曲线积分与曲面积分知识点.docx
《曲线积分与曲面积分知识点.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《曲线积分与曲面积分知识点.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![曲线积分与曲面积分知识点.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2023-1/23/3bb3151a-159b-44d1-ae48-b8f7e856ade5/3bb3151a-159b-44d1-ae48-b8f7e856ade51.gif)
曲线积分与曲面积分知识点
曲线积分与曲面积分知识点
【篇一:
曲线积分与曲面积分知识点】
曲线积分与曲面积分是考研数一考生要求掌握的内容,数二数三考
生不要求掌握,老师以高数教程为例,分章节归纳所要求掌握的内
容要点,希望对2016考研人有所帮助。
9.1第一类曲线积分
内容要点:
(1)第一类曲线积分的概念和性质;
(2)第一类曲线积分计
算
测试点:
计算第一类曲线积分(包含平面曲线和空间曲线)
9.2第二类曲线积分
内容要点:
(1)第二类曲线积分的概念和性质;
(2)第二类曲线积分计
算;(3)两类曲线积分之间的关系
测试点:
计算第二类曲线积分
9.3格林公式,平面曲线积分与路径无关的条件
内容要点:
(1)格林公式;
(2)平面曲线积分与路径无关的条件;(3)全
微分法则;(4)全微分方程
测试点:
(1)格林公式;
(2)计算曲线积分;(3)全微分方程的求解
9.4第一类曲面积分
内容要点:
(1)第一类曲面积分的概念和性质;
(2)第一类曲面积分计
算
测试点:
计算第一类曲面积分
9.5第二类曲面积分
内容要点:
(1)第二类曲面积分的概念和性质;
(2)第二类曲面积分计
算;(3)两类曲面积分之间的关系测试点:
(1)直接计算第二类曲面积
分
(2)通过两类曲面积分之间的关系计算第二类曲面积分
9.6高斯公式与散度
内容要点:
(1)高斯公式;
(2)散度
测试点:
(1)高斯公式(熟练掌握);
(2)散度(记住公式即可)
9.7斯托克斯公式与旋度
内容要点:
(1)斯托克斯公式;
(2)旋度
测试点:
(1)斯托克斯公式(熟练掌握);
(2)旋度(记住公式即可)
9.8综合例题
针对本章所学内容复习巩固,每个例题独立求解,然和和答案对比,
对自己所学情况进行简单的测评。
老师以高数教程为基础,把曲线积分和曲面积分所要求掌握的知识
点落实到每一章的某一节,希望考生在复习的过程中复习全面,不
要出现遗漏知识点的现象。
【篇二:
曲线积分与曲面积分知识点】
第十章曲线积分与曲面积分一、一、重点两类曲面积分及两类曲
面积分的计算和格林公式、高斯公式的应用二、二、难点对曲面
侧的理解,把对坐标的曲面积分化成二重积分,利用格林公式求非
闭曲线上的第二类曲线积分,及利用高斯公式计算非闭曲面上的第
二类曲面积分。
三、三、内容提要1.1.
(1)
(1)第一类曲线积分nsfdsyxf0
曲线(面)积分的定义:
?
?
?
?
i?
?
?
?
实际意
义:
?
?
?
?
?
?
iiil0),?
?
(?
?
lim?
?
),((存在时)is表示第i个小弧段的
长度,(ii?
?
?
?
)是is?
?
上的任一点小弧段的最大长度。
当f(x,y)表示l的线密度时,?
?
l表示l的弧长,当f(x,y)表示位于l
上的柱面在点(x,y)处的高时,?
?
l表示此柱面的面积。
(2)
(2)第二类曲线积分nxpqdypdx?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
实际意义:
dsyxf),(表示l的质量;当f(x,y)?
?
1
时,?
?
ldsdsyxf),(]),?
?
(?
?
),?
?
(?
?
[lim?
?
?
?
10iiiiiiilyq?
?
?
?
?
?
