曲线积分与曲面积分知识点.docx
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曲线积分与曲面积分知识点
曲线积分与曲面积分知识点
【篇一：
曲线积分与曲面积分知识点】
曲线积分与曲面积分是考研数一考生要求掌握的内容，数二数三考
生不要求掌握，老师以高数教程为例，分章节归纳所要求掌握的内
容要点，希望对2016考研人有所帮助。
9.1第一类曲线积分
内容要点：
（1）第一类曲线积分的概念和性质；
（2）第一类曲线积分计
算
测试点：
计算第一类曲线积分（包含平面曲线和空间曲线）
9.2第二类曲线积分
内容要点：
（1）第二类曲线积分的概念和性质；
（2）第二类曲线积分计
算；（3）两类曲线积分之间的关系
测试点：
计算第二类曲线积分
9.3格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件
内容要点：
（1）格林公式；
（2）平面曲线积分与路径无关的条件；（3）全
微分法则；（4）全微分方程
测试点：
（1）格林公式；
（2）计算曲线积分；（3）全微分方程的求解
9.4第一类曲面积分
内容要点：
（1）第一类曲面积分的概念和性质；
（2）第一类曲面积分计
算
测试点：
计算第一类曲面积分
9.5第二类曲面积分
内容要点：
（1）第二类曲面积分的概念和性质；
（2）第二类曲面积分计
算；（3）两类曲面积分之间的关系测试点：
（1）直接计算第二类曲面积
分
（2）通过两类曲面积分之间的关系计算第二类曲面积分
9.6高斯公式与散度
内容要点：
（1）高斯公式；
（2）散度
测试点：
（1）高斯公式（熟练掌握）；
（2）散度（记住公式即可）
9.7斯托克斯公式与旋度
内容要点：
（1）斯托克斯公式；
（2）旋度
测试点：
（1）斯托克斯公式（熟练掌握）；
（2）旋度（记住公式即可）
9.8综合例题
针对本章所学内容复习巩固，每个例题独立求解，然和和答案对比，
对自己所学情况进行简单的测评。
老师以高数教程为基础，把曲线积分和曲面积分所要求掌握的知识
点落实到每一章的某一节，希望考生在复习的过程中复习全面，不
要出现遗漏知识点的现象。
【篇二：
曲线积分与曲面积分知识点】
第十章曲线积分与曲面积分一、一、重点两类曲面积分及两类曲
面积分的计算和格林公式、高斯公式的应用二、二、难点对曲面
侧的理解，把对坐标的曲面积分化成二重积分，利用格林公式求非
闭曲线上的第二类曲线积分，及利用高斯公式计算非闭曲面上的第
二类曲面积分。
三、三、内容提要1．1．
（1）
（1）第一类曲线积分nsfdsyxf0
曲线（面）积分的定义：
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i?
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实际意
义：
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iiil0）,?
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（?
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lim?
?
）,（（存在时）is表示第i个小弧段的
长度，（ii?
?
?
?
）是is?
?
上的任一点小弧段的最大长度。
当f（x,y）表示l的线密度时，?
?
l表示l的弧长，当f（x,y）表示位于l
上的柱面在点（x,y）处的高时，?
?
l表示此柱面的面积。
（2）
（2）第二类曲线积分nxpqdypdx?
?
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实际意义：
dsyxf）,（表示l的质量；当f（x,y）?
?
1
时，?
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ldsdsyxf）,（]）,?
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（?
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）,?
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（?
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[lim?
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10iiiiiiilyq?
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（存
在时）设变力f=p（x,y）i+q（x,y）j将质点从点a沿曲线l移动到b点，
则f作的功为：
?
?
?
?
d?
?
=（dx,dy）事实上，?
?
lpdx，?
?
lqdy分
别是f在沿x轴方向及y轴方向所作的功。
（3）（3）第一类曲面积分
nsfdszyxf1?
?
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llqdypdxsdfw，其中
s?
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i?
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is?
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面的最大直径。
?
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iiii0）,?
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（?
?
lim?
?
）,,（（存在时）表示第i个小块曲面的面
积，（iii?
?
?
?
?
?
）为is?
?
上的任一点，?
?
是n块小曲实际意
义：
当f（x,y，z）表示曲面?
?
上点（x,y,z）处的面密度
时，?
?
?
?
ds表示曲面?
?
的面积。
?
?
dszyxf）,,（表示曲面?
?
