湖南省高一必修一数学教案.docx
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湖南省高一必修一数学教案
课题：
§1.1集合
教材分析：
集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的
基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。
另
一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应
用。
课型：
新授课
（
教学目标：
1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”
关系；
（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述
不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；
教学重点：
集合的基本概念与表示方法；
教学难点：
运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简
单的集合；
教学过程：
一、引入课题
军训前学校通知：
8 月 15 日 8 点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试
问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是
高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一
个新的概念——集合（ 宣布课题），即是一些研究对象的总体。
二、新课教学
（一）集合的有关概念
1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们
能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2.一般地，研究对象统称为 元素（element），一些元素组成的总体叫 集合
（set），也简称集。
3.关于集合的元素的特征
（1）确定性：
设 A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是
A 的元素，或者不是 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：
一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的
个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）集合相等：
构成两个集合的元素完全一样
4.元素与集合的关系；
（1）如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于（belong to ）A，记作 a∈A
（2）如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于（not belong to ）A，
∈
记作 a ∉ A（或 aA）（举例）
5.常用数集及其记法
非负整数集（或自然数集），记作 N
正整数集，记作 N*或 N+；
整数集，记作 Z
有理数集，记作 Q
实数集，记作 R
（二）集合的表示方法
我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除
此之外还常用列举法和描述法来表示集合。
（1） 列举法：
把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
如：
{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；
思考 2，引入描述法
说明：
集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元
素的顺序。
（2） 描述法：
把集合中的元素的公共属性描述出来，写在 大括号 {}
内。
具体方法：
在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或
变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共
同特征。
如：
{x|x-3>2}，{（x,y）|y=x2+1}，{直角三角形}，…；
强调：
描述法表示集合应注意集合的 代表元素
{（x,y）|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表
元素也可省略，例如：
{整数}，即代表整数集 Z。
辨析：
这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写 {全体整数}。
下列写
法{实数集}，{R}也是错误的。
说明：
列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示
法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
三、归纳小结
本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例
对集合的概念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。
课题:
§1.2 集合间的基本关系
教材分析：
类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系
了解空集的含义
课型：
新授课
教学目的：
（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；
（2）理解子集、真子集的概念；
（3）能利用 Venn 图表达集合间的关系；
（4）了解与空集的含义。
教学重点：
子集与空集的概念；用 Venn 图表达集合间的关系。
教学难点：
弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别；
教学过程：
四、引入课题
1、 复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：
（1）0N；
（2）2Q；（3）-1.5R
2、 类比实数的大小关系，如 5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关
系呢？
（宣布课题）
五、新课教学
（一）集合与集合之间的“包含”关系；
A={1，2，3}，B={1，2，3，4}
集合 A 是集合 B 的部分元素构成的集合，我们说集合 B 包含集合 A；
如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们说这两个集合有包含
关系，称集合 A 是集合 B 的子集（subset）。
记作：
A ⊆ B（或B ⊇ A）
读作：
A 包含于（is contained in ）B，或 B 包含（contains）A
⊆
当集合 A 不包含于集合 B 时，记作 ABA
B
用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系
A ⊆ B（或B ⊇ A）
（二）集合与集合之间的 “相等”关系；
A ⊆ B且B ⊆ A ，则 A = B 中的元素是一样的，因此 A = B
⎧ A ⊆ B
即A = B ⇔⎨
⎩B ⊆ A
结论：
任何一个集合是它本身的子集
（三）真子集的概念
若集合 A ⊆ B ，存在元素 x ∈ B且x ∉ A ，则称集合 A 是集合 B 的真子集
（proper subset ）。
记作：
AB（或 BA）
读作：
A 真包含于 B（或 B 真包含 A）
（四）空集的概念
（实例引入空集概念）
不含有任何元素的集合称为空集（ empty set），记作：
∅
规定：
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
（五）结论：
A ⊆ A
A ⊆ B ，且 B ⊆ C ，则 A ⊆ C
（六）例题
（1）写出集合{a，b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。
（2）化简集合 A={x|x-3>2},B={x|x ≥ 5}，并表示 A、B 的关系；
（七）归纳小结，强化思想
两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实
数间的大小关系，同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其
表示方法；
已知集合 A = {x | a < x < 5} ， B = {x | x ≥ 2} ，且满足 A ⊆ B ，
求实数 a 的取值范围。
设集合 A = {四边形}，B = {平行四边形}，C = {矩形} ，
D = {正方形} ，试用 Venn 图表示它们之间的关系。
课题：
§1.3 集合的基本运算
教学目的：
（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集
与交集；
（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
（3）能用 Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概
念的作用。
课型：
新授课
教学重点：
集合的交集与并集、补集的概念；
教学难点：
集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”；
教学过程：
六、引入课题
我们两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法
运算，两个集合是否也可以“相加”呢？
思考（P9思考题），引入并集概念。
七、新课教学
1.并集
一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，称为集合 A
与 B 的并集（Union）
记作：
A∪B读作：
“A 并 B”
即：
A∪B={x|x∈A，或 x∈B}
Venn 图表示：
AB
?