(存
在时)设变力f=p(x,y)i+q(x,y)j将质点从点a沿曲线l移动到b点,
则f作的功为:
?
?
?
?
d?
?
=(dx,dy)事实上,?
?
lpdx,?
?
lqdy分
别是f在沿x轴方向及y轴方向所作的功。
(3)(3)第一类曲面积分
nsfdszyxf1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
llqdypdxsdfw,其中
s?
?
?
?
i?
?
?
?
?
?
is?
?
面的最大直径。
?
?
?
?
?
?
iiii0),?
?
?
?
(?
?
lim?
?
),,((存在时)表示第i个小块曲面的面
积,(iii?
?
?
?
?
?
)为is?
?
上的任一点,?
?
是n块小曲实际意
义:
当f(x,y,z)表示曲面?
?
上点(x,y,z)处的面密度
时,?
?
?
?
ds表示曲面?
?
的面积。
?
?
dszyxf),,(表示曲面?
?
的质量,当f(x,y,z)?
?
1时,?
?
?
?
(4)
(4)第二类曲面积分?
?
?
?
?
?
i?
?
?
?
?
?
(存在时)其中(?
?
在yoz面,zox面,xoy面上的投影,dydz,dzdx,dxdy分别表示这三种投影元素;(iii?
?
?
?
?
?
,)为?
?
上的任一点,?
?
是n块小曲
面的最大直径。
实际意
义:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nxyiiiizxiiiiyziiiisrsqsprdxdyqdzdxp
dydz10))(,?
?
?
?
(?
?
))(,?
?
?
?
(?
?
))(,?
?
?
?
(?
?
lim?
?
yzis),
zxis)(?
?
,xyis)(?
?
分别表示将?
?
任意分为n块小曲面后第i块is?
?
is设变力),,(zyxv=p(x,y,z)i+q(x,y,z)j+r(x,y,z)k为通过曲
面?
?
的流体(稳定流动且不可压缩)在?
?
上的点(x,y,z)处的速度。
则?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
表示在单位时间内从?
?
的一侧流向指定的另一
侧的流量。
2、曲线(面)积分的性质两类积分均有与重积分类似的性质
(1)
(1)被积函数中的常数因子可提到积分号的外面
(2)
(2)对积
分弧段(积分曲面)都具有可加性(3)(3)代数和的积分等与
积分的代数和第二类曲线(面)积分有下面的特性,即第二类曲线
(面)积分与曲线(面)方向(侧)有关?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3、曲
线(面)积分的计算
(1)
(1)曲线积分的计算a、a、b、b、
第一
(二)类曲线积分化为定积分时用参数的最小值(起点处的参
数值)作为积分下限
(2)
(2)曲面积分的计算方法1、1、a将
积分曲面?
?
投向使投影面积非零的坐标面b将?
?
的方程先化成为
投影面上两变量的显函数,再将此显函数代替被积表达式中的另一
变量。
c将ds换成投影面上用直角坐标系中面积元素表示的曲面面积元素
2、2、a将积分曲面?
?
投向指定的坐标面b同1c依?
?
的指定的
侧决定二重积分前的“+”或“-”4、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式
(1)
(1)格林公式?
?
?
?
?
?
dyx其中p、q在闭区域d上
有一阶连续偏导数,l是d的正向边界曲线。
若闭区域d为复连通闭区域,p、q在d上有一阶连续偏导数,
则?
?
?
?
?
?
dyx其
中?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
rdxdyqdzdxpdydzsdv?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
llqdypd
xqdypdx?
?
?
?
rdxdyqdzdxpdydz=?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
rdxdyqdzdxpd
ydz依据积分曲线l的参数方程,将被积表达式中的变量用参数表
示第一类曲面积分的计算第二类曲面积分的计
算?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ldxdypqqdypdx)(?
?
?
?
?
?
?
?
dxdypq)(=?
?
?
?
?
?
?
?
niliqdypdx1il(=1,2⋯⋯n)均是d的正向边界曲线。
(2)
(2)高斯公式?