的质量，当f（x,y,z）?
?
1时，?
?
?
?
（4）
（4）第二类曲面积分?
?
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?
i?
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?
?
?
?
（存在时）其中（?
?
在yoz面，zox面，xoy面上的投影，dydz，dzdx，dxdy分别表示这三种投影元素;（iii?
?
?
?
?
?
,）为?
?
上的任一点，?
?
是n块小曲
面的最大直径。
实际意
义：
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nxyiiiizxiiiiyziiiisrsqsprdxdyqdzdxp
dydz10））（,?
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（?
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））（,?
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（?
?
））（,?
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（?
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lim?
?
yzis），
zxis）（?
?
，xyis）（?
?
分别表示将?
?
任意分为n块小曲面后第i块is?
?
is设变力）,,（zyxv=p（x,y，z）i+q（x,y,z）j+r（x,y,z）k为通过曲
面?
?
的流体（稳定流动且不可压缩）在?
?
上的点（x,y,z）处的速度。
则?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
表示在单位时间内从?
?
的一侧流向指定的另一
侧的流量。
2、曲线（面）积分的性质两类积分均有与重积分类似的性质
（1）
（1）被积函数中的常数因子可提到积分号的外面
（2）
（2）对积
分弧段（积分曲面）都具有可加性（3）（3）代数和的积分等与
积分的代数和第二类曲线（面）积分有下面的特性，即第二类曲线
（面）积分与曲线（面）方向（侧）有关?
?
?
?
?
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?
3、曲
线（面）积分的计算
（1）
（1）曲线积分的计算a、a、b、b、
第一
（二）类曲线积分化为定积分时用参数的最小值（起点处的参
数值）作为积分下限
（2）
（2）曲面积分的计算方法1、1、a将
积分曲面?
?
投向使投影面积非零的坐标面b将?
?
的方程先化成为
投影面上两变量的显函数，再将此显函数代替被积表达式中的另一
变量。
c将ds换成投影面上用直角坐标系中面积元素表示的曲面面积元素
2、2、a将积分曲面?
?
投向指定的坐标面b同1c依?
?
的指定的
侧决定二重积分前的“+”或“-”4、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式
（1）
（1）格林公式?
?
?
?
?
?
dyx其中p、q在闭区域d上
有一阶连续偏导数，l是d的正向边界曲线。
若闭区域d为复连通闭区域，p、q在d上有一阶连续偏导数，
则?
?
?
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?
dyx其
中?
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rdxdyqdzdxpdydzsdv?
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llqdypd
xqdypdx?
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rdxdyqdzdxpdydz=?
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rdxdyqdzdxpd
ydz依据积分曲线l的参数方程，将被积表达式中的变量用参数表
示第一类曲面积分的计算第二类曲面积分的计
算?
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ldxdypqqdypdx）（?
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dxdypq）（=?
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niliqdypdx1il（=1，2⋯⋯n）均是d的正向边界曲线。
（2）
（2）高斯公式?
?
?
?
其中p、q、r在闭区域?
?
上有一阶连续偏导数，?
?
是q的边界曲面的外侧（3）（3）斯托克斯公式dxdydzdxdydz?
?
?
?
rdxdyqdzdxpdydz=zrypxq?
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（）
dxdydz?
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r?
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q?
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p?
?
zyx=?
?
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rdzqdypdx其
中p、q、r在包含曲面?
?
在内的空间区域内具有一阶连续偏导
数，?
?
是以?
?
为边界的分片光滑曲面，5、平面上曲线积分与路
径无关的条件设p、q在开单连同区域g内有一阶连续偏导数，a、
b为g内任意两点，则以下命题等价：
?
?
ablqdypdx与路径l无
关?
?
的正向与?
?
的侧向符合右手规则。
（1）?
?
（2）对于g内任意闭曲线l,0?
?
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lqdypdx（3）
ypxq?
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?
在g内处处成立（4）在g内，pdx+qdy为某
函数u（x,y）的全微分6、通量与散度、环流量与旋度设向
量）,,（zyxa=p（x,y，z）i+q（x,y,z）j+r（x,y,z）k则通量（或流量）?
?
=dsn?
?
a?
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?
其中n?
?
=（cos?
?
cos?
?
cos?
?
）为?
?
上点（x,y,z）处的单位法向量。
散度?
?
pq?
?
?
?
z?
?
度为零。
?
?
?
?
?