A∪B
说明：
两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合 A 与 B 的所有元素组
成的集合（重复元素只看成一个元素）。
问题：
在上图中我们除了研究集合 A 与 B 的并集外，它们的公共部分（即问
号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合 A 与 B 的交集。
2.交集
一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做集合 A 与 B
的交集（intersection ）。
记作：
A∩B读作：
“A 交 B”
即：
A∩B={x|∈A，且 x∈B}
交集的 Venn 图表示
说明：
两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合 A 与 B 的公共元素组
成的集合。
拓展：
求下列各图中集合 A 与 B 的并集与交集
BAA（B）ABABAB
说明：
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个
集合没有交集
3.补集
全集：
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那
）
么就称这个集合为 全集（Universe ，通常记作 U。
补集：
对于全集 U 的一个子集 A，由全集 U 中所有不属于集合 A 的所有元素
组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集（.plementary set ）,简称为集
合 A 的补集，
记作：
CUA
即：
CUA={x|x∈U 且 x∈A}
U
A
补集的 Venn 图表示
C A
U
说明：
补集的概念必须要有全集的限制
4.求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交
，
集与并集的关键是“且”与“或” 在处理有关交集与并集的问题时，常常从
这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合 Venn 图或数轴进而用集合语言
表达，增强数形结合的思想方法。
5.集合基本运算的一些结论：
A∩B ⊆ A，A∩B ⊆ B，A∩A=A，A∩ ∅ = ∅ ,A∩B=B∩A
A ⊆ A∪B，B ⊆ A∪B，A∪A=A，A∪ ∅ =A,A∪B=B∪A
（CUA）∪A=U，（CUA）∩A= ∅
若 A∩B=A，则 A ⊆ B，反之也成立
若 A∪B=B，则 A ⊆ B，反之也成立
若 x∈（A∩B），则 x∈A 且 x∈B
若 x∈（A∪B），则 x∈A，或 x∈B
6.课堂练习
（1）设 A={奇数}、B={偶数}，则 A∩Z=A，B∩Z=B，A∩B= ∅
nm + 1
（ ）
5
2
那么A B C = _______________, A B C = _____________;
八、作业布置：
（1） 已知 X={x|x2+px+q=0，p2-4q>0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10} ，且
X A = ∅, X B = X ，试求 p、q；
（2） 集合 A={x|x2+px-2=0},B={x|x 2-x+q=0},若 A B={-2，0，1}，求 p、
q；
（3） A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，a2+4a-2，2-a}，且 A B ={3，7}，
求 B
课题：
§1.2.1 函数的概念
教材分析：
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数
看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中
阶段更注重函数模型化的思想．
教学目的：
（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重
要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对
应关系在刻画函数概念中的作用；
（2）了解构成函数的要素；
（3）会求一些简单函数的定义域和值域；
（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；
教学重点：
理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；
教学难点：
符号“y=f（x）”的含义，函数定义域和值域的区间表示；
教学过程：
九、引入课题
1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；
2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：
（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；
（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；
（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题
备用实例：
我国 2003 年 4 月份非典疫情统计：
日期222324252627282930
新增确诊病例数1061058910311312698152101
3.引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；
4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数
关系．
十、新课教学
（一）函数的有关概念
1．函数的概念：
设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的
任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f（x）和它对应，那么就称 f：
A→B
为从集合 A 到集合 B 的一个函数（function）．
记作：
y=f（x），x∈A．
）
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的 定义域（domain ；与 x 的
值相对应的 y 值叫做 函数值 ，函数值的集合 {f（x）| x ∈ A } 叫做函数的 值域
（range）．
注意：
；
“y=f（x）”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“ y=g（x）”
函数符号“y=f（x）”中的 f（x）表示与 x 对应的函数值，一个数，而不是 f
乘 x．
2． 构成函数的三要素：
定义域、对应关系和值域
3．区间的概念
（1）区间的分类：
开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示．
4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论
（由学生完成，师生共同分析讲评）
（二）典型例题
1．求函数定义域
说明：
函数的定义域通常由问题的实际背景确定。
如果只给出解析式 y=f（x），而没有指明它的定义域，则函数的定义域即
是指能使这个式子有意义的实数的集合；
函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