?
?
?
其中p、q、r在闭区域?
?
上有一阶连续偏导数,?
?
是q的边界曲面的外侧(3)(3)斯托克斯公式dxdydzdxdydz?
?
?
?
rdxdyqdzdxpdydz=zrypxq?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
()
dxdydz?
?
?
?
?
?
?
?
r?
?
?
?
q?
?
?
?
p?
?
zyx=?
?
?
?
?
?
?
?
rdzqdypdx其
中p、q、r在包含曲面?
?
在内的空间区域内具有一阶连续偏导
数,?
?
是以?
?
为边界的分片光滑曲面,5、平面上曲线积分与路
径无关的条件设p、q在开单连同区域g内有一阶连续偏导数,a、
b为g内任意两点,则以下命题等价:
?
?
ablqdypdx与路径l无
关?
?
的正向与?
?
的侧向符合右手规则。
(1)?
?
(2)对于g内任意闭曲线l,0?
?
?
?
?
?
lqdypdx(3)
ypxq?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
在g内处处成立(4)在g内,pdx+qdy为某
函数u(x,y)的全微分6、通量与散度、环流量与旋度设向
量),,(zyxa=p(x,y,z)i+q(x,y,z)j+r(x,y,z)k则通量(或流量)?
?
=dsn?
?
a?
?
?
?
?
?
?
?
其中n?
?
=(cos?
?
cos?
?
cos?
?
)为?
?
上点(x,y,z)处的单位法向量。
散度?
?
pq?
?
?
?
z?
?
度为零。
?
?
?
?
?
?
p>此规定直接决定了将一个第二类曲面积分化为二重积分
时正负号的选择,此规定貌似复杂,但其最基本的思想却非常简单:
即基于用正负数来表示具有相反意义的量。
比如,当温度高于零度时用正数表示,当温度低于零度使用负数表
示。
从引进第二类曲线积分的例子看是为了求稳定流动的不可压缩的流
体流向指定侧的流量。
如果我们用正数来表示流体流向指定侧的流
量,很自然,当流体流向指定侧的反向时用负数表示就显得合情合
理了。
因此上面的规定就显得非常自然合理了。
五、五、典型例题2x例1、计算?
?
?
?
?
?
dsxi2?
?
:
圆
周?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x0222zyrzy解:
由轮换对成性,
得?
?
?
?
?
?
dsxi2=?
?
?
?
dsy2?
?
?
?
?
?
dszi2=?
?
?
?
3?
?
?
?
dszyx222
1=?
?
?
?
dsx3?
?
r231=332r?
?
例2、设l:
222ayx?
?
?
?
为成平面区
域d,计算?
?
?
?
?
?
?
?
ldydxy333解:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ldyx3dxy333
(格林公
式)?
?
?
?
x?
?
ddxdyyx)(22=?
?
?
?
?
?
ardrrd?
?
02204=42a?
?
例3、
求?
?
?
?
?
?
dxdyz2,其中?
?
为曲面2222azy?
?
?
?
?
?
的外侧。
解法一、将?
?
分为上半球面1?
?
:
2x222yxaz?
?
?
?
?
?
和下半球面
2?
?
:
222yxaz?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1?
?
?
?
?
?
?
?
202222222
2222?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
y?
?
?
?
?
?
y?
?
?
?
dxdyyxadxdyyaaxa
x解法二、利用高斯公式?
?
?
?
?
?
dxdyz2=)200
(2?
?
222?
?
?
?
?
?
?
?
y?
?
?
?
?
?
azxz)dxdydz=0(对称性)例4、
求曲线y=解:
求曲线的交点b(1,1),c(32,34)法一、定积分法
则所求面积为22)2法二、二重积分法设所给曲线围成的闭区域为d.
则2yydx+?
?
?
?
法三、曲线积分法设所给曲线围成的图形的边界曲
线为l,则xyx2,22?
?
及xy?