?
p>此规定直接决定了将一个第二类曲面积分化为二重积分
时正负号的选择，此规定貌似复杂，但其最基本的思想却非常简单：
即基于用正负数来表示具有相反意义的量。
比如，当温度高于零度时用正数表示，当温度低于零度使用负数表
示。
从引进第二类曲线积分的例子看是为了求稳定流动的不可压缩的流
体流向指定侧的流量。
如果我们用正数来表示流体流向指定侧的流
量，很自然，当流体流向指定侧的反向时用负数表示就显得合情合
理了。
因此上面的规定就显得非常自然合理了。
五、五、典型例题2x例1、计算?
?
?
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dsxi2?
?
：
圆
周?
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x0222zyrzy解：
由轮换对成性，
得?
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dsxi2=?
?
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dsy2?
?
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?
dszi2=?
?
?
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3?
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?
dszyx222
1=?
?
?
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dsx3?
?
r231=332r?
?
例2、设l：
222ayx?
?
?
?
为成平面区
域d,计算?
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?
ldydxy333解：
?
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ldyx3dxy333
（格林公
式）?
?
?
?
x?
?
ddxdyyx）（22=?
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ardrrd?
?
02204=42a?
?
例3、
求?
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dxdyz2，其中?
?
为曲面2222azy?
?
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?
?
?
的外侧。
解法一、将?
?
分为上半球面1?
?
：
2x222yxaz?
?
?
?
?
?
和下半球面
2?
?
：
222yxaz?
?
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1?
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202222222
2222?
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y?
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y?
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dxdyyxadxdyyaaxa
x解法二、利用高斯公式?
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dxdyz2=）200
（2?
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222?
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y?
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azxz）dxdydz=0（对称性）例4、
求曲线y=解：
求曲线的交点b（1，1），c（32,34）法一、定积分法
则所求面积为22）2法二、二重积分法设所给曲线围成的闭区域为d.
则2yydx+?
?
?
?
法三、曲线积分法设所给曲线围成的图形的边界曲
线为l，则xyx2,22?
?
及xy?
?
2所围成的图形的面积。
a=?
?
?
?
10（dyyy+?
?
?
?
3402）2（dyyy=?
?
6161=31a=?
?
?
?
dd?
?
=?
?
?
?
102232402yydxdy=?
?
?
?
1022）2（dyyy+?
?
?
?
3402）2（dyyy=31a=?
?
lxdy=1?
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1?
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occbboxdyxdyxdy?
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?
=?
?
102dyy
+?
?
341dyy+?
?
04232dyy=?
?
332+（32?
?
）=3?
?
例5、计算?
?
解：
法一用曲线积分与路径无关q?
?
?
?
?
?
?
?
于是?
?
法二、用曲线积分与路径无关，则?
?
法三、用曲线积分与路径无关，则
lxdyydx，l：
从点a（-r,0）到点b（r,0）的上半圆周222ryx?
?
?
?
。
因为ypx?
?
?
?
?
?
1在xoy面上恒成立，且xq?
?
?
?
及yp?
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?
在
xoy面上连续，所以曲线积分?
?
lxdyydx与路径无关。
?
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lxdyydx=?
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abxdyydx=?
?
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rrdx0=0?
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aacbxdyydx?
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=0（其中c（0,r））?
?
法四、用格林公式q?
?
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lxdyydx=?
?
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）
0,r（）0,r（xdyydx=?
?
?
?
）0,r（）0,r（）（xyd=）0,）0,r?
?
（（][rxy=0因为
ypx?
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且xq?
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及yp?
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在闭曲线acba上围成的闭区域d
上连续。
故由格林公式
得?
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aacbxdyydx?
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=?
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ddxdyypxq）（=0于
是?
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法五、用定积分计算，则l的参数方程
为?
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sinry0?
?
lxdyydx=0?
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baxdyydx=0?
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co
srx，l的起点a对应与?
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，综点对应于0?
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，于
是?
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r?
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lxdyydx=?
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=0?
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]coscos）sin（sin[?
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d?
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rrrr=?
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022?
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dcos?
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r=02]2?
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sin21[?
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例六、计算对坐标
的曲面积分?
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dxdyyxdzdxxzdydzzy）（）（）（其中?
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是）0222hzyxz?
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（的下侧解：
设1?
?
为平面z=h被锥面
222yxz?
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所围成部分的上侧。
则
q?
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1?
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）（）（）（dxdyyxdzdxxzdyd
zzy=）（zrypx?
