 第7讲 一元二次方程及其应用试题整理.docx
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近年中考数学专题突破导学练第7讲一元二次方程及其应用试题整理
2018中考数学专题突破导学练第7讲一元二次方程及其应用试题
编辑整理:
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第7讲一元二次方程及其应用
【知识梳理】
知识点一:
一元二次方程的概念
在整式方程中,只含有一个未知数,并且含未知数项的最高次数是2,这样的整式方程叫一元二次方程,一元二次方程的标准形式是ax2+bx+c=0(a≠0).
重点:
正确认识一元二次方程的概念
难点:
能够化出标准形式。
知识点二:
一元二次方程的常用解法
1.直接开平方法:
如果x2=a(a≥0),则x=±
,即x1=
,x2=-
。
2.配方法
如果x2+px+q=0且p2-4q≥0,则
2=-q+
2。
x1=-
+
x2=-
-
。
3.公式法:
若ax2+bx+c=0(a≠0)且b2-4ac≥0,则x1,2=
。
4.因式分解法
若ax2+bx+c=(ex+f)(mx+n),则ax2+bx+c=0的根为x1=-
,x2=-
。
重点:
把握常见的几种一元二次方程的解法
难点:
灵活运用根与系数的关系
知识点三:
一元二次方程的根的判别式
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为b2-4ac。
(1)b2-4ac>0⇔一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,则x1,2=
;
(2)b2-4ac=0⇔一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根,即x1=x2=
-
;
(3)b2-4ac<0⇔一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
【考点解析】
类型一:
一元二次方程解的相关问题
例题1.(2017山东滨州)一元二次方程x2﹣2x=0根的判别式的值为( )
A.4B.2C.0D.﹣4
【考点】AA:
根的判别式.
【分析】直接利用判别式的定义,计算△=b2﹣4ac即可.
【解答】解:
△=(﹣2)2﹣4×1×0=4.
故选A.
类型二:
一元二次方程的解法
例题2若关于
的一元二次方程
有两个不相等的实数根,则实数
的取值范围是()
A.
B.
且
C.
D.
或
【考点】根的判别式.
【分析】根据判别式的意义得到△=(﹣2)2﹣4k(﹣1)<0,且k≠0然后解不等式即可.
【解答】解:
根据题意得△=(﹣2)2﹣4k(﹣1)<0,且k≠0
解得
或
故选D
类型三:
一元二次方程的应用
(2016贵州毕节)为进一步发展基础教育,自2014年以来,某县加大了教育经费的投入,2014年该县投入教育经费6000万元.2016年投入教育经费8640万元.假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同.
(1)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率;
(2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率,请你预算2017年该县投入教育经费多少万元.
【考点】一元二次方程的应用.
【分析】
(1)设该县投入教育经费的年平均增长率为x,根据2014年该县投入教育经费6000万元和2016年投入教育经费8640万元列出方程,再求解即可;
(2)根据2016年该县投入教育经费和每年的增长率,直接得出2017年该县投入教育经费为8640×(1+0.2),再进行计算即可.
【解答】解:
(1)设该县投入教育经费的年平均增长率为x,根据题意得:
6000(1+x)2=8640
解得:
x=0.2=20%,
答:
该县投入教育经费的年平均增长率为20%;
(2)因为2016年该县投入教育经费为8640万元,且增长率为20%,
所以2017年该县投入教育经费为:
y=8640×(1+0.2)=10368(万元),
答:
预算2017年该县投入教育经费10368万元.
【中考热点】
(2017山东滨州)根据要求,解答下列问题:
①方程x2﹣2x+1=0的解为 x1=x2=1 ;
②方程x2﹣3x+2=0的解为 x1=1,x2=2 ;
③方程x2﹣4x+3=0的解为 x1=1,x2=3 ;
…
(2)根据以上方程特征及其解的特征,请猜想:
①方程x2﹣9x+8=0的解为 1、8 ;
②关于x的方程 x2﹣(1+n)x+n=0 的解为x1=1,x2=n.