?
2所围成的图形的面积。
a=?
?
?
?
10(dyyy+?
?
?
?
3402)2(dyyy=?
?
6161=31a=?
?
?
?
dd?
?
=?
?
?
?
102232402yydxdy=?
?
?
?
1022)2(dyyy+?
?
?
?
3402)2(dyyy=31a=?
?
lxdy=1?
?
?
?
1?
?
?
?
?
?
occbboxdyxdyxdy?
?
?
?
?
?
=?
?
102dyy
+?
?
341dyy+?
?
04232dyy=?
?
332+(32?
?
)=3?
?
例5、计算?
?
解:
法一用曲线积分与路径无关q?
?
?
?
?
?
?
?
于是?
?
法二、用曲线积分与路径无关,则?
?
法三、用曲线积分与路径无关,则
lxdyydx,l:
从点a(-r,0)到点b(r,0)的上半圆周222ryx?
?
?
?
。
因为ypx?
?
?
?
?
?
1在xoy面上恒成立,且xq?
?
?
?
及yp?
?
?
?
在
xoy面上连续,所以曲线积分?
?
lxdyydx与路径无关。
?
?
lxdyydx=?
?
?
?
abxdyydx=?
?
?
?
rrdx0=0?
?
aacbxdyydx?
?
=0(其中c(0,r))?
?
法四、用格林公式q?
?
?
?
?
?
lxdyydx=?
?
?
?
?
?
)
0,r()0,r(xdyydx=?
?
?
?
)0,r()0,r()(xyd=)0,)0,r?
?
((][rxy=0因为
ypx?
?
?
?
?
?
且xq?
?
?
?
及yp?
?
?
?
在闭曲线acba上围成的闭区域d
上连续。
故由格林公式
得?
?
?
?
aacbxdyydx?
?
=?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ddxdyypxq)(=0于
是?
?
法五、用定积分计算,则l的参数方程
为?
?
?
?
?
?
?
?
sinry0?
?
lxdyydx=0?
?
?
?
?
?
baxdyydx=0?
?
?
?
?
?
co
srx,l的起点a对应与?
?
?
?
?
?
,综点对应于0?
?
?
?
,于
是?
?
r?
?
lxdyydx=?
?
=0?
?
?
?
?
?
?
?
]coscos)sin(sin[?
?
?
?
d?
?
?
?
?
?
?
?
rrrr=?
?
022?
?
dcos?
?
?
?
r=02]2?
?
sin21[?
?
例六、计算对坐标
的曲面积分?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
dxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(其中?
?
是)0222hzyxz?
?
?
?
?
?
?
?
(的下侧解:
设1?
?
为平面z=h被锥面
222yxz?
?
?
?
所围成部分的上侧。
则
q?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)()()(dxdyyxdzdxxzdyd
zzy=)(zrypx?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
dxdydz=)000(?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)
dxdydz=0
又?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1)()()(dxdyyxdzdxxzdydzzy=?
?
?
?
?
?
?
?
1)
(dxdyyx=?
?
?
?
dxy?
?
dxdyyx)(=0所以原式
=?
?
?
?
?
?
1?
?
?
?
?
?
?
?
1?
?
?
?
=0-0=0六.曲线积分与曲面积分自测
题一、一、填空:
(4?
?
5分)
1、?
?
l?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
xxdyyexxdxeyxxyxyx)2sin()sin2cos(222其
中l为正向星形线)0(323232?
?
?
?
?
?
aayx2、l为xoy面内直线
x=a上的一段,则?
?
3、设a=yzx(?
?
?
?
ldxyxp)(i)2?
?
+
jxzy)(2?
?
+kxyz)(2?
?
,则p>二、二、选择题(4?
?
5分)1、1、
a?
?
是d内任一曲线,则以下4个命题中,错误的
是?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
dxdyzdzdxzydydzzyx)3()3()2(=设a=p(x,y)
i+q(x,y)j,(x,y)?