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dxdydz=）000（?
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）
dxdydz=0
又?
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1）（）（）（dxdyyxdzdxxzdydzzy=?
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1）
（dxdyyx=?
?
?
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dxy?
?
dxdyyx）（=0所以原式
=?
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1?
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1?
?
?
?
=0-0=0六．曲线积分与曲面积分自测
题一、一、填空：
（4?
?
5分）
1、?
?
l?
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xxdyyexxdxeyxxyxyx）2sin（）sin2cos（222其
中l为正向星形线）0（323232?
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?
aayx2、l为xoy面内直线
x=a上的一段，则?
?
3、设a=yzx（?
?
?
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ldxyxp）（i）2?
?
+
jxzy）（2?
?
+kxyz）（2?
?
，则p>二、二、选择题（4?
?
5分）1、1、
a?
?
是d内任一曲线，则以下4个命题中，错误的
是?
?
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?
dxdyzdzdxzydydzzyx）3（）3（）2（=设a=p（x,y）
i+q（x,y）j，（x,y）?
?
d,且p、q在区域d内具有一阶连续偏导
数，又l：
ba若qdydxpl?
?
?
?
与路径无关，则在d内必有
ypxq?
?
?
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?
?
?
b若?
?
?
?
du（x,y）=p（x,y）dx+q（x,y）dylsda?
?
?
?
与路径无关，则在d内必有单值函数u（x,y），使得c若在d
内ypxq?
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，则必有?
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lsda?
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与路径无关d若对
d内有一必曲线c，恒有0?
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qdypdx，则qdydxpl?
?
?
?
与路
径无关2、2、已知2）（）（yxydydxayx?
?
?
?
?
?
为某函数的全微分，则a等于a-1;b0;c1;d2;2?
?
dxxy）0,0（?
?
?
?
3、3、设曲线
积分dyxy?
?
dxxyl）（?
?
与路径无关，其中）（x?
?
具有连续得到数，
且）（x?
?
=0，则dyxy?
?
）（）1,1（2等于a83;b24、设空间区域?
?
由曲面1;c42xa?
?
?
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?
3;d1;22yz?
?
平面z=0围成，其中
a为正常数，记?
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的表面外?
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?
xyzzdzdxzxy））1（侧为s,?
?
的
体积为v，则?
?
dxdydydzyzx2222a0;bv;c2v;d3v;三、三、计算（6?
?
10）1、1、计算i=?
?
?
?
dsx2,其中?
?
为圆
周：
?
?
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x02222zyrzyx2、2、计算曲线积
分?
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时针方向。
?
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）（222yxxdyydx其中l为圆周2）1?
?
（22?
?
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yx，l的方向为
逆3、3、计算,）sin（）（22dyyxdxyxl?
?
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其中l是在圆周
22xx?
?
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上点（0，0）到点（1，1）的一段弧。
4、4、算曲面积分i=?
?
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yzdxdydzdxyzdydzy4）1（）
18（2其中?
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为圆周：
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x01yz（）31?
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y绕y轴
旋转一周所生成的曲面，它的法向量与y轴正向的夹角恒大于25、
5、全微分，并求出一个这样的二元函数u（x,y）。
?
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，0）到点（22?
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。
正面（dyxyxdxxyxy）cos（）sin22?
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在整个xoy面上是某个二元函数的6、6、在由点（-23?
?