(3)请用配方法解方程x2﹣9x+8=0,以验证猜想结论的正确性.
【考点】A6:
解一元二次方程﹣配方法;A3:
一元二次方程的解;A8:
解一元二次方程﹣因式分解法.
【分析】
(1)利用因式分解法解各方程即可;
(2)根据以上方程特征及其解的特征,可判定方程x2﹣9x+8=0的解为1和8;②关于x的方程的解为x1=1,x2=n,则此一元二次方程的二次项系数为1,则一次项系数为1和n的和的相反数,常数项为1和n的积.
(3)利用配方法解方程x2﹣9x+8=0可判断猜想结论的正确.
【解答】解:
(1)①(x﹣1)2=0,解得x1=x2=1,即方程x2﹣2x+1=0的解为x1=x2=1,;
②(x﹣1)(x﹣2)=0,解得x1=1,x2=2,所以方程x2﹣3x+2=0的解为x1=1,x2=2,;
③(x﹣1)(x﹣3)=0,解得x1=1,x2=3,方程x2﹣4x+3=0的解为x1=1,x2=3;…
(2)根据以上方程特征及其解的特征,请猜想:
①方程x2﹣9x+8=0的解为x1=1,x2=8;
②关于x的方程x2﹣(1+n)x+n=0的解为x1=1,x2=n.
(3)x2﹣9x=﹣8,
x2﹣9x+
=﹣8+
,
(x﹣
)2=
x﹣
=±
所以x1=1,x2=8;
所以猜想正确.
故答案为x1=x2=1;x1=1,x2=2;x1=1,x2=3;x2﹣(1+n)x+n=0;
【达标检测】
1.(2017•温州)我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1,x2=﹣3,现给出另一个方程(2x+3)2+2(2x+3)﹣3=0,它的解是( )
A.x1=1,x2=3B.x1=1,x2=﹣3C.x1=﹣1,x2=3D.x1=﹣1,x2=﹣3
【考点】A3:
一元二次方程的解.
【分析】先把方程(2x+3)2+2(2x+3)﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程,利用题中的解得到2x+3=1或2x+3=﹣3,然后解两个一元一次方程即可.
【解答】解:
把方程(2x+3)2+2(2x+3)﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程,
所以2x+3=1或2x+3=﹣3,
所以x1=﹣1,x2=﹣3.
故选D.
【点评】本题考查了一元二次方程的解:
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
2。
若|x2﹣4x+4|与
互为相反数,则x+y的值为( )
A.3B.4C.6D.9
【分析】根据相反数的定义得到|x2﹣4x+4|+
=0,再根据非负数的性质得x2﹣4x+4=0,2x﹣y﹣3=0,然后利用配方法求出x,再求出y,最后计算它们的和即可.
【解答】解:
根据题意得|x2﹣4x+4|+
=0,
所以|x2﹣4x+4|=0,
=0,
即(x﹣2)2=0,2x﹣y﹣3=0,
所以x=2,y=1,
所以x+y=3.
故选A.
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法:
将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法.也考查了非负数的性质.
3.若关于x的方程kx2﹣3x﹣
=0有实数根,则实数k的取值范围是( )
A.k=0B.k≥﹣1且k≠0C.k≥﹣1D.k>﹣1
【考点】AA:
根的判别式.
【分析】讨论:
当k=0时,方程化为﹣3x﹣
=0,方程有一个实数解;当k≠0时,△=(﹣3)2﹣4k•(﹣
)≥0,然后求出两个中情况下的k的公共部分即可.
【解答】解:
当k=0时,方程化为﹣3x﹣
=0,解得x=
;
当k≠0时,△=(﹣3)2﹣4k•(﹣
)≥0,解得k≥﹣1,
所以k的范围为k≥﹣1.
故选C.
4。
(2017张家界)已知一元二次方程x2﹣3x﹣4=0的两根是m,n,则m2+n2= 17 .
【考点】AB:
根与系数的关系.
【分析】由m与n为已知方程的解,利用根与系数的关系,求出m+n与mn的值,将所求式子利用完全平方公式变形后,代入计算即可求出值.