?
d,且p、q在区域d内具有一阶连续偏导
数,又l:
ba若qdydxpl?
?
?
?
与路径无关,则在d内必有
ypxq?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
b若?
?
?
?
du(x,y)=p(x,y)dx+q(x,y)dylsda?
?
?
?
与路径无关,则在d内必有单值函数u(x,y),使得c若在d
内ypxq?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,则必有?
?
?
?
lsda?
?
?
?
与路径无关d若对
d内有一必曲线c,恒有0?
?
?
?
?
?
qdypdx,则qdydxpl?
?
?
?
与路
径无关2、2、已知2)()(yxydydxayx?
?
?
?
?
?
为某函数的全微分,则a等于a-1;b0;c1;d2;2?
?
dxxy)0,0(?
?
?
?
3、3、设曲线
积分dyxy?
?
dxxyl)(?
?
与路径无关,其中)(x?
?
具有连续得到数,
且)(x?
?
=0,则dyxy?
?
)()1,1(2等于a83;b24、设空间区域?
?
由曲面1;c42xa?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3;d1;22yz?
?
平面z=0围成,其中
a为正常数,记?
?
的表面外?
?
?
?
?
?
xyzzdzdxzxy))1(侧为s,?
?
的
体积为v,则?
?
dxdydydzyzx2222a0;bv;c2v;d3v;三、三、计算(6?
?
10)1、1、计算i=?
?
?
?
dsx2,其中?
?
为圆
周:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x02222zyrzyx2、2、计算曲线积
分?
?
?
?
时针方向。
?
?
?
?
)(222yxxdyydx其中l为圆周2)1?
?
(22?
?
?
?
yx,l的方向为
逆3、3、计算,)sin()(22dyyxdxyxl?
?
?
?
?
?
?
?
其中l是在圆周
22xx?
?
?
?
上点(0,0)到点(1,1)的一段弧。
4、4、算曲面积分i=?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
yzdxdydzdxyzdydzy4)1()
18(2其中?
?
为圆周:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x01yz()31?
?
?
?
y绕y轴
旋转一周所生成的曲面,它的法向量与y轴正向的夹角恒大于25、
5、全微分,并求出一个这样的二元函数u(x,y)。
?
?
,0)到点(22?
?
?
?
?
?
。
正面(dyxyxdxxyxy)cos()sin22?
?
?
?
?
?
在整个xoy面上是某个二元函数的6、6、在由点(-23?
?
,0)
的曲线族y=acosx(a.>0)中,求一条曲线l,使xdydxyl的值最小。
【篇三:
曲线积分与曲面积分知识点】
第十二章曲线积分与曲面积分一.基本要求1.正确理解两类曲线
积分与两类曲面积分的概念和性质及几何意义和物理意义。
2.熟练掌握两类曲线积分和两类曲面积分的计算方法,了解两类曲
线积分和两类曲面积分之间相互关系。
3.掌握格林公式及应用,熟悉和会应用平面曲线积分与路经无关的
条件。
掌握二元函数全微分方程的求解方法。
4.掌握高斯公式及应用,了解斯托克斯公式,知道通量与散度,环
流量与旋度。
5.会用曲线积分和曲面积分求一些几何量与物理量(弧长、曲面面
积、质量、重心、转动惯量、功及流量等)。
二.主要内容(见第二页至第十三页)在平面区域g上曲线积分与路
径无关的(四个等价)条件(框图)注解(注一至注十)(表格)
三.考点与难点考点:
1.两类曲线积分化为定积分的计算方法及
两类曲面积分化为二重积分的计算方法。
2.格林公式和高斯公式成立的条件和结论,正确灵活地应用格林公
式和高斯公式。
3.应用平面曲线积分与路径无关的四个条件。
4.曲线积分和曲面积分的几何意义和物理意义,将几何问题和物理
问题化为曲线积分问题和曲面积分问题求解。
难点:
应用各类型的积分之间关系,选择合适的(可计算的,更方
便的)积分计算。
四.例题及题解(见第十四页至第二十一页)例1至例15五.部分
习题题解(见第二十二页至第三十页)习题
(一)至习题(十五)
六.试卷(见第三十一页至第三十八页)试卷七.试卷答案及题解
(见第三十九页至第四十六页)试卷二.主要内容1。
主要内容联
系(框图)(化为)二重积分(化为)三重积分曲线积分(化为)
定积分联系联系联系高斯公式联系联系联系联系联系联系两
类曲线积分之间联系公式(化为)二重积分散度、通量。
参见注解之注九旋度、环流量。
参见注解之注十(物理意义)在平面区域上曲线积分与路径无价)
条件全微分方程求全微分函数曲面积分两类曲面积分之间联系公
式直接法参见解题步骤及注解推广特殊斯托克斯公式(空间上)
意义意义直接法参见解题步骤及注解直接法参见解题步骤及注
解直接法参见解题步骤及注解对坐标的曲线积分格林公面上)对
面积的曲面积分对坐标的曲面积分2.曲线积分和曲面积分(表格)
(a)两类曲线积分及相互之间联系类型积分类型内容对弧长的曲
线积分对坐标的曲线积分定义平面:
(在上有界)被积函数参见
注解之注一(第12有界)被积函数有界)被积函数参见注解之注
二(第12物理意义平面:
轴平行的柱面侧面积。
[柱面底是l,高是
沿有向曲线所作的功向量形式coscoscoscoscosdxdsqdypdx
dxdsrdzqdypdx联系法:
化为对坐标的曲线积分,再应用对坐标
的曲线积分解题方法之直接法及公式法。
参见解题方法及两类曲线
积分之间联系(本页)。
页、第12页)。
当曲线积分与路径无关,选一条更方便路线(选与
坐标轴平行的折线段替代规定路线)简化计算。
参见曲线积分与路
径无关的条件(第10联系法:
化为对弧长的曲线积分,再应用对弧
长的曲线积分解题方法之直接法。
参见解题方法及两类曲线积分之
间联系(本页)。
公式法:
对封闭的积分路线,应用格林公式化为重积分,对非封闭
的积分路线,补上一条使之封闭,然后再应用格林公式化为重积分,
(转化后的重积分及补上的曲线积分要容易计算),若积分路线为
空间曲线上述格林公式改为斯托克斯公式即可。
参见格林公式,高
斯公式及斯托可斯公式(第9两类曲线积分之间的联系qdypdx
coscosrdzqdypdxcoscoscosdxds(b)两类曲面积分及相互
之间联系类型内容对面积的曲面积分对坐标的曲面积分定义上有
界)被积函数。
参见注解之注五(第12上有界)被积函数。
参见注
解之注六(第13为空间薄片的面积。
面密度为的空间薄片的质量。
流速的流体(不可压缩)在单位时间穿过有向曲面的通量(流量)。
向量形式coscoscoscoscoscosrdxdyqdzdxpdydz特别地ds
联系法:
化为对坐标的曲面积分,再应用对坐标的曲面积分解题方
法之直接法及公式法。
参见解题方法及两类曲面积分之间联系(本
页)。
公式法:
对封闭的积分曲面,应用高斯公式化为重积分,对非封闭
的积分曲面,补上一片使之封闭,然后再应用高斯公式化为重积分,
(转化后的重积分及补上的曲面积分要容易计算)。
联系法:
化为对面积的曲面积分,再应用对面积的曲面积分解题方
法之直接法及公式法。
参见解题方法及两类曲面积分之间联系(本
页)。
公式法:
对封闭的积分曲面,应用高斯公式化为重积分,对非封闭
的积分曲面,补上一片使之封闭,然后再应用高斯公式化为重积分,
(转化后的重积分及补上的曲面积分要容易计两类曲面积分之间的
联系rdxdyqdzdxpdydzcoscoscosdydzds3.曲线积分和曲面
积分的解