，0）
的曲线族y=acosx（a.>0）中，求一条曲线l,使xdydxyl的值最小。
【篇三：
曲线积分与曲面积分知识点】
第十二章曲线积分与曲面积分一．基本要求1．正确理解两类曲线
积分与两类曲面积分的概念和性质及几何意义和物理意义。
2．熟练掌握两类曲线积分和两类曲面积分的计算方法，了解两类曲
线积分和两类曲面积分之间相互关系。
3．掌握格林公式及应用，熟悉和会应用平面曲线积分与路经无关的
条件。
掌握二元函数全微分方程的求解方法。
4．掌握高斯公式及应用，了解斯托克斯公式，知道通量与散度，环
流量与旋度。
5．会用曲线积分和曲面积分求一些几何量与物理量（弧长、曲面面
积、质量、重心、转动惯量、功及流量等）。
二．主要内容（见第二页至第十三页）在平面区域g上曲线积分与路
径无关的（四个等价）条件（框图）注解（注一至注十）（表格）
三．考点与难点考点：
1．两类曲线积分化为定积分的计算方法及
两类曲面积分化为二重积分的计算方法。
2．格林公式和高斯公式成立的条件和结论，正确灵活地应用格林公
式和高斯公式。
3．应用平面曲线积分与路径无关的四个条件。
4．曲线积分和曲面积分的几何意义和物理意义，将几何问题和物理
问题化为曲线积分问题和曲面积分问题求解。
难点：
应用各类型的积分之间关系，选择合适的（可计算的，更方
便的）积分计算。
四．例题及题解（见第十四页至第二十一页）例1至例15五．部分
习题题解（见第二十二页至第三十页）习题
（一）至习题（十五）
六．试卷（见第三十一页至第三十八页）试卷七．试卷答案及题解
（见第三十九页至第四十六页）试卷二．主要内容1。
主要内容联
系（框图）（化为）二重积分（化为）三重积分曲线积分（化为）
定积分联系联系联系高斯公式联系联系联系联系联系联系两
类曲线积分之间联系公式（化为）二重积分散度、通量。
参见注解之注九旋度、环流量。
参见注解之注十（物理意义）在平面区域上曲线积分与路径无价）
条件全微分方程求全微分函数曲面积分两类曲面积分之间联系公
式直接法参见解题步骤及注解推广特殊斯托克斯公式（空间上）
意义意义直接法参见解题步骤及注解直接法参见解题步骤及注
解直接法参见解题步骤及注解对坐标的曲线积分格林公面上）对
面积的曲面积分对坐标的曲面积分2．曲线积分和曲面积分（表格）
（a）两类曲线积分及相互之间联系类型积分类型内容对弧长的曲
线积分对坐标的曲线积分定义平面：
（在上有界）被积函数参见
注解之注一（第12有界）被积函数有界）被积函数参见注解之注
二（第12物理意义平面：
轴平行的柱面侧面积。
[柱面底是l，高是
沿有向曲线所作的功向量形式coscoscoscoscosdxdsqdypdx
dxdsrdzqdypdx联系法：
化为对坐标的曲线积分，再应用对坐标
的曲线积分解题方法之直接法及公式法。
参见解题方法及两类曲线
积分之间联系（本页）。
页、第12页）。
当曲线积分与路径无关，选一条更方便路线（选与
坐标轴平行的折线段替代规定路线）简化计算。
参见曲线积分与路
径无关的条件（第10联系法：
化为对弧长的曲线积分，再应用对弧
长的曲线积分解题方法之直接法。
参见解题方法及两类曲线积分之
间联系（本页）。
公式法：
对封闭的积分路线，应用格林公式化为重积分，对非封闭
的积分路线，补上一条使之封闭，然后再应用格林公式化为重积分，
（转化后的重积分及补上的曲线积分要容易计算），若积分路线为
空间曲线上述格林公式改为斯托克斯公式即可。
参见格林公式，高
斯公式及斯托可斯公式（第9两类曲线积分之间的联系qdypdx
coscosrdzqdypdxcoscoscosdxds（b）两类曲面积分及相互
之间联系类型内容对面积的曲面积分对坐标的曲面积分定义上有
界）被积函数。
参见注解之注五（第12上有界）被积函数。
参见注
解之注六（第13为空间薄片的面积。
面密度为的空间薄片的质量。
流速的流体（不可压缩）在单位时间穿过有向曲面的通量（流量）。
向量形式coscoscoscoscoscosrdxdyqdzdxpdydz特别地ds
联系法：
化为对坐标的曲面积分，再应用对坐标的曲面积分解题方
法之直接法及公式法。
参见解题方法及两类曲面积分之间联系（本
页）。
公式法：
对封闭的积分曲面，应用高斯公式化为重积分，对非封闭
的积分曲面，补上一片使之封闭，然后再应用高斯公式化为重积分，
（转化后的重积分及补上的曲面积分要容易计算）。
联系法：
化为对面积的曲面积分，再应用对面积的曲面积分解题方
法之直接法及公式法。
参见解题方法及两类曲面积分之间联系（本
页）。
公式法：
对封闭的积分曲面，应用高斯公式化为重积分，对非封闭
的积分曲面，补上一片使之封闭，然后再应用高斯公式化为重积分，
（转化后的重积分及补上的曲面积分要容易计两类曲面积分之间的
联系rdxdyqdzdxpdydzcoscoscosdydzds3．曲线积分和曲面
积分的解
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