2．判断两个函数是否为同一函数
说明：
构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对
应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个
函数相等（或为同一函数）
两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变
量和函数值的字母无关。
判断下列函数 f（x）与 g（x）是否表示同一个函数，说明理由？
（1）f （ x ） = （x －1）0；g （ x ） = 1
（2）f （ x ） = x ； g （ x ） =
x 2
（3）f （ x ） = x2；f （ x ） = （x + 1）
2
（4）f （ x ） = | x | ；g （ x ） =
（三）课堂练习
求下列函数的定义域
1
（1） f （x） =
x - | x |
1
（2） f （x） =
1
1 +
（3） f （x） =- x 2 - 4x + 5
x 2
（4） f （x） =
（5） f （x） =
4 - x 2
x - 1
x 2 - 6x + 10
（6） f （x） = 1 - x +x + 3 - 1
十一、归纳小结，强化思想
从具体实例引入了函数的的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及
其相关概念，介绍了求函数定义域和判断同一函数的典型题目，引入了区间的概
念来表示集合。
课题：
§1.2.2 映射
教学目的：
（1）了解映射的概念及表示方法，了解象、原象的概念；
（2）结合简单的对应图示，了解一一映射的概念．
教学重点：
映射的概念．
教学难点：
映射的概念．
教学过程：
十二、引入课题
复习初中已经遇到过的对应：
1． 对于任何一个实数 a，数轴上都有唯一的点 P 和它对应；
2． 对于坐标平面内任何一个点 A，都有唯一的有序实数对 （x,y）和它对应；
3． 对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
4． 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；
5． 函数的概念．
十三、新课教学
1． 我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件
“非空数集”弱化为“任意两个非空集合 ”，按照某种法则可以建立起更为普
通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫 映射（mapping）
2． 先看几个例子，两个集合 A、B 的元素之间的一些对应关系
（1）开平方；
（2）求正弦
（3）求平方；
（4）乘以 2；
3． 什么叫做映射？
一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对
于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那
么就称对应 f：
A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射（mapping）．
记作“f：
A → B”
说明：
（1）这两个集合有先后顺序，A 到 B 的射与 B 到 A 的映射是截然不同的．其
中 f 表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：
一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意
思。
4． 例题分析：
下列哪些对应是从集合 A 到集合 B 的映射？
（1）A={P | P 是数轴上的点 }，B=R，对应关系 f：
数轴上的点与它所代表的
实数对应；
（2）A={ P | P 是平面直角体系中的点 }，B={（x，y）| x∈R，y∈R}，对
应关系 f：
平面直角体系中的点与它的坐标对应；
（3）A={三角形}，B={x | x 是圆}，对应关系 f：
每一个三角形都对应它的
内切圆；
（4）A={x | x 是新华中学的班级 }，B={x | x 是新华中学的学生 }，对应关
系 f：
每一个班级都对应班里的学生．
思考：
将（3）中的对应关系 f 改为：
每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对
应关系 f 改为：
每一个学生都对应他的班级，那么对应 f：
BA 是从集合 B 到
集合 A 的映射吗？
课题：
§1.2.2 函数的表示法
教学目的：
（1）明确函数的三种表示方法；
（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；
（4）纠正认为“ y=f（x）”就是函数的解析式的片面错误认识．
教学重点：
函数的三种表示方法，分段函数的概念．
教学难点：
根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？
分段
函数的表示及其图象．
教学过程：
十四、引入课题
5.复习：
函数的概念；
6.常用的函数表示法及各自的优点：
（1）解析法；
（2）图象法；
（3）列表法．
十五、新课教学
（一）典型例题
例 1．某种笔记本的单价是 5 元，买 x （x∈{1，2，3，4，5}）个笔记本需要
y 元．试用三种表示法表示函数 y=f（x） ．
分析：
注意本例的设问，此处“y=f（x）”有三种含义，它可以是解析表达式，
可以是图象，也可以是对应值表．
解：
（略）
注意：
函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注
意判断一个图形是否是函数图象的依据；
解析法：
必须注明函数的定义域；
图象法：
是否连线；
列表法：
选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
巩固练习：
例 1．下表是某校高一
（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及
班级及班级平均分表：
王伟
张城
赵磊
班平均分
第一次
98
90
68
88．2
第二次
87
76
65
78．3
第三次
91
88
73
85．4
第四次
92
75
72
80．3
第五次
88
86
75
75．7
第六次
95
80
82
82．6
请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．
分析：
本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？
怎么
分析？
借助什么工具？
解：
（略）
注意：
本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究
成绩的变化特点；
本例能否用解析法？
为什么？
例 3．画出函数 y = | x | ．
解：
（略）
拓展练习：
任意画一个函数 y=f（x）的图象，然后作出 y=|f（x）| 和 y=f （|x|） 的图象，
并尝试简要说明三者（图象）之间的关系．
例 4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：
（1） 乘坐汽车 5 公里以内，票价 2 元；
（2） 5 公里以上，每增加 5 公里，票价增加 1 元（不足 5 公里按 5 公里
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