【解答】解:
∵m,n是一元二次方程x2﹣3x﹣4=0的两个根,
∴m+n=3,mn=﹣4,
则m2+n2=(m+n)2﹣2mn=9+8=17.
故答案为:
17.
5.(2017•玉林)已知关于x的一元二次方程:
x2﹣(t﹣1)x+t﹣2=0.
(1)求证:
对于任意实数t,方程都有实数根;
(2)当t为何值时,方程的两个根互为相反数?
请说明理由.
【考点】AB:
根与系数的关系;AA:
根的判别式.。
【分析】
(1)根据方程的系数结合根的判别式,可得出△=(t﹣3)2≥0,由此可证出:
对于任意实数t,方程都有实数根;
(2)设方程的两根分别为m、n,由方程的两根为相反数结合根与系数的关系,即可得出m+n=t﹣1=0,解之即可得出结论.
【解答】
(1)证明:
在方程x2﹣(t﹣1)x+t﹣2=0中,△=[﹣(t﹣1)]2﹣4×1×(t﹣2)=t2﹣6t+9=(t﹣3)2≥0,
∴对于任意实数t,方程都有实数根;
(2)解:
设方程的两根分别为m、n,
∵方程的两个根互为相反数,
∴m+n=t﹣1=0,
解得:
t=1.
∴当t=1时,方程的两个根互为相反数.
【点评】本题考查了根的判别式、相反数以及根与系数的关系,解题的关键是:
(1)牢记“当△≥0时,方程有实数根”;
(2)根据相反数的定义结合根与系数的关系,找出t﹣1=0.
6。
.(2017湖北江汉)若α、β为方程2x2﹣5x﹣1=0的两个实数根,则2α2+3αβ+5β的值为( )
A.﹣13B.12C.14D.15
【考点】AB:
根与系数的关系.
【分析】根据一元二次方程解的定义得到2α2﹣5α﹣1=0,即2α2=5α+1,则2α2+3αβ+5β可表示为5(α+β)+3αβ+1,再根据根与系数的关系得到α+β=
,αβ=﹣
然后利用整体代入的方法计算.
【解答】解:
∵α为2x2﹣5x﹣1=0的实数根,
∴2α2﹣5α﹣1=0,即2α2=5α+1,
∴2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5(α+β)+3αβ+1,
∵α、β为方程2x2﹣5x﹣1=0的两个实数根,
∴α+β=
αβ=﹣
,
∴2α2+3αβ+5β=5×
+3×(﹣
)+1=12.
故选B.
7。
(2017年江苏扬州)一元二次方程x2﹣7x﹣2=0的实数根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.不能确定
【考点】AA:
根的判别式.
【分析】先计算判别式的值,然后根据判别式的意义判断方程根的情况.
【解答】解:
∵△=(﹣7)2﹣4×(﹣2)=57>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选A.
8.(2016·广西百色·10分)在直角墙角AOB(OA⊥OB,且OA、OB长度不限)中,要砌20m长的墙,与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓,且地面矩形AOBC的面积为96m2.
(1)求这地面矩形的长;
(2)有规格为0.80×0.80和1.00×1。
00(单位:
m)的地板砖单价分别为55元/块和80元/块,若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙),用哪一种规格的地板砖费用较少?
【考点】一元二次方程的应用.
【分析】
(1)根据题意表示出长方形的长,进而利用长×宽=面积,求出即可;
(2)分别计算出每一规格的地板砖所需的费用,然后比较即可.
【解答】
(1)设这地面矩形的长是xm,则依题意得:
x(20﹣x)=96,
解得x1=12,x2=8(舍去),
答:
这地面矩形的长是12米;
(2)规格为0.80×0.80所需的费用:
96×(0。
80×0.80)×55=8250(元).
规格为1。
00×1。
00所需的费用:
96×(1.00×1。
00)×80=7680(元).
因为8250<7680,
所以采用规格为1.00×1.00所需的费用